重庆市两江中学2015届高三上学期9月月考数学试卷(理科)


重庆市两江中学 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|x =1},集合 N={x|ax=1},若 N?M,a 的值是() A.1 B . ﹣1 C.1 或﹣1 D.0,1 或﹣1 2. (5 分)下列命题错误的是() 2 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” B. 若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 C. 对命题 P:存在 x∈R,使得 x +x+1<0,则¬p 为:任意 x∈R,均有 x +x+1≥0 2 D.“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 3. (5 分)已知集合 A={(x,y)|y=x ,x∈R},B={(x,y)|y=x,x∈R},则集合 A∩B 中的 元素个数为() A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无穷多个
2 2 2 2

4. (5 分)若 A.1 B. 2

,则 f(﹣1)的值为() C. 3 D.4

5. (5 分)函数

(0<a<1)的图象的大致形状是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)实数 A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c

的大小关系正确的是() D.b<c<a

7. (5 分)如图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的 区间是()

2

A.(



B.(1,2)

C.( ,1)

D.(2,3)

8. (5 分) 设函数 f (x) =ln (x﹣1) (2﹣x) 的定义域是 A, 函数 的定义域是 B,若 A?B,则正数 a 的取值范围是() A.a>3 B.a≥3 C. D.

9. (5 分)函数 y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图) ,则不等式 f(x)<f (﹣x)+2x 的解集为()

A. C.

B. D.

10. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x) ,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x﹣3)=f(x) ,当 x∈ (0, )时,f(x)=ln(x ﹣x+1) ,则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是() A.3 B. 5 C. 7 D.9
2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 2 11. (5 分)若 f(x)=ln(x ﹣2(1﹣a)x+24)在(﹣∞,4]上是减函数,求 a 的范围. 12. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为[3,4],则 f(log2x+2)的定义域为. 13. (5 分)函数 g(x)的图象与 f(x)=3
x+1

﹣2 关于点(1,2)对称,则 g(x)的解析式为.

14. (5 分)已知 f(x)=

,则 f=.

15. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=﹣f(x) ,且在[﹣1,0]上是增函数, 下面关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(4)=f(0) . 其中正确的判断的序号是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (13 分) (1)已知 R 为全集,A={x|﹣1≤x<3},B={x|﹣2<x≤3},求(CRA)∩B; 2 2 (2)设集合 A={a ,a+2,﹣3},B={a﹣3,2a﹣1,a +1},若 A∩B={﹣3},求 A∪B. 17. (13 分)定义在[﹣1,1]上的奇函数 f(x) ,已知当 x∈[﹣1,0]时的解析式

(1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值. 18. (13 分)已知函数 f(x)=lg[(a ﹣1)x +(a+1)x+1],设命题 p:“f(x)的定义域为 R”; 命题 q:“f(x)的值域是 R”. (1)若命题 p 为真,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p 为假,命题 q 为真时,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=﹣2 处取得极值,并且它的图象与直线 y=﹣ 3x+3 在点(1,0)处相切, (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调区间. 20. (12 分)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3) . (Ⅰ)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 21. (12 分)设函数 y=f(x)是定义在 R+上的函数,并且满足下面三个条件: (1)对任意正数 x、y,都有 f(xy)=f(x)+f(y) ; (2)当 x>1 时,f(x)<0; (3)f(3)=﹣1, (Ⅰ)求 f(1) 、 的值;
3 2 2 2

(Ⅱ)如果不等式 f(x)+f(2﹣x)<2 成立,求 x 的取值范围. (Ⅲ)如果存在正数 k,使不等式 f(kx)+f(2﹣x)<2 有解,求正数 k 的取值范围.

