【数学】安徽省黄山市2016-2017学年高二下学期期末考试(文)

安徽省黄山市 2016-2017 学年高二下学期期末考试(文)
第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题 1.若复数 z 的共轭复数 z ? 2 ? i ,则复数 z 的模长为() A.2 B.-1 C.5 D. 5 2.下列命题正确的是() A.命题“ ?x ? R ,使得 x2-1<0”的否定是: ?x ? R ,均有 x2-1<0. B.命题“若 x=3,则 x2-2x-3=0”的否命题是:若 x≠3,则 x2-2x-3≠0. C.“ ? ? 2k ? ?

3 ? ”的必要而不充分条件. (k ? Z ) ”是“ sin 2? ? 2 3

D.命题“cosx=cosy,则 x=y”的逆否命题是真命题. 3.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,均值与方差都不变;

y ? 5 ? 3x ,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 3 个单位; ②设有一个回归方程 ? y ? bx ? a 必经过点 ( x, y ) ; ③线性回归方程 ?
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有 99%的把握认为吸烟与 患肺病有关系时, 我们说现有 100 人吸烟, 那么其中有 99 人患肺病. 其中错误的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 4.抛物线 y ? ?

1 2 x 的准线方程是() 8

1 32 1 B. y ? 32
A. x ?

C.x=2 D.y=2 5.用反证法证明命题:“若 a,b∈N,且 ab 能被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”时,假设的内容是() A.a,b 都能被 5 整除 B.a,b 都不能被 5 整除 C.a,b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除,或 b 不能被 5 整除 6.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段 a 2 b2

OF(O 为坐标原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为() A. 2 B.2 C.

2 2 6 2

D.

7.当复数 z ? A.m=2 B.m=-3

m2 ? m ? 6 ? (m 2 ? 2m)i 为纯虚数时,则实数 m 的值为() m

C.m=2 或 m=-3 D.m=1 或 m=-3 8.关于函数 f ( x) ?

ln x 极值的判断,正确的是() x2

A.x=1 时,y 极大值=0

1 e2 1 C.x=e 时,y 极小值= 2 e
B.x=e 时,y 极大值= D. x ?

e 时,y 极大值=

1 2e

9. 双曲线

x2 y 2 其中一个焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合, ? ? 1(mn ? 0) 离心率为 3 , m n

则 mn 的值为() A. 3 2 B. 3 3 C.18 D.27 10.如图,AB∩α=B,直线 AB 与平面 α 所成的角为 75° ,点 A 是直线 AB 上一定点,动直 线 AP 与平面 α 交于点 P,且满足∠PAB=45° ,则点 P 在平面 α 内的轨迹是()

A.圆 B.抛物线的一部分 C.椭圆 D.双曲线的一支 11.设矩形 ABCD,以 A、B 为左右焦点,并且过 C、D 两点的椭圆和双曲线的离心率之积 为() A.

1 2

B.2 C.1 D.条件不够,不能确定 12.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象如图,则函数 y ? log 2 ( x 2 ? 递减区间是() A. (-∞,-2) B. (-∞,1) C. (-2,4)

2 c bx ? ) 的单调 3 3

D. (1,+∞) 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题 13.函数 y=x3+x 的递增区间是________. 14. 已知 x, y 取值如表, 画散点图分析可知 y 与 x 线性相关, 且求得回归方程为 ? y ? 3x ? 5 , 则 m 的值为________. x 0 1 3 5 6

y

1

2m

3-m

3.8

9.2

15.若 p : ( x 2 ? 6 x ? 8) x ? 3 ≥ 0 ;q:x=-3,则命题 p 是命题 q 的________条件(填“充 分而不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”) . 16.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点 F1,F2 都在 x 轴上,P 是第一象限内该椭圆上的一点, m 3



sin ?PF1 F2 ? sin ?PF2 F1 ? 2 ,则正数 m 的值为________. sin ?F1 PF2

三、解答题 17.解答下面两个问题: (Ⅰ)已知复数 z ? ?

1 3 1 ? i ,其共轭复数为 z ,求 | | ?( z ) 2 ; 2 2 z

(Ⅱ)复数 z1=2a+1+(1+a2)i,z2=1-a+(3-a)i,a∈R,若 z1 ? z2 是实数,求 a 的值.

