2017_2018学年高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式课件_图文

阶 段 一

阶 段 三

4.3 4.3.1
阶 段 二

空间直角坐标系 空间直角坐标系
学 业 分 层 测 评

4.3.2

空间两点间的距离公式

1.了解空间直角坐标系的建系方式.(难点) 2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点.(重点、 易错点) 3.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.(难点) 4.掌握空间两点间的距离公式,能够用空间两点间距离公式解决简 单的问题.(重点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 空间直角坐标系

阅读教材 P134~P135“例 1”以上部分,完成下列问题. 1.空间直角坐标系 以空间中两两_____ 垂直 且相交于一点 O 的三条直线分别为 x 轴、y 轴、 定义 z 轴, 这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz, 其中点 O 叫做坐标___ 原

点 ,x 轴、y 轴、z 轴叫做_______. 坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做 ___
_________ zOx 平面 坐标平面 ,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、____

画法

在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时,一般使∠xOy=____ ,∠yOz 135° =90°

图示 本书建立的坐标系都是____ 右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,

y 轴的正方向,中指指向 x 轴的正方向,食指指向__ 说明 让右手拇指指向__
__ z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系

2.空间中一点的坐标 空间一点 M 的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x,y,z),其中 x 叫做点 M 的

竖坐标 _______ 横坐标 ,y 叫做点 M 的_______ 纵坐标 ,z 叫做点 M 的_______.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中,在 Ox 轴上的点的坐标一定是(0,b,c).( )

(2) 在空间直角坐标系中,在 yOz 平面上的点的坐标一定可写成 (0 , b , c).( ) ) )

(3)在空间直角坐标系中,在 Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0,c).( (4)在空间直角坐标系中,在 xOz 平面上的点的坐标是(a,0,c).( 【解析】 (1)错误.x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为 0.

(2)、(3)、(4)正确. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√

教材整理 2 空间两点间的距离公式 阅读教材 P136“练习”以下至 P137 部分,完成下列问题.
2 2 2 x + y + z 1.点 P(x,y,z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离|OP|=____________.

2 . 任 意 两 点 P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z2) 间 的 距 离 |P1P2| =
2 2 2 ? x - x ? + ? y - y ? + ? z - z ? 1 2 1 2 1 2 ___________________________.

在空间直角坐标系中,A(-1,2,3),B(2,1,m),若|AB|= 110,则 m 的值为 ________.
【解析】 |AB|= ?-1-2?2+?2-1?2+?3-m?2 = 110, ∴(3-m)2=100,3-m=± 10. ∴m=-7 或 13.
【答案】 -7 或 13

[ 小组合作型]

空间中点的坐标的确定
在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D、BD 的 1 中点,G 在棱 CD 上,且 CG=4CD,H 为 C1G 的中点,试建立适当的坐标系, 写出 E、F、G、H 的坐标. 【精彩点拨】 要求点的坐标,需求得横、纵、竖坐标的值,即确定出所

求点的坐标.

【自主解答】

建立如图所示的空间直角坐标系.点 E 在 z 轴上,它的 x
? 1? DD1 的中点,故其坐标为?0,0,2?. ? ?

坐标、y 坐标均为 0,而 E 为

1 1 由 F 作 FM⊥AD、FN⊥DC,由平面几何知 FM=2、FN=2, 则F
?1 1 ? 点坐标为?2,2,0?. ? ? ? ? 3 3 点 G 在 y 轴上,其 x、z 坐标均为 0,又 GD=4,故 G 点坐标为?0,4,0?. ? ?

1 1 7 由 H 作 HK⊥CG 于 K,由于 H 为 C1G 的中点,故 HK=2、CK=8.∴DK=8.故 H
? 7 1? 点坐标为?0,8,2?. ? ?

1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的对称性. 2.求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上 的射影, 确定其两个坐标, 再找出它在另一轴上的射影(或者通过 它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.

[ 再练一题] 1.在棱长都为 2 的正三棱柱 ABCA1B1C1 中,建立恰当的空间直角坐标系, 并写出三棱柱 ABCA1B1C1 各顶点的坐标. 【解】 取 BC,B1C1 的中点分别为 O,O1,连接 OA,OO1,

根据正三棱柱的几何性质,OA,OB,OO1 两两互相垂直, 3 且 OA= 2 ×2= 3, 以 OA,OB,OO1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 如图所示, 则正三棱柱 ABCA1B1C1 各顶点的坐标分别为: A( 3,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A1( 3,0,2),B1(0,1,2),C1(0,-1,2).

求空间对称点的坐标
在空间直角坐标系中,已知点 P(-2,1,4). (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标; (2)求点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标; (3)求点 P 关于点 M(2,-1,-4)对称的点的坐标.
【精彩点拨】 对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标.

【自主解答】

(1)由于点 P 关于 x 轴对称后,它在 x 轴的分量不变,在 y

轴、z 轴的分量变为原来的相反数,所以对称点坐标为 P1(-2,-1,-4). (2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后,它在 x 轴、y 轴的分量不变,在 z 轴的分 量变为原来的相反数,所以对称点坐标为 P2(-2,1,-4). (3)设对称点为 P3(x,y,z),则点 M 为线段 PP3 的中点, 由中点坐标公式,可得 x=2×2-(-2)=6, y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12, 所以 P3 的坐标为(6,-3,-12).