重庆市两江中学 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)已知集合 M={x|x =1},集合 N={x|ax=1},若 N?M,a 的值是() A.1 B . ﹣1 C.1 或﹣1 D.0,1 或﹣1 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;集合. 分析: 化简 M,再根据 N?M,分情况对参数的取值进行讨论,求出参数的取值集合. 2 解答: 解:∵M={x|x =1}={1,﹣1},N={x|ax=1},N?M, ∴当 N 是空集时,有 a=0 显然成立; 当 N={1}时,有 a=1,符合题意; 当 N={﹣1}时,有 a=﹣1,符合题意; 故满足条件的 a 的取值集合为{1,﹣1,0} 故选:D. 点评: 本题考查集合关系中的参数取值问题,解题的关键是根据包含关系的定义对集合 M 的情况进行正确分类,本题求解中有一易错点,就是忘记讨论 N 是空集的情况,分类讨论时 一定注意不要漏掉情况. 2. (5 分)下列命题错误的是() A.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” B. 若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2 2 C. 对命题 P:存在 x∈R,使得 x +x+1<0,则¬p 为:任意 x∈R,均有 x +x+1≥0 2 D.“x>2”是“x ﹣3x+2>0”的充分不必要条件 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 计算题. 分析: 利用命题与逆否命题的关系判断 A 的正误;复合命题的真假判断 B 的正误;命题的 否定判断 C 的正误;充分必要条件判断 D 的正误. 2 2 解答: 解:命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”,正确,满 足命题与逆否命题的关系; 若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题,由复合命题的真假判断可知 p∧q 中,p、q 一假即假; 2 2 对命题 P:存在 x∈R,使得 x +x+1<0,则¬p 为:任意 x∈R,均有 x +x+1≥0;满足特称命题 与全称命题的否定关系,正确;
2 2

“x>2”可以说明“x ﹣3x+2>0”,反之不成立,所以是充分不必要条件正确; 故选 B. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题,充要条件的应用,基本知识的灵活运 用. 3. (5 分)已知集合 A={(x,y)|y=x ,x∈R},B={(x,y)|y=x,x∈R},则集合 A∩B 中的 元素个数为() A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无穷多个 考点: 二次函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 联立两个集合中的方程,再解方程得到方程的解即得到两个集合交集的元素,进而 得到答案. 2 解答: 解:由题意可得联立方程可得:y=x 并且 y=x, 解得:x=0,y=0 或者 x=1,y=1, 所以 A∩B={(x,y)|x=0,y=0 或者 x=1,y=1}, 所以集合 A∩B 中的元素个数为 2. 故选 C. 点评: 解决两个集合的基本运算,关键是准确的对集合进行化简或者联立方程组解方程组.
2

2

4. (5 分)若 A.1 B. 2

,则 f(﹣1)的值为() C. 3 D.4

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 计算题;分类法. 分析: 根据题意,﹣1∈(﹣∞,6) ,代入 f(x)=f(x+3) ,求得 f(﹣1)=f(2)=f(5)=f (8) ,8>6,由此 f(﹣1)的值求出. 解答: 解:当 x<6 时,f(x)=f(x+3) ,则 f(﹣1)=f(2)=f(5)=f(8) 当 x≥6 时,f(x)=log2x,所以,f(﹣1)=f(8)=log28=3 故选 C. 点评: 本题考查分段函数求值,对于分段函数求值问题关键是找准不同范围的自变量对应 着不同的函数解析式.代入相应的解析式求值,

5. (5 分)函数

(0<a<1)的图象的大致形状是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 图表型;数形结合. 分析: 先根据 x 与零的关系对解析式进行化简, 并用分段函数表示, 根据 a 的范围和指数函 数的图形选出答案. 解答: 解:因 ,且 0<a<1,

故选 D. 点评: 本题考查函数的图象,函数是高中数学的主干知识,是 2015 届高考的重点和热点, 在 2015 届高考中占整个试卷的 左右.复习时,要立足课本,务实基础(特别是函数的图象 与性质等) . 6. (5 分)实数 A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c 的大小关系正确的是() D.b<c<a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 根据指数函数的特殊点(0,1)与对数函数的特殊点(1,0)即可作出判断. 解答: 解:∵0< <0.3 =1,
0

0. 3<

1=0,



=1.

