2014高考数学 分项练习大集结 圆锥曲线

2014 高考数学分项练习大集结:圆锥曲线
【说明】本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.方程

x2 sin 3 ? sin 2

?

y2 cos 3 ? cos 2

=1 所表示的曲线是()

A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 答案:C 解析:∵

?
2

< 3 <2<π ,∴sin 3 -sin2>0,cos 3 -cos2>0,

又 cos 3 -cos2-(sin 3 -sin2)= 2 ?sin(2+

?
4

)- 2 cos(2+

?
4

)>0,

故方程表示焦点在 y 轴上的椭圆. 2.设 e1,e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,

e ? e2 且满足 PF1 ? PF2 =0,则 1 的值为() (e1e2 ) 2
A.1B.

2

2

1 C.2D.不确定 2

答案:C 解析:设椭圆方程为

x2 y2 x2 y2 =1 , 双 曲 线 方 程 为 =1, 则 |PF1|+|PF2|=2a , ? ? ? a2 b2 m2 n2

|PF1|-|PF2|=2m,故|PF1|=a+m,|PF2|=a-m.又 PF1 ? PF2 =0, ∴(a+m) +(a-m) =4c ,即 a +m =2c ,
2 2 2 2 2 2

1 e1
2

?

1 e2
2

=2.

3.已知 F1、F2 是椭圆

y2 x2 + =1(5<a<10)的两个焦点,B 是短轴的一个端点,则△F1BF2 a 2 (10 ? a ) 2

的面积的最大值是() A.

100 3 100 3 1 2 B. C.100(3-2 2 )D. a 3 9 2

答案:B 解析:∵5<a<10,∴a>10-a.故 S ?F1BF2 =? c?b= a 2 ? (10 ? a ) 2 ?(10-a)=

20(a ? 5)(10 ? a ) 2 ? 20(a 3 ? 25a 2 ? 200a ? 500) .
令 t=a -25a +200a-500. 2 则 t′=3a -50a+200,
3 2

-1-

令 t′=0,则 a=

20 或 a=10,又 5<a<10, 3

故当 a=

10000 100 3 20 500 ? 时,t 取最大值 ,故△F1BF2 的最大值为 . 27 9 3 27
x2 2 -y =1 的右焦点为 F,直线 l 过点 F 且斜率为 k,若直线 l 与双曲线 C 的左、 4

4.设双曲线 C:

右两支都相交,则直线 l 的斜率的取值范围是()

1 1 1 1 或 k≥ B.k<- 或 k> 2 2 2 2 1 1 1 1 C.- <k< D.- ≤k≤ 2 2 2 2
A.k≤答案:C 解析:因渐近线的斜率为±

1 1 1 ,故- <k< . 2 2 2

5.椭圆

x2 y2 =1 上一点 P 到两焦点距离之积为 m,则当 m 取最大值时,P 点是() ? 25 9
5 3 5 3 , 2 )和( ,2) 2 2 2 2 3 2 , )D.(0,3)和(0,-3) 2

A.(5,0)和(-5,0)B.( C.(

5 2

3 5 2 , )和(2 2

答案:D 解析:∵|PF1|?|PF2|≤(

| PF1 | ? | PF2 | 2 10 2 ) =( ) =25. 2 2

当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,即 P 为短轴顶点. 6.如右图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE,则以 A、B 为焦 点,且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()

A. 3 B.1C.2 3 D.2 答案:A 解析:因 DA=AB?cos30°,DB=AB?sin30° ∴椭圆离心率为

AB AB ? 3 -1,双曲线离心率为 ? 3 +1. DA ? DB DA ? DB

故两离心率的倒数和为

1 3 ?1

?

1 3 ?1

? 3.

-2-

7.定长为 L(L> 标的最小值为() A.

2b 2 2 2 2 2 2 2 )的线段 AB 的端点在双曲线 b x -a y =a b 的右支上,则 AB 中点 M 的横坐 a

aL 2 a2 ? b2 a ( L ? 2a ) 2 a2 ? b2

B.

a?L 2 a2 ? b2 a ( L ? 2a ) 2 a2 ? b2

C.

D.