?1?求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题, 要 掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用 “关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论. ?2?空间直角坐标系中,任一点 P?x,y,z?的几种特殊对称点 的坐标如下: ①关于原点对称的点的坐标是 P1?-x,-y,-z?;

②关于 x 轴?横轴?对称的点的坐标是 P2?x,-y,-z?; ③关于 y 轴?纵轴?对称的点的坐标是 P3?-x,y,-z?; ④关于 z 轴?竖轴?对称的点的坐标是 P4?-x,-y,z?; ⑤关于 xOy 坐标平面对称的点的坐标是 P5?x,y,-z?; ⑥关于 yOz 坐标平面对称的点的坐标是 P6?-x,y,z?; ⑦关于 xOz 坐标平面对称的点的坐标是 P7?x,-y,z?.

[ 再练一题] 2.已知 M(2,1,3),求 M 关于原点对称的点 M1,M 关于 xOy 平面对称的点 M2,M 关于 x 轴、y 轴对称的点 M3,M4.

【解】 由于点 M 与 M1 关于原点对称,所以 M1(-2,-1,-3);点 M 与 M2 关于 xOy 平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以 M2(2,1,-3);M 与 M3 关于 x 轴对称,则 M3 的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变 为原来的相反数,即 M3(2,-1,-3),同理 M4(-2,1,-3).

[ 探究共研型]

空间两点间的距离
探究 1 已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3,-1),请求出 P、Q 之间的距离.
【提示】 |PQ|= ?1-4?2+?0-3?2+?1+1?2= 22.

探究 2 上述问题中,若在 z 轴上存在点 M,使得|MP|=|MQ|,请求出点 M 的坐标. 【提示】 设 M(0,0,z),由|MP|=|MQ|,
得(-1)2+02+(z-1)2=42+32+(-1-z)2, ∴z=-6.∴M(0,0,-6).

31 所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,|AB| 如图 4=|AD|=3,|AA1|=2,点 M 在 A1C1 上,|MC1|=2|A1M|,N 在 D1C 上且为 D1C 的中点,求线段 MN 的长度. 【精彩点拨】 先建立空间直角坐标系,求出点 M、N 的坐

图 431

标,然后利用两点间的距离公式求解. 【自主解答】 如图所示,分别以 AB,AD,AA1 所在的直线为 x 轴、y 轴、
z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知 C(3,3,0),D(0,3,0), ∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2, ∴C1(3,3,2),D1(0,3,2),

∵N 为 CD1 的中点,
?3 ? ∴N?2,3,1?. ? ?

M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点, ∴M(1,1,2).由两点间距离公式,得 |MN|= 21 = 2 .
?3 ? ? -1?2+?3-1?2+?1-2?2 ?2 ?

利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为:

[ 再练一题] 3. 如图 432 所示, 直三棱柱 ABCA1B1C1 中, |C1C|=|CB| =|CA|=2,AC⊥CB,D,E 分别是棱 AB,B1C1 的中点,F 是 AC 的中点,求 DE,EF 的长度. 【解】 以点 C 为坐标原点,CA、CB、CC1 所在直线为

图 432

x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

∵|C1C|=|CB|=|CA|=2, ∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2), 由中点坐标公式可得, D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0), ∴|DE|= ?1-0?2+?1-1?2+?0-2?2 = 5, |EF|= ?0-1?2+?1-0?2+?2-0?2 = 6.

1.点 A(-1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为 ( A.(-1,0,1),(-1,2,0) B.(-1,0,0),(-1,2,0) C.(-1,0,0),(-1,0,0) D.(-1,2,0),(-1,2,0) )

【解析】 点 A(-1,2,1)在 x 轴上的投影点的横坐标是-1,纵坐标、竖坐标 都为 0,故为(-1,0,0),点 A(-1,2,1)在 xOy 平面上横、纵坐标不变且竖坐标是 0,故为(-1,2,0).
【答案】 B

2.在空间直角坐标系中,点 P(3,4,5)与 Q(3,-4,-5)两点的位置关系是 ( A.关于 x 轴对称 B.关于 xOy 平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 【解析】 点 P(3,4,5)与 Q(3,-4,-5)两点的横坐标相同,而纵、竖坐标 )

互为相反数,所以两点关于 x 轴对称. 【答案】 A

3.已知 A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段 AB 中点的坐标为________.

【解析】 设中点坐标为(x0,y0,z0), 3+5 2-2 -4+2 则 x0= 2 =4,y0= 2 =0,z0= 2 =-1, ∴中点坐标为(4,0,-1).
【答案】 (4,0,-1)

4.设 A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则 z=________.

【解析】 由|AB|= ?6-4?2+?2+7?2+?z-1?2 =11, 解得 z=7 或-5.
【答案】 7 或-5

5.VABCD 为正四棱锥,O 为底面中心,若 AB=2,VO=3,试建立空间 直角坐标系,并确定各顶点坐标. 【解】 以底面中心 O 为坐标原点,建立如图所示空
间直角坐标系. ∵V 在 z 轴正半轴上,且|VO|=3,它的横坐标与纵坐标 都是零, ∴点 V 的坐标是(0,0,3).而 A、B、C、D 都在 xOy 平面上, ∴它们的竖坐标都是零. 又|AB|=2, ∴A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),V(0,0,3).


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