∴b<a<c 故选 C. 点评: 本题主要考查指数函数与对数函数的特殊点,但需具备函数的思想才能把形如这样 的实数转化为它们的特殊点解决. 7. (5 分)如图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的 区间是()
2

A.(



B.(1,2)

C.( ,1)

D.(2,3)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由二次函数图象的对称轴确定 a 的范围,据 g(x)的表达式计算 g( )和 g(1)的 值的符号,从而确定零点所在的区间. 2 解答: 解:由函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象得 0<b<1,f(1)=0,从而﹣2<a<﹣1, 而 g(x)=lnx+2x+a 在定义域内单调递增, g( )=ln +1+a<0, 由函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,结合抛物线的对称轴得到: 0<﹣ <1,解得﹣2<a<0, ∴g(1)=ln1+2+a=2+a>0, ∴函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( ,1) ; 故选 C. 点评: 本题主要考查了导数的运算,以及函数零点的判断,同时考查了运算求解能力和识 图能力,属于基础题. 8. (5 分) 设函数 f (x) =ln (x﹣1) (2﹣x) 的定义域是 A, 函数 的定义域是 B,若 A?B,则正数 a 的取值范围是() A.a>3 B.a≥3 C. D.
2

考点: 函数的定义域及其求法;集合的包含关系判断及应用. 专题: 常规题型. 分析: 先求出集合 A 来,再由函数 g(x)定义域 B 且 A?B,得到函数 g(x)集合 A 上恒 成立上求解. 解答: 解:∵(x﹣1) (2﹣x)>0 ∴1<x<2 ∴A=(1,2) ∵函数 ∴ 的定义域是 B 且 A?B

∴可转化为 a >2 +1,x∈(1,2)恒成立 ∴

x

x

易知 y=

在(1,2)上单调递减,

所以 y<lg3 所以 lga≥lg3 所以 a≥3 故选 B 点评: 本题主要通过定义域问题来考查不等式恒成立问题,在解决时一般要经过多步转化, 进而求函数的最值来解决. 9. (5 分)函数 y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图) ,则不等式 f(x)<f (﹣x)+2x 的解集为()

A. C.

B. D.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 根据图象得知是奇函数,据此将“不等式 f(x)<f(﹣x)+2x”转化为“f(x)<x”, 再令 y=f(x) ,y=x,利用图象求解. 解答: 解:如图所示:函数是奇函数 ∴不等式 f(x)<f(﹣x)+2x 可转化为:f(x)<x, 令 y=f(x) ,y=x 如图所示: 故选 A.

点评: 本题主要考查利用函数图象的相对位置关系来解不等式,关键是转化为特定的基本 函数,能画其图象. 10. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x) ,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x﹣3)=f(x) ,当 x∈ (0, )时,f(x)=ln(x ﹣x+1) ,则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是() A.3 B. 5 C. 7 D.9
2

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)=ln(x ﹣x+1)=0,先求出当 x∈(0, )时的零点个数,然后利用周期性 和奇偶性判断 f(x)在区间[0,6]上的零点个数即可. 解答: 解:∵f(﹣x)=﹣f(x) , ∴函数为奇函数, ∴在[0,6]上必有 f(0)=0. 当 x∈(0, )时,由 f(x)=ln(x ﹣x+1)=0 得 x ﹣x+1=1, 即 x ﹣x=0.解得 x=1. ∵f(x﹣3)=f(x) , ∴函数是周期为 3 的奇函数, ∴f(0)=f(3)=f(6)=0,此时有 3 个零点 0,3,6. 又 f(1)=f(4)=f(﹣1)=f(2)=f(5)=0,此时有 1,2,4,5 四个零点. 当 x= 时,f( )=f( ﹣3)=f(﹣ )=﹣f( ) , ∴f( )=0, 即 f( )=f( +3)=f( )=0, 此时有两个零点 , . ∴共有 9 个零点. 故选 D. 点评: 本题主要考查函数零点的判断,利用函数的周期性和奇偶性,分别判断零点个数即 可,综合性较强. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
2 2 2 2

11. (5 分)若 f(x)=ln(x ﹣2(1﹣a)x+24)在(﹣∞,4]上是减函数,求 a 的范围(﹣4, ﹣3]. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依题意,函数 f(x)在(﹣∞,4]上是减函数,须考虑两个方面:一是结合二次函数 x ﹣2(1﹣a)x+24 的单调性;二是对数的真数要是正数. 解答: 解:函数 f(x)在(﹣∞,4]上是减函数, 所以应有, 解得﹣4<a≤﹣3, ∴实数 a 的取值范围是(﹣4,﹣3]. 故答案: (﹣4,﹣3]. 点评: 本题结合对数函数的单调性,考查复合函数的单调性的求解,还考查了二次函数在 区间上单调,但不要忽略了函数的定义域,属于基础题. 12. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为[3,4],则 f(log2x+2)的定义域为[2,4]. 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论. 解答: 解:∵函数 y=f(x)的定义域为[3,4], ∴由 3≤log2x+2≤4 得 1≤log2x≤2, 即 2≤x≤4 故函数的定义域为[2,4], 故答案为:[2,4] 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的 关键. 13. (5 分)函数 g(x)的图象与 f(x)=3 ﹣x+3 g(x)=﹣3 +6.
x+1 2