18.随着网络的发展,人们可以在网络上购物、玩游戏、聊天、导航等,所以人们对上网流 量的需求越来越大.某电信运营商推出一款新的“流量包”套餐.为了调查不同年龄的人是否 愿意选择此款“流量包”套餐, 随机抽取 50 个用户, 按年龄分组进行访谈, 统计结果如右表.

组 年龄 号

访谈 人数

愿意 使用

1

[18,28)

4

4

2

[28,38)

9

9

3

[38,48)

16

15

4

[48,58)

15

12

5

[58,68)

6

2

(Ⅰ) 若在第 2、 3、 4 组愿意选择此款“流量包”套餐的人中, 用分层抽样的方法抽取 12 人, 则各组应分别抽取多少人? (Ⅱ) 若从第 5 组的被调查者访谈人中随机选取 2 人进行追踪调查, 求 2 人中至少有 1 人愿 意选择此款“流量包”套餐的概率. (Ⅲ)按以上统计数据填写下面 2× 2 列联表,并判断以 48 岁为分界点,能否在犯错误不超 过 1%的前提下认为,是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关? 年龄不低于 48 岁的人数 年龄低于 48 岁的人数 合计

愿意使用的人数

不愿意使用的人数

合计

参考公式: k ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中:n=a+b+c+d. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(d ? b)

P(k2≥k0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

19.(Ⅰ)某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进行统计分析,两班成绩 的茎叶图如图所示,成绩不小于 90 分为及格.设甲、乙两个班所抽取的 10 名同学成绩方差
2 2 2 2 分别为 S甲 、 S乙 ,比较 S甲 、 S乙 的大小(直接写结果,不必写过程) ;

(Ⅱ)设集合 A ? { y | y ? x 2 ? 2 x ? } , B ? {x | m ? x ≤ 1, m ? 1} ,命题 p:x∈A;命题
2

1 2

q:x∈B,若 p 是 q 的必要条件,求实数 m 的取值范围.

20. (Ⅰ)求下列各函数的导数: ( 1) y ? x x ; (2) y ?

x2 ; sin x

(Ⅱ)过原点 O 作函数 f(x)=lnx 的切线,求该切线方程.

21.设点 O 为坐标原点,椭圆 E : O 且斜率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A,上顶点为 B,过点 a 2 b2

???? 1 ???? ? 1 的直线与直线 AB 相交 M,且 MA ? BM . 6 3

(Ⅰ)求证:a=2b; (Ⅱ)PQ 是圆 C: (x-2)2+(y-1)2=5 的一条直径,若椭圆 E 经过 P,Q 两点,求椭

圆 E 的方程.

22.已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 2 1 x ? x , g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 . 2 2

(Ⅰ)当 a=2 时,求(x)在 x∈[1,e2]时的最值(参考数据:e2≈7.4) ; (Ⅱ)若 ?x ? (0, ??) ,有 f(x)+g(x)≤0 恒成立,求实数 a 的值;

参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. (-∞,+∞) 14.3 15.必要而不充分 16.4 三、解答题 17.解: (Ⅰ)因为 z ? ? 1 D 2 B 3 D 4 D 5 B 6 A 7 B 8 D 9 C 10 C 11 C 12 A

1 1 3 1 3 1 3 i |? (? ) 2 ? (? ) 2 ? 1 . ? i ,所以 | |?| ? ? 2 2 z 2 2 2 2

1 3 2 1 3 ( z )2 ? (? ? i) ? ? ? i, 2 2 2 2
所以原式= 1 ?

1 3 1 3 ? i? ? i. 2 2 2 2
2 2

(Ⅱ) z1 ? z 2 ? 2a ? 1 ? (1 ? a )i ? 1 ? a ? (3 ? a )i ? a ? 2 ? (a ? a ? 2)i 因为 z1 ? z 2 是实数,所以 a2+a-2=0,解得 a=1,或 a=-2, 故 a=1,或 a=-2. 18.解: (Ⅰ)因为

12 12 12 ? 9 ? 3 , ?15 ? 5 , ?12 ? 4 ,所以第 2、3、4 组愿意选择此 36 36 36

款“流量包”套餐的人中,用分层抽样的方法抽取 12 人,各组分别为 3 人,5 人,4 人. (Ⅱ)第 5 组的 6 人中,不愿意选择此款“流量包”套餐的 4 人分别记作:A、B、C、D,愿 意选择此款“流量包”套餐 2 人分别记作 x、y.则从 6 人中选取 2 人有:AB,AC,AD,Ax, Ay,BC,BD,Bx,By,CD,Cx,Cy,Dx,Dy,xy 共 15 个结果,其中至少有 1 人愿意 选择此款“流量包”:Ax,Ay,Bx,By,Cx,Cy,Dx,Dy,xy 共 9 个结果,所以这 2 人中至少有 1 人愿意选择此款“流量包”套餐的概率 P ? (Ⅲ)2× 2 列联表:

