高中数学(新课标人教A版)必修三《3.3.2均匀随机数的产生》课件_图文

3.3.2 均匀随机数的产生(选学)
【课标要求】
1.了解均匀随机数的产生方法与意义. 2.会用模拟试验求几何概型的概率. 3.能利用模拟试验估计不规则图形的面积.
【核心扫描】
1.会利用模拟试验估计概率.(重点) 2.会设计简单的模拟试验的设计方案.(难点)

自学导引
1.均匀随机数定义:如果试验的结果是区间[a,b]内的任何 一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,则称这些 实数为均匀随机数.
2.均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是_R__A_N__D函数. (2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为rand().
3.用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1) _试__验__模__拟__的方法:制作两个转盘模型,进行模拟试验, 并统计试验结果. (2) 计___算__机__模__拟__的方法:用Excel软件产生[0,1]区间上均匀 随机数进行模拟.注意操作步骤.

4.[a,b]上均匀随机数的产生
利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x=RAND,然后利用伸缩和平 移交换x=x1]
概率为0的事件一定是不可能事件吗?概率为1的事件也一定是必然事件 吗? 提示 如果随机事件所在区域是一个单点,因单点的长度、面积、体积均为0, 则它出现的概率为0(即P=0),但它不是不可能事件;如果随机事件所在的区 域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为1(即P=1),但它不是必然事 件.

名师点睛
1.均匀随机数的产生:(1)用计算器产生0~1之间的均匀随机数过程如图所示:

PRB

―→

―→ ―→

RAND RANDI STAT DEG

RAND ENTER ENTER 0.052 745 889
STAT DEG
这样得到的实数可以是区间[0,1]内的任何一个实数 a,而且出
现任何一个实数都是等可能的.反复按键 ENTER 就可产生
[0,1]内的多个均匀随机数. (2)用计算机产生均匀随机数的过程如下:Scilab中用 rand()函数来产生0~1的均匀随机数,每调用一次rand() 函数,就产生一个随机数,如果要产生a~b之间的随机 数,则使用变换rand()*(b-a)+a得到.

2.整数随机数与均匀随机数的联系与区别:
(1)二者都是随机产生的随机数,在一定的区域长度上出现的机率是均等 的.但是整数随机数是离散的单个整数值,相邻两个整数随机数的步长为1, 而均匀随机数是个小数或整数,是连续的小数值,相邻两个均匀随机数的步 长是人为设定的. (2)要产生[a,b]上的均匀随机数,利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随 机数x1=RAND,然后利用伸缩和平移变换x=x1]

题型一 用随机模拟法估计几何概型
【例1】取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟的方法计
算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大? [思路探索] 利用计算器产生随机数的方法或利用随机模拟的方法解决. 解 法一 (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]的均匀随机数,a1=RAND; (2)经过伸缩变换,a=a1*3; (3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N;
(4)计算频率fn(A)= 即为概率P(A)的近似值.

法二 做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度 [0,3](这里 3 和 0 重合).转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪 断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N,则 fn(A)=NN1即为概率 P(A)的近似值. 规律方法 通过模拟试验求某事件发生的概率,不同于古 典概型和几何概型试验求概率,前者只能得到概率的近似 值,后者求得的是准确值.用模拟试验求概率近似值的步 骤如下:第一步确定求均匀随机数的实数区间[a,b];第 二步用计算器或计算机求[0,1]内的均匀随机数;第三步用 伸缩变换转化到[a,b]内的随机数;第四步确定试验次数 N和事件A发生次数N,求得频率得出概率的近似值.

【变式1】在长为4,宽为2的矩形中有一以矩形长为直径的半圆.
(1)随机撒一把豆子,计算豆子落入半圆的概率. (2)利用计算机模拟的方法估计π值.

解 (1)试验的全集是长方形 Ω={(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤2}.事 件 A={(x,y)|x2+y2≤4,0≤y≤2}是 Ω 的子集,根据面积的计算 公式和几何概率定义得 P(A)=ΩA的的面面积积=12π·8???42???2=π4. (2)由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,
落在半圆中的豆子数 所以 π≈落在正方形中的豆子数×4, 这样就得到 π 的近似值.

题型二 利用随机模拟试验估计图形的面积
【例2】如图所示,向边长为2的正方形内投飞镖,求飞镖落在中央边长为1的正方
形内的概率.
审题指导 考查用随机模拟的方法求解.由于飞镖落在大 正方形内的位置是随机的,有无限个,并且是等可能的, 符合几何概型概率问题.

[规范解答] 法一 用计算机随机模拟这个试验,步骤如下: (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数 a1= RAND,b1=RAND.(2 分) (2)经过伸缩平移变换,a=(a1-0.5)*4,b=(b1-0.5)*4 得到 两组[-2,2]上的均匀随机数.(6 分) (3)统计出试验总次数 N,落在阴影部分的次数 N1.(8 分) (4)计算频率 fn(A)=NN1就是飞镖落在小正方形内的概率的近 似值.(12 分) 法二 根据几何概型计算公式可知,飞镖落在小正方形内的
概率为SS小大正正方方形形=14.

【题后反思】 根据“无限性”与“等可能性”判定为几何概型.用模拟方法得到 的事件A的概率与用几何概型计算得到的事件A的概率极其接近,说明模拟方 法是一种非常有效而且广泛使用的方法,尤其是现实的试验难以实施或不可 能实施的情况下,模拟方法可以给我们提供解决问题的方案.

【变式2】在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形.用随机模
拟法估算该正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率. 解 因为正方形的面积只与边长有关,所以本题可转化为在线段AB上任取一点M 使线段AM的长度介于6到9之间.设事件A={正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之 间},则: (1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数,a1=RAND; (2)经过伸缩变换,a=a1*12; (3)统计出试验总次数N和[6,9]内的随机数个数N1(即满足6<a <9的个数);
(4)计算频率 fn(A)=NN1即为概率 P(A)的近似值.

方法技巧 利用随机模拟试验求不规则图形的面积
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法,用计算器或计算机模拟试验, 首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量,我们可以从以 下几个方面考虑: (1)确定产生随机数组数,如长度型,角度型(一维)一组,面积型(二维)二组. (2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围,由事件A发生的条 件确定随机数应满足的关系式.

【示例】利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y=2-
2x-x2与x轴围成的图形)的面积.
[思路分析] 在坐标系内画出正方形,用随 机模拟方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从 而求得阴影部分的近似值.

解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数, a1=RAND,b1=RAND. (2)经过平移和伸缩变换 a=a1*4-3,b=b1*3,得到一组[-3,1],一组[0,3]上的均匀随 机数. (3)统计试验总次数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件 b< 2-2a-a2 的点(a,b)数).
(4)计算频率NN1就是点落在阴影部分的概率的近似值. (5)设阴影部分面积为 S.由几何概型公式得点落在阴影部分的
概率为1S2.∴1S2≈NN1.∴S≈12NN1即为阴影部分面积的近似值.

方法点评 (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时,一是选取合适的对应图 形;二是由几何概型正确计算概率. (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法.用计算器或计算机模拟试 验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型, 也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.


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