2

﹣2 关于点(1,2)对称,则 g(x)的解析式为

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,图象对称实质是点对称,即若点 A(x,y)在函数 g(x)的图象上,则点 x+1 B(2﹣x,4﹣y)在 f(x)=3 ﹣2 的图象上,从而求解. 解答: 解:设点 A(x,y)在函数 g(x)的图象上, 则由题意可知, x+1 点 B(2﹣x,4﹣y)在 f(x)=3 ﹣2 的图象上, ﹣x+3 2﹣x+1 则 4﹣y=3 ﹣2=3 ﹣2, ﹣x+3 则 y=﹣3 +6, ﹣x+3 故答案为:g(x)=﹣3 +6. 点评: 本题考查了函数解析式的求法,用到了图象的对称,属于基础题.

14. (5 分)已知 f(x)=

,则 f= .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答: 解:∵f(x)= ∴f=f(1005)﹣f(﹣1) =f(0)﹣ =1﹣ = . 故答案为: . 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 15. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=﹣f(x) ,且在[﹣1,0]上是增函数, 下面关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线 x=2 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(4)=f(0) . 其中正确的判断的序号是①④. 考点: 函数的周期性;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 运用函数的性质的定义式判断求解,多次运用数学式子恒等变形. 解答: ∵f(x+1)=﹣f(x) ,∴f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x) , 即:f(x)是周期函数,周期为 2,f(4)=f(2) , ∵f(x+1)=f(﹣x+1)=﹣f(x) ,f(x+1)=f(﹣x+1) ,∴对称轴为 x=1, ∵在[﹣1,0]上是增函数,∴f(x)在[0,1]减函数,在[1,2]上是增函数, 故答案为:①④ 点评: 本题综合考查了抽象函数的性质,函数性质的式子的综合变形能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (13 分) (1)已知 R 为全集,A={x|﹣1≤x<3},B={x|﹣2<x≤3},求(CRA)∩B; 2 2 (2)设集合 A={a ,a+2,﹣3},B={a﹣3,2a﹣1,a +1},若 A∩B={﹣3},求 A∪B. ,

考点: 交、并、补集的混合运算;并集及其运算. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: (1)先求出 CRA,再求出(CRA)∩B; (2)确定出﹣3∈B,分类求出 a,并检验,与集合中元素的互异性相符合. 解答: 解: (1)CRA={x|x<﹣1 或 x≥3},B={x|﹣2<x≤3},∴(CRA)∩B={x|﹣2<x<﹣1 或 x=3}; (2)由已知得﹣3∈B ∴若 a﹣3=﹣3 则 a=0,此时 A={0,2,﹣3} B={﹣3,﹣1,1},A∪B={﹣3,﹣1,0,1, 2}, 2 若 2a﹣1=﹣3,a=﹣1,此时 A 中 a =a+2=1,与集合中元素的互异性矛盾,舍去. 2 又 a +1≥1≠﹣3,综上所述 A∪B={﹣3,﹣1,0,1,2} 点评: 本题考查集合的基本运算,借助于数轴增加直观.遇到含参数问题,必须进行检验. 17. (13 分)定义在[﹣1,1]上的奇函数 f(x) ,已知当 x∈[﹣1,0]时的解析式

(1)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值. 考点: 奇函数;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: (1) 由函数 f (x) 为定义在[﹣1, 1]上的奇函数, 其图象经过坐标原点, 则根据 x∈[﹣ 1,0]时的解析式 ,构造关于 a 的方程,再结合奇函数的性质,

求出函数 f(x)在[0,1]上的解析式. (2)根据(1)中函数的解析式,我们用换元法可将函数的解析式,转化为一个二次函数的形 式,我们分析出函数的单调性,进而求出 f(x)在[0,1]上的最大值. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数, 又∵ ∴ 解得 a=1 即当 x∈[﹣1,0]时的解析式 当 x∈[0,1]时,﹣x∈[﹣1,0] ∴
x x