9 3 ? . 15 5

年龄不低于 48 岁的人数

年龄低于 48 岁的人数

合计

愿意使用的人数

14

28

42

不愿意使用的人数

7

1

8

合计

21

29

50

∴k ?
2

50(14 ?1 ? 28 ? 7) 2 ? 8.09 ? 6.635 , 21? 29 ? 42 ? 8

∴在犯错误不超过 1%的前提下可以认为, 是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关.
2 2 19.解: (Ⅰ)观察茎叶图可得 S甲 ; ? S乙

(Ⅱ)由题可知 A ? { y | y ≥ ? } , B ? {x | ? 1 ? m ≤ x ≤ 1 ? m } 由于 p 是 q 的必要条件,所以 B ? A , 所以 ? 1 ? m ≥ ?

1 2

1 3 3 ,解得 m ≥ ,综上所述: ≤ m ? 1 . 2 4 4
3 2

1 3 3 3 1 3 2 20.解:(Ⅰ) y ? x x ? x ,∴ y ' ? x ? x 2 ? x; 2 2 2

(2) y ' ?

( x 2 ) 'sin x ? x 2 (sin x) ' 2 x sin x ? x 2 cos x ? ; sin 2 x sin 2 x
ln x0 1 1 , k切线 ? f '( x0 ) ? ? kOT ? ? ln x0 ? 1 , x x0 x0

(Ⅱ) 设切点为 T (x0, lnx0) , ∵ f '( x) ? 解 x0=e,

1 x. e ???? 1 ???? ? 3a 1 21.解: (Ⅰ)∵A(a,0) ,B(0,b) , MA ? BM ,所以 M ( , b) , 3 4 4 b 1 ∴ kOM ? ? ,解得 a=2b, 3a 6
所以切点为 T(e,1) ,故切线方程为 y ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a=2b,∴椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 即 x2+4y2=4b2(1) 4b 2 b 2

依题意,圆心 C(2,1)是线段 PQ 的中点,且 | PQ |? 2 5 . 由对称性可知,PQ 与 x 轴不垂直,设其直线方程为 y=k(x-2)+1, 代入(1)得: (1+4k2)x2-8k(2k-1)x+4(2k-1)2-4b2=0 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 x1 ? x2 ? 由

4(2k ? 1) 2 ? 4b 2 8k (2k ? 1) , , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

x1 ? x2 8k (2k ? 1) 1 ? 2得 ? 4 ,解得 k ? ? . 2 2 1 ? 4k 2

从而 x1x2=8-2b2. 于是 | PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 2b 2 ? 4 ? 2 5 2

解得 b2=4,a2=16,∴椭圆 E 的方程为 22.解:(Ⅰ)由于 f ( x) ? 2 ln x ?

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

1 2 2 ?( x ? 2)( x ? 1) . x ? x ,∴ f '( x) ? ? x ? 1 ? 2 x x

因此,函数 f(x)在[1,2]为增函数,在[2,e2]为减函数. 所以 f(x)max=f(2)=2ln2.

1 1 1 f ( x) min ? min{ f (1), f (e 2 )} ? min{ , 4 ? e 2 ? e 4 } ? 4 ? e 2 ? e 4 . 2 2 2 a a?x (Ⅱ)令 h(x)=f(x)+g(x)=alnx-x+1,则 h '( x) ? ? 1 ? , x x
(1)当 a≤0 时,h(x)在(0,+∞)上为减函数,而 h(1)=0, ∴h(x)≤0 在区间 x∈(0,+∞)上不可能恒成立,因此 a≤0 不满足条件. (2)当 a>0 时,h(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞)上递减,所以 h(x)max=h(a)=alna-a+1. 由于 h(x)≤0 在 x∈(0,+∞)恒成立,则 h(x)max≤0.即 alna-a+1≤0. 令 g(a)=alna-a+1, (a>0) ,则 g'(a)=lna,∴g(a)在(0,1)上递减,在(1,+ ∞)上递增,∴g(a)min=g(1)=0,故 a=1.


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