2019年数学理科作业及测试:课时作业专题五圆锥曲线的综合及应用问题含解析

专题五 第 1 课时 圆锥曲线的综合及应用问题 y2 |PF1|2 1.已知点 F1,F2 分别为双曲线 x - =1 的左、右焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 的 3 |PF2| 最小值为( ) A.8 B.5 C.4 D.9 x2 → → 2.已知点 F1,F2 是 +y2=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则PF1· PF2的最大值是( ) 4 A.4 B.5 C.2 D.1 x2 y2 3.(2017 年广东揭阳一模)已知双曲线 - =1 右焦点为 F,P 为双曲线左支上一点,点 A(0, 2), 4 2 则△APF 周长的最小值为( ) A.4(1+ 2) B.4+ 2 C.2( 2+ 6) D. 6+3 2 2 4.(2016 年四川)设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p>0) 上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且|PM|=2|MF|,则直线 OM 的斜率的最大值为( ) 3 2 2 A. B. C. D.1 3 3 2 x2 y2 5.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM| 25 16 +|PF1|的最大值为________. x2 y2 6.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 4 12 ________. x2 y2 3 7.(2014 年新课标Ⅰ)已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆的焦点, a b 2 2 3 直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. x2 x2 y2 8.(2017 年广东广州二模)已知双曲线 -y2=1 的焦点是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的顶点,且椭圆与 5 a b 双曲线的离心率互为倒数. (1)求椭圆 C 的方程; 4 3 (2)设动点 M,N 在椭圆 C 上,且|MN|= ,记直线 MN 在 y 轴上的截距为 m,求 m 的最大值. 3 第 2 课时 x2 y2 1.(2017 年广东调研)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点到直线 x-y+3 2=0 的距离为 5,且 a b 椭圆 C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为 10. (1)求椭圆 C 的标准方程; 1 1 6 5 ? (2)给出定点 Q? ,0 ,对于椭圆 C 的任意一条过 Q 的弦 AB,|QA|2+|QB|2是否为定值?若是,求 ? 5 ? 出该定值,若不是,请说明理由. x2 y2 2 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 P( 2,1). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 A1,A2 分别是椭圆 C 的左、右顶点,动点 M 满足 MA2⊥A1A2,且 MA1 交椭圆 C 于不同于 A1 的 → → 点 R,求证:OR· OM为定值. 3.(2017 年广东广州一模)过点 P(a,-2)作抛物线 C:x2=4y 的两条切线,切点分别为 A(x1,y1), B(x2, y2). (1)证明:x1x2+y1y2 为定值; (2)记△PAB 的外接圆的圆心为点 M,点 F 是抛物线 C 的焦点, 对任意实数 a,试判断以 PM 为直径 的圆是否恒过点 F? 并说明理由. x2 y2 6 4.(2017 年广东广州华附执信深外联考)已知椭圆 2+ 2=1,离心率为 ,点 A,B 分别是椭圆与 x a b 3 6 轴,y 轴的交点,且原点 O 到 AB 的距离为 . 2 (1)求椭圆方程; (2)如图 Z51 若 F 是椭圆的右焦点, 过 F 的直线 l 交椭圆于 M, N 两点, 当直线 l 绕着点 F 转动过程中, 试问在直线 x=3 上是否存在点 P,使得△PMN 是以 P 为顶点的等腰直角三角形,若存在,求出直线 l 的 方程;若不存在,请说明理由。 图 Z51 x2 y2 5.(2016 年四川)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶 a b 点,直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T. (1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (2)设 O 是坐标原点,直线 l′平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,且与直线 l 交于点 P.证明: 存在常数 λ,使得|PT|2=λ|PA|· |PB|,并求 λ 的值. 专题五 第 1 课时 圆锥曲线的综合及应用问题 1 .A 2 2 |PF1|2 ?|PF2|+2? |PF2| +4|PF2|+4 4 解析: = = =|PF2|+ +4≥2 |PF2| |PF2| |PF2| |PF2| 4 |PF2|· +4=8.当且仅 |PF2| 当|PF2|=2 时取等号. → → 2.D 解析:方法一,设点 P(x0,y0),F1(- 3,0),F2( 3,0),PF1=(- 3-x0,-y0),PF2=( 3 2 x0 3 2 3 2 → → 2 2 2 -x0,-y0),PF1· PF2=x2 0-3+y0=x0-3+1- = x0-2.又因为 x0≤4,所以 x0-2≤1. 4 4 4 → → 方法二,可设点 P(2cos α,sin α),转化为三角问题,则由PF1=(- 3-2cos α,-sin α),PF2=( 3- → → 2cos α,-sin α),得到PF1· PF2=3cos 2α-2≤1.故选 D. 3.A 解析:易得点 F( 6,0),△APF 的周长 l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF′|+|AP|,要△APF 的周长最小,只需|AP|

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