=1﹣a=0

=4 ﹣2 =﹣f(x)

x

x

∴f(x)=2 ﹣4 (x∈[0,1]) x x (2)由(1)得当 x∈[0,1]时,f(x)=2 ﹣4 x 令 t=2 (t∈[1,2]) x x 2 则 2 ﹣4 =t﹣t ,

令 y=t﹣t (t∈[1,2]) 则易得当 t=1 时,y 有最大值 0 f(x)在[0,1]上的最大值为 0 点评: 本题的知识点是奇函数,函数的最值及其几何意义,其中根据定义在[﹣1,1]上的奇 函数,其图象经过坐标原点,从而构造方程法度出参数 a 的值,进而求出函数的解析式,是解 答本题的关键. 18. (13 分)已知函数 f(x)=lg[(a ﹣1)x +(a+1)x+1],设命题 p:“f(x)的定义域为 R”; 命题 q:“f(x)的值域是 R”. (1)若命题 p 为真,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p 为假,命题 q 为真时,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 2 2 分析: (1)命题 p 为真,即 f(x)的定义域为 R,即(a ﹣1)x +(a+1)x+1>0 的解集 2 2 2 为 R,所以讨论 a ﹣1=0,和 a ﹣1≠0.a ﹣1=0 时,容易得到 a=﹣1 时满足不等式解集为 R, 当 a ﹣1≠0 时,要使不等式的解集为 R,则 合并 a=﹣1,便可得到 a 的取值范围; (2)先求命题 q 为真时 a 的取值范围,要使 f(x)的值域为 R,则可设函数 y=(a ﹣1)x + 2 (a+1)x+1 的值域为 B,则有(0,+∞)?B,对于 a ﹣1=0 的情况,容易判断 a=﹣1 满足(0, +∞)?B,而 a ﹣1≠0 时,需满足
2 2 2 2 2 2

2

,解该不等式并

,求出该不等式的解合并

a=﹣1 即得 a 的取值范围. 2 2 解答: 解: (1)f(x)的定义域为 R,则(a ﹣1)x +(a+1)x+1>0 的解集为 R; 2 ∴若 a ﹣1=0,a=±1,a=1 时 2x+1>0,该不等式的解集不为 R,即 a≠1;a=﹣1 时,1>0,该 不等式解集为 R; 若 a ﹣1≠0,则 ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪
2 2 2

,解得 a<﹣1,或 a> ;



(2)若 f(x)的值域是 R,则设 y=(a ﹣1)x +(a+1)x+1 的值域为 B,则(0,+∞)?B; 2 若 a ﹣1=0,a=±1,a=1 时,y=2x+1,该函数的值域为 R,满足(0,+∞)?R,a=﹣1 时,y=1 显然不满足(0,+∞)?B,即 a≠﹣1; 若 a ﹣1≠0, 即 a≠±1, 要使 (0, +∞) ?B, 则
2

, 解得





; .

∴实数 a 的取值范围是:

点评: 考查一元二次不等式的解和判别式△ 的关系,二次函数值域的情况和判别式的关系, 以及子集的概念. 19. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=﹣2 处取得极值,并且它的图象与直线 y=﹣ 3x+3 在点(1,0)处相切, (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调区间. 考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (1)求出 f′(x) ,因为函数在 x=﹣2 处取得极值,所以 f′(﹣2)=0,又因为函数与 直线在点 (1,0 )处相切,所以 f′(1)=﹣3,代入求得两个关于 a 与 b 的二元一次方程, 求出解集得到 a 和 b,又因为函数过点(1,0) ,代入求出 c 的值即可. (2)由(1)求出的值可得导函数的解析式,分别令其大于、小于 0 可求增、减区间. 2 解答: 解: (1)∵f′(x)=3x +2ax+b, 2 ∴f′(﹣2)=3×(﹣2) +2a×(﹣2)+b=0 ∴12﹣4a+b=0 ①又 f′(1)=3+2a+b=﹣3 ②,由①②解得 a=1,b=﹣8 又 f(x)过点(1,0) , 3 2 ∴1 +a×1 +b×1+c=0,∴c=6 3 2 所以 f(x)的解析式为:f(x)=x +x ﹣8x+6 3 2 2 (2)由(1)知:f(x)=x +x ﹣8x+6,所以 f′(x)=3x +2x﹣8 令 3x +2x﹣8<0 解得
2 3 2