答案:D 解析:当 AB 过右焦点时,M 的横坐标最小. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8. 平面内有长度为 2 的线段 AB 和一动点 P ,若满足 |PA|+|PB|=6, 则 |PA| 的取值范围是 _________. 答案: [2,4] 解析: |PA|+|PB|=6>2, 所以点 P 的轨迹是以 A、 B 为焦点的椭圆, a=3,c=1,∴a-c≤|PA|≤a+c, 故应填[2,4]. 9.有一系列中心在原点, 以坐标轴为对称轴的椭圆, 它们的离心率 en=( 为准线,则所有椭圆的长轴之和为_______________. 答案:2

1 n ) (n∈N),且都以 x=1 2

1 2?( ) C a 1 n 1 n 1 n 2 =2. 解析:因 n =1, n =( ) ,故 an=( ) ,2an=2?( ) ,故所有椭圆的长轴之和为 1 an 2 2 2 Cn 1? 2
2

10.(2010 江苏南通九校模拟,18)以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| PA |-| PB |=k,则动点 P 的轨迹为双曲线;②过定圆 C 上一定点 A 作该圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若 OP =

1 ( OA + OB ) ,则动点 P 的轨迹为 2

椭圆;③方程 2x -5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线

2

x2 y2 =1 与 ? 25 9

椭圆

x2 2 +y =1 有相同的焦点. 35

其中真命题的序号为___________(写出所有真命题的序号). 答案:③④ 解析:当|k|<|AB|且 k≠0 时,①才正确;?②中的 P 点为 AB 中点,故 P 为以 AC 的中点为圆 心,

1 |AC|为半径的圆;③④易知正确. 2

三、解答题(11—13 题每小题 10 分,14 题 13 分,共 43 分) 11.(2010 湖北黄冈一模,22)已知△OFQ 的面积为 26,且 OF ? FQ =m.
-3-

(1)设 6 <m<4 6 ,求向量 OF 与 FQ 的夹角θ 正切值的取值范围; (2) 设以 O 为中心, F 为焦点的双曲线经过点 Q (如右图) , | OF |=c, m( 取得最小值时,求此双曲线的方程.

6 2 -1)c ,当?| OQ | 4

?1 ? | OF | ? | FQ | sin(? ? ? ) ? 2 6 , 解析:(1)∵ ? 2 ?| OF || FQ | cos ? ? m, ?
∴tanθ =

4 6 . m

又∵ 6 <m<4 6 ,∴1<tanθ <4.

(2)设所求的双曲线方程为

x2 x2 =1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则 FQ =(x1-c,y1), a2 b2

∴S△OFQ=

1 | OF |?|y1|=2 6 . 2

∴y1=±

4 6 . c
6 2 -1)c , 4

又由 OF ? FQ =(c,0) ? (x1-c,y1)=(x1-c)c=(

∴x1=

6 c. 4
2 2

∴| OQ |= x1 ? y1 ?

96 3 2 ? c ≥ 12 . c2 8

当且仅当 c=4 时,| OQ |最小,这时 Q 点坐标为( 6 , 6 )或( 6 ,- 6 ).

6 ?6 2 ? 2 ? 2 ? 1, ? ?a ? 4, ∴ ?a ∴? b 2 ?a 2 ? b 2 ? 16. ? ?b ? 12. ?

-4-

故所求的双曲线方程为

x2 y2 =1. 4 12
2 2

12.(2010 江苏苏州一模,22)已知点 P 是圆 x +y =1 上的一个动点,过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q, 设 OM = OP + OQ ,

(1)求点 M 的轨迹方程; (2)求向量 OP 和 OM 夹角的最大值,并求此时 P 点的坐标. 解析: (1)设 P(x0,y0),M(x,y), 则 OP =(x0,y0),

OQ =(x0,0), OM = OP + OQ =(2x0,y0).
1 ? ? x ? 2 x 0 , ? x 0 ? x, ∴? ?? 2 ? y ? y0 , ? ? y 0 ? y.
∵x0 +y0 =1, ∴
2 2

x2 2 +y =1. 4

(2)设向量 OP 与 OM 的夹角为α ,则 cosα =

OP ? OM | OP || OM |
2

?

2 x0 ? y 0
2

2

2 2

4 x0 ? y 0

?

( x0 ? 1) 2 3x0 ? 1
2

2

.

