3.4.2简单线性规划 教案(北师大版必修五)

4.2 简单线性规划 ●三维目标 1.知识与技能 使学生了解二元一次不等式(组)表示平面区域、了解线性规划的意义以及约 束条件、目标函数、可行域、最优解等概念,了解线性规划问题的图解法,并能 应用解决实际问题. 2.过程与方法 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题,提高数学建模能力. 3.情感、态度与价值观 培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透化归、数形结合的数学思想,提 高解决实际问题的能力. ●重点难点 重点:求解简单的线性规划问题. 难点:准确求得线性规划问题的最优解. ●教学建议 教材通过求 z=2x+y 的最值来讲解了线性规划问题.在处理 z=2x+y 的最 值时可以通过以下两种途径: (1)把直线 2x+y=0 向上或向下平移,观察对应 z 的量值随之增大或减小来 确定最大、最小值. (2)把 z=2x+y 变形为 y=-2x+z 即化成直线的斜截式形式.这样变形的目 的是赋予目标函数 z 以几何直观及几何含义,来观察截距 z 的最大值、最小值即 可. ●教学流程 创设问题情境,提出问题 ? ? ? ? ? 通过引导学生回答问题,了解目标函数、可行域等线性规划的概念 通过例1及互动探究,让学生掌握求线性目标函数的最值 通过例2及变式训练,使学生掌握求非线性目标函数的最值 通过例3及变式训练,使学生掌握含参数的线性规划问题 归纳整理,进行课堂小结,整体认识所学知识 ? 完成当堂双基达标,巩固所学知识,并进行反馈、矫正 (对应学生用书第 65 页) 课标解读 1.了解目标函数、约束条件、二元线性规划问 题、可行解、可行域、最优解等基本概念(重 点). 2.掌握二元线性规划问题的求解过程,特别 是确定最优解的方法(重点、难点). 线性规划的基本概念 【问题导思】 图 3-4-5 ?x-y+5≥0, 已知不等式组?x+y+1≥0,表示的平面区域如图 3-4-5 所示. ?x≤3 1.在平面区域中,点 A、B、C 的坐标分别是什么? ?x-y+5=0 【提示】 由? ?x+y+1=0 ?x-y+5=0 得 B(-3,2);由? 得 A(3,8); ?x=3 ?x=3 由? 得 C(3,-4). ?x+y+1=0 2.对于函数 z=2x-y,当直线 2x-y-z=0 经过 A、B、C 三点时,z 的值 分别为多少? 【提示】 直线经过 A(3,8)时,z 的值为 2×3-8=-2;直线经过 B(-3, 2)时,z 的值为 2×(-3)-2=-8;直线经过 C(3,-4)时,z 的值为 2×3-(- 4)=10. 3.当直线 2x-y-z=0 经过平面区域时,z 的取值范围是什么? 【提示】 z∈[-8,10]. 名称 定义 约束条件 变量 x,y 满足的一次不等式组. 目标函数 欲求最大或最小值所涉及的变量 x,y 的函数. 可行解 满足约束条件的解(x,y)称为可行解. 可行域 所有可行解组成的集合称为可行域. 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 二元线性规划 在约束条件下,求目标函数的最大值或最小值 问题 问题. 目标函数 z=ax+by+c(b>0)的 变化规律 把直线 l0:ax+by=0 向上平移时,所对应的 z 随之增大;把直线 l0:ax +by=0 向下平移时,所对应的 z 随之减小. (对应学生用书第 65 页) 求线性目标函数的最值 x-4y≤-3, 设 z=2x+y,式中变量 x,y 满足条件?3x+5y≤25,求 z 的最大值和最小 ? ?x≥1, 值. 【思路探究】 画出可行域 ―→ 作出直线2x+y=0 ― → 平行移动直线 ― → 求最值 【自主解答】 画出可行域如图所示. 令 z=0,作直线 l0:2x+y=0,把直线 l0 向上平移时,所对应的 z=2x+y 的函数值随之增大;把直线 l0 向下平移时,所对应的 z=2x+y 的函数值随之减 小. ?x-4y+3=0, 解方程组? 得 A 点坐标为(5,2), ?3x+5y-25=0 ?x=1, 解方程组? 得 B 点坐标为(1,1), ?x-4y+3=0 所以 zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3. 1.将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是最优解. 2. 当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时,最优解可能有无数个. 在本例的线性约束条件下,求 z=2x-3y 的最大值和最小值. 【解】 作出可行域,如图 由图可知,当直线经过可行域上点 A 时,z 最大;当直线经过可行域上点 C 时,z 最小. ?x=1, 22 解方程组? 得 C 点坐标为(1, 5 ). ?3x+5y-25=0, 所以 zmax=2×5-3×2=4, 22 56 zmin=2×1-3× 5 =- 5 . 求非线性目标函数的最值 (1)z=x2+y2-10y+25 的最小值; 2y+1 (2)z= 的范围. x+1 【思路探究】 (1)z=x2+y2-10y+25 的几何意义是什么?如何求 z 的最小 值? 2y+1 (2)z= 的几何意义是什么?如何求 z 的范围? x+1 【自主解答】 依约束条件作出可行域为图中阴影部分, A(1,3),B(3,1),C(7,9). (1)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到点 M(0,5)的距离的平方,过 M 作 AC 的垂线,易知垂足在 AC 上,故 |0-5+2| 9 2 zmin=d2=( 2 2) =2. 1 +(-1) 1 y+2 2y+1 1 (2)z= =2× 可以看作可行域内的点(x,y)与点 Q(-1,-2)连线斜 x+1 x+1 率 k 的 2 倍,其范围是 kQB≤k≤kQA, 1 3 1-(-2) 2 3 而 kQB= = = , 3-(-1) 4 8 1 7 3-(-2) 2 7 kQA= =2=4. 1-(-1) 3 7 故 z=2k∈[4,2]. ?x-y+2≥0, 已知?x+y-

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