,令 3x +2x﹣8>0 解得 x<﹣2,或

2

故 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣2)和( ,+∞) , f(x)的单调递减区间为(﹣2, ) 点评: 考本题查学生利用导数研究函数极值的能力,及会求二元一次方程组解集和一元二 次不等式解集的能力,属中档题. 20. (12 分)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3) . (Ⅰ)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (Ⅱ)若 f(x)的最大值为正数,求 a 的取值范围. 考点: 函数与方程的综合运用;函数的最值及其几何意义;一元二次不等式的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)f(x)为二次函数且二次项系数为 a,把不等式 f(x)>﹣2x 变形为 f(x) +2x>0 因为它的解集为(1,3) ,则可设 f(x)+2x=a(x﹣1) (x﹣3)且 a<0,解出 f(x) ; 又因为方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,利用根的判别式解出 a 的值得出 f(x)即可; (Ⅱ) 因为 ( f x) 为开口向下的抛物线, 利用公式当 x= a<0 联立组成不等式组,求出解集即可. 时, 最大值为 = . 和

解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3) .f(x)+2x=a(x﹣1) (x﹣3) ,且 a<0.因 而 f(x)=a(x﹣1) (x﹣3)﹣2x=ax ﹣(2+4a)x+3a.① 2 由方程 f(x)+6a=0 得 ax ﹣(2+4a)x+9a=0.② 2 因为方程②有两个相等的根,所以△ =[﹣(2+4a)] ﹣4a?9a=0, 即 5a ﹣4a﹣1=0.解得 a=1 或 a=﹣ . 由于 a<0,a=﹣ ,舍去,故 a=﹣ . 将 a=﹣ 代入①得 f(x)的解析式 (Ⅱ)由 及 a<0,可得 f(x)的最大值为 .就 .
2 2



解得 a<﹣2﹣

或﹣2+

<a<0.

故当 f(x)的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 . 点评: 考查学生函数与方程的综合运用能力. 21. (12 分)设函数 y=f(x)是定义在 R+上的函数,并且满足下面三个条件: (1)对任意正数 x、y,都有 f(xy)=f(x)+f(y) ; (2)当 x>1 时,f(x)<0; (3)f(3)=﹣1, (Ⅰ)求 f(1) 、 的值;

(Ⅱ)如果不等式 f(x)+f(2﹣x)<2 成立,求 x 的取值范围. (Ⅲ)如果存在正数 k,使不等式 f(kx)+f(2﹣x)<2 有解,求正数 k 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;综合题;新定义;转化思想. 分析: (I)对于任意的 x,y∈(0,+∞) ,f(x?y)=f(x)+f(y) ,令 x=y=1,x=y=3,即 可求得 f(1) 、 的值;且当 x>1 时,f(x)<0,根据函数单调性的定义讨论函数的

单调性. (II)f(x)+f(2﹣x)=f[x(2﹣x)],根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等 式,解不等式即可求得结果. (III)把 f(kx)+f(2﹣x)根据条件转化为 f[kx(2﹣x)],根据函数的单调性把函数值不等 式转化为自变量不等式有解,分离参数转化我求函数的最值问题. 解答: 解: (I)令 x=y=1 易得 f(1)=0. 而 f(9)=f(3)+f(3)=﹣1﹣1=﹣2 且 ,





(II)设 0<x1<x2<+∞,由条件(1)可得





,由(2)知



所以 f(x2)<f(x1) , 即 f(x)在 R+上是递减的函数. 由条件(1)及(I)的结果得:

其中 0<x<2,由函数 f(x)在 R+上的递减性,可得: 由此解得 x 的范围是 .



(III)同上理,不等式 f(kx)+f(2﹣x)<2 可化为 得 ,此不等式有解,等价于

且 0<x<2, ,

在 0<x<2 的范围内,易知 x(2﹣x)max=1, 故 即为所求范围.

点评: 考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题,对于解决抽象函数的一般 采用赋值法,求某些点的函数值和证明不等式等,体现了转化的思想, (Ⅲ)不等式 f(kx) +f(2﹣x)<2 有解,采取分离参数的方法,转化为函数的最值问题,加大了试题的难度,属 中档题.


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