令 t=3x0 +1, 则 cosα =

1 (t ? 2) 2 1 4 2 2 ? t? ?4≥ . 3 t 3 t 3
3 6 ,± )时,等号成立. 3 3 2 2 . 3

当且仅当 t=2 时,即 P 点坐标为(±

∴ OP 与 OM 夹角的最大值是 arccos

-5-

13.(2010 湖北八校摸拟,21)P、Q、M、N 四点都在中心为坐标原点,离心率 e=

2 ,左焦点 F 2

(-1,0)的椭圆上,已知 PF 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线, PF ? MF =0,求四边形 PMQN 的面积的最大值与最小值. 解析:椭圆方程为

x2 2 +y =1. 2

∵ PF ? MF =0,PQ⊥MN. 设 PQ 的方程为 ky=x+1,代入椭圆方程消去 x 得 2 2 (2+k )y -2ky-1=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 |PQ|= 1 ? k |y1-y2|
2

= 1? k = 1? k

2

( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2

2

(

2k 2 1 ) ?4 2 2?k 2? k2

=

2 2 (1 ? k 2 ) . 2? k2
1 ,同理可得 k

(1)当 k≠0 时,MN 的斜率为-

2 2 (1 ?
|MN|=

2?

1 k2

1 ) k2 ,

1 ) 2 1 k 故四边形面积 S= |PQ||MN|= . 2 2 2 5 ? 2k ? 2 k 1 4(2 ? u ) 1 2 令 u=k + 2 ,则 u≥2,即 S= =2(1). 5 ? 2u 5 ? 2u k 16 16 当 k=±1 时,u=2,S= .且 S 是以 u 为自变量的增函数,∴ ≤S<2. 9 9 1 (2)当 k=0 时,MN 为椭圆的长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 ,S= |PQ||MN|=2. 2 16 综合(1)(2)知,四边形 PQMN 面积的最大值为 2,最小值为 . 9 4(2 ? k 2 ?
14.(2010 湖北十一校大联考,22)在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A(0,-1) ,B(0, 1) 平面内两点 G、 M 同时满足① GA + GB + GC =0,②| MA |=| MB |=| MC |, ③ GM ∥ AB .
-6-

(1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程; (2)设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上,定点 F 的坐标为(2,0) ,已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且

PF ? RF =0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.
解析:(1)设 C(x,y), ∵ GA + GB =2 GO ,由①知 GC =-2 GO , ∴G 为△ABC 的重心, ∴G(

x y , ). 3 3

由②知 M 是△ABC 的外心, ∴M 在 x 轴上. 由③知 M(

x ,0) , 3

由| MC |=| MA |, 得 ( ) ?1 ?
2

x 3

x (x ? )2 ? y 2 , 3

化简整理得:

x2 2 +y =1(x≠0). 3 x2 2 +y =1 的右焦点, 3
2 ,则直线 PQ 的方程为 y=k(x- 2 ), 2

(2)F( 2 ,0)恰为

设 PQ 的斜率为 k≠0 且 k≠±

由?

? ? y ? k ( x ? 2 ), ? (3k2+1)x2-6 2 k2x+6k2-3=0. 2 2 ? ? x ? 3 y ? 3 ? 0,

设 P(x1,x2),Q(x2,y2), 则 x1+x2=

6k 2 ? 3 6 2k 2 ,x .则|PQ|= 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 1∶x2= 2 2 3k ? 1 3k ? 1
6 2k 2 2 6k 2 ? 3 2 3 (k 2 ? 1) . ) ? 4 ? ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? 1? k 2 ? (

2 3 (k 2 ? 1) 1 ∵RN⊥PQ,把 k 换成- 得|RN|= , k 3? k2

-7-

∴S=

6(k 2 ? 1) 2 1 |PQ|?|RN|= ? 2? 2 (3k 2 ? 1)(k 2 ? 3)
1 8 )+10= . 2 2?S k

8 , 1 2 3(k ? 2 ) ? 10 k

∴3(k + ∵k +
2

2

1 ≥2, k2 8 ∴ ≥16, 2?S 3 ∴ ≤S<2(当 k=±1 时取等号). 2
又当 k 不存在或 k=0 时 S=2,

3 ≤S≤2, 2 3 ∴Smax=2,Smin= . 2
综上可得

-8-


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