三维设计高考数学(理)二轮复习 第一阶段 专题五 第三节 圆锥曲线的综合问题_图文

知识载体 第 一 阶 段 考点一 考点二 考点三 专 题 五 第 三 节 能力形成 创新意识 配套课时作业 明确求曲线方程的三种方法 1.定义法 如果能够根据所给条件,确定出轨迹是哪种类型的曲线, 那么只需求出参数的值,便得到轨迹方程,这种方法称为定义 法. 2.直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条 件简单明确,直接表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这 种方法称为直接法. 3.代入法 如果轨迹中的点P(x,y)依赖于另一动点Q(a,b),而Q(a, b)又在某已知曲线上,则可先列出关于x,y,a,b的方程组, 利用x,y表示出a,b,把a,b代入已知曲线方程便得点P的 轨迹方程,这种方法称为代入法(也称相关点法). [考情分析] 曲线与方程是解析几何中的基本问题之 一,高考对曲线与方程的要求不是很高,但高考中经常会 有一些试题是以建立曲线方程作为命题点的.从近几年高 考试题看,试题还是存在一定难度的,因此考生在复习时 不应忽视. [例 1] (2011· 陕西高考)如图, 设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点, 4 点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上一点,且|MD|=5|PD|. (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被 C 所截线段的长度. [思路点拨] 第(1)问利用已知点与未知点的关系再结合已知 点所满足的方程求解;第(2)问主要利用弦长公式求解. [解] (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP), ? ?xP=x, 由已知得? 5 y = y, ? ? P 4 ∵P 在圆上,∴x 2 ?5 ?2 +?4y? =25. ? ? x2 y2 即轨迹 C 的方程为25+16=1. 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为5的直线方程为 y=5(x-3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y=5(x-3)代入 C 的方程,得 x2 ?x-3? 2 + = 1 ,即 x -3x-8=0. 25 25 3- 41 3+ 41 所以 x1= 2 ,x2= 2 . 所以|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ? 16? ?1+ ??x1-x2?2= 25? ? 2 41 41 25×41= 5 . [类题通法] (1)求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能 预先知道轨迹为圆锥曲线,则可考虑用定义法或待定系 数法求解. (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,即应 注意字母的取值范围. [冲关集训] y2 x2 1.(2012· 武汉适应性训练)已知双曲线 2 - 3 =1 的两个焦点分别 为 F1,F2,则满足△PF1F2 的周长为 6+2 5的动点 P 的轨迹 方程为 x2 y2 A. 4 + 9 =1 x2 y2 C. 4 + 9 =1(x≠0) x2 y 2 B. 9 + 4 =1 x2 y2 D. 9 + 4 =1(x≠0) ( ) 解析:选 C 依题意得,|F1F2|=2 2+3=2 5,|PF1|+|PF2|= 6>|F1F2|, 因此满足△PF1F2 的周长为 6+2 5的动点 P 的轨迹是 以点 F1,F2 为焦点,长轴长是 6 的椭圆(除去长轴的端点),即 x2 y2 动点 P 的轨迹方程是 + =1(x≠0). 4 9 2.已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面上一动 ? ?? ? 1 1 ? PC PQ ?=0. 点,作 PQ⊥l 于 Q,且? PC +2 PQ ?· 2 ? ?? ? 问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线的方程. 解:设 P(x,y),则 Q(8,y). 1 1 由( PC +2 PQ )· ( PC -2 PQ )=0, 1 2 得| PC | -4| PQ |2=0, 1 2 2 即(x-2) +y -4(x-8)2=0, x2 y2 化简,得16+12=1. x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为16+12=1. [考情分析] 此考点多以解答题的形式考查,一般试 题难度较大,多考查点或参数是否存在,常与距离、斜率 或方程等问题综合考查,形成知识的交汇问题。 [例 2] (2012· 山东高考改编)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一象 限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到 3 抛物线 C 的准线的距离为4. (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在点 M, 使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. [思路点拨] (1)圆心 Q 在 OF 的垂直平分线上, 列方程可解; (2)用点 M 的横坐标 x0 表示抛物线在点 M 处的切线方程,与 y 1 =4联立,可用 x0 表示点 Q 的坐标,根据|OQ|=|QM|列方程求得 x0 的值. [解] p (1)依题意知 F(0,2),圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分 p p 3p 3 线 y=4上,因为抛物线 C 的准线方程为 y=-2,所以 4 =4,即 p=1, 因此抛物线 C 的方程为 x2=2y. x2 0 (2)假设存在点 M(x0, 2 )(x0>0)满足条件,抛物线 C 在点 M x2 处的切线斜率为 y′|x=x0=( 2 )′|x=x0=x0, x2 0 所以直线 MQ 的方程为 y- 2 =x0(x-x0). 1 x0 1 令 y=4得 xQ= 2 +4x , 0 所以 ?x0 1 1? Q? 2 +4x ,4?. ? ? 0 又|QM|=|OQ|, ? 1 ? 1 x0?2 ?1 x2 x0?2 1 0 ?2 故?

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