2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

2016 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2016 年 7 月 2 日上午 9:30-11:30) 题号 一 9 得分 评卷人 复核人 注意:1.本试卷共 12 小题,满分 150 分;2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 3.书写不要超过装订线; 一.填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.设 sin x + cos x = 4.不得使用计算器. 10 二 11 12 总分

1 , 则 sin 3 x + cos3 x = . 2
2016

2.设 i 是虚数单位,化简 (i +1)

+ (i - 1)2016 =.

3.已知等差数列 a1 , a2 ,? ? ? , a1000 的前 100 项之和为 100,最后 100 项之和为 1000, 则 a1 =.

? ?,100}共有个元素,其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大 4.集合 {[ x] +[2x ] + [3x ] | x ? R}? {1, 2,?
整数. 5.若关于 x 的方程 x = ae 恰有三个不同实根,则实数 a 的取值范围是. 6.在如图所示的单位正方体 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中,设 O 是正方形 ABCD 的中心, 点 M , N 分别在棱 A 1M = 1D 1 , CC1 上, A
2 x

1 2 , CN = ,则四面体 OMNB1 的体积等于. 2 3

7.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点, P 经过 E 的两个焦点, 并且 P 与 E 恰有三个交点,则 E 的离心率等于.

? ? , 2016} ,则 x 在二进 8.等可能地随机产生一个正整数 x ? {1, 2,?
制下的各位数字之和不超过 8 的概率等于. 二.解答题(第 9-10 题,每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分) 9.已知数列 {an } 满足

a0 = 1, a2 = 5, an =

2 2an - 1 - 3an - 1 - 9 ,n ? 2 . 2an- 2

用数学归纳法证明: an = 2n+1 - 3 .

ABC 的内切圆与三边相切于 D, E, F .证明: D ABC 与 D DEF 相似当且仅当 D ABC 10. D
是正三角形. 11.证明:对任意实数 a, b, c 都有

a 2 + ab + b 2 + a 2 + ac + c 2 ?
并求等号成立的充分必要条件. 12.求满足 1 ? m
n

3a 2 (a + b + c) 2 .

nm ? mn 的所有正整数对 (m, n) .


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