高中数学第二章变化率与导数2.3计算导数课件3北师大版选修22_图文

复习回顾
* 导数的定义:

函数

y ? f ( x)在 x0 处的导数 f ?( x0 ) :

f ( x1 ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ? lim x1 ? x0 ?x ?0 x 1 ? x0 ?x
* 导数的几何意义: 函数 y ? f ( x )在 x0 处的导数,即是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处的切线斜率。

新课讲解

例1 一个运动物体走过的路程 s (m)是时间 t (s)的

函数 s ? f (t ) ? 2t 2,求 f ?(5) ,并解释其实际意义。 解: 对于t = 5时自变量的增量 ?t ,函数值的改变 量 ?s 为: ?s ? f (5 ? ?t ) ? f ( 5)

? 2(5 ? ?t ) 2 ? 2 ? 5 2 ? 2(10?t ? ?t ) ?s 2(10?t ? ?t 2 ) ? ? 2(10 ? ?t ) 平均变化率为: ?t ?t
2

lim 2(10 ? ?t ) ? 20 ?t ? 0 时,f ?(5) ? ? t ?0

* 导数是瞬时变化率 * 表示何意义? ∴ f ?(5) 表示的是物体在第 5 s 时的瞬时速度为20m/s。

2 例2 求函数 f ( x ) ? ? x 在下列各点的导数: x

( 1)

x ? 1 ;(2) x ? ?2 ;(3) x ? x0
根据求导数的步骤,请在练

习本上试写出你的解答过程~~

解: (1)对 x = 1 时 x 的改变量 ?x,可得:

?y ? f (1 ? ?x ) ? f (1) 2 ?x 2 ? ?x ? ? (1 ? ?x ) ? 3 ? 1 ? ?x 1 ? ?x
平均变化率为: ?x 2 ? ?x ?y ?x ? 1 1 ? ? x ? ? ?x ?x 1 ? ?x 1 ? ?x ? 2 2 ? ? 1? 1 ? ?x 1 ? ?x 2 ∴ f ?(1) ? lim (1 ? ) ? ?1 ?x ?0 1 ? ?x 先求?? 再求??

x ? ?2 和 x ? x0

时的导数? 试着做下~

?x (2)函数值的增量: ?y ? f ( ?2 ? ?x ) ? f ( ?2) ? ? ?x ? 2 ? ?x ?x ? ?x ?y ? 2 ? ?x 1 平均变化率: ? ? ?1 ?x ?x ? 2 ? ?x 1 1 1 ? lim ( ? 1) ? ? ? 1 ? ∴ f ( ?2) ? ? x ?0 ? 2 ? ?x 2 2

(3)函数值的增量:

2?x ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? ? 2 ? ?x x0 ? x0 ?x ?y 2 平均变化率: ?? 2 ?1 ?x x0 ? x0 ?x
2 2 lim ( ? 2 ? 1) ? ? 2 ? 1 ∴ f ?( x0 ) ? ? x ?0 x0 ? x0 ?x x0

概括
对于 y ? f ( x ) ,在定义域内任何一点 x0 ,
2 ? f ( x ) ? ? ?1 导数值 0 2 x0

对应

每一个 x 值 函数值 f ( x0 )

2 2 f ?( x ) ? ? 2 ? 1 是 x 的函数,称之为 f ( x ) ? ? x x x

的导函数。

导函数定义: 一般地,若函数 f ( x)在区间 ( a , b )上的每一点 处,都有导数 f ?( x):
f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim ?x ?0 ?x
f ?( x) 是 x 的函数,称之为 f ( x) 的导函数,也简称导

x

数。

给出一些函数,求它们的导数时,是否总要一次
次的去求增量变化率的极限呢?? 对于简单函数来说,计算增量还比较方便,但是 如果函数比较复杂,如指数、对数函数,要求增量, 就不那么容易了,为了解决可能遇到的导数计算问题,

我们给出学过的基本初等函数的导数计算公式。

为了方便,今后我们可以直接使用下面的基本初
等函数的导数公式,计算时可以直接查表: 函数 导数
y? ? 0
y? ? ? ln ?
x

y?c
C是常数

函数

导数

y ? x?
y ? sin x

y? ? ?x? ?1
y? ? cos x
y? ? ?sinx 1 y? ? cos 2 x

y ??

x

? ? 0, ? ? 1

特别地,
x

y ? log? x
? ? 0, ? ? 1

(e )? ? e 1 y? ? x ln a 特别地, 1 (ln x )? ? x
x

y ? cos x
y ? tan x

y ? cot x

1 y? ? ? sin 2 x

2 1. 求 f ( x ) ? 3x ? x 的导函数 f ?( x) ,并利用导函

数 f ?( x) 求 f ?(1) , f ?(0) 。 f ?(?2) ,
f ?( x ) ? 6 x ? 1 f ?(1) ? 5

f ?(2) ? ?13
1

f ?(0) ? ?1

2. 试求函数 f ( x ) ? x 的导函数 f ?( x) 和 f ?( 25) 。
1 f ?( 25) ? 2 x 10 3. 试求函数 y ? x 3 ? x ? 1的导函数 f ?( x)和曲线在
f ?( x ) ?

点 (1,3)处的切线方程。

4x ? y ? 1 ? 0

f ?( x ) ? 3 x 2 ? 1

* 导函数定义:

一般地,若函数 f ( x)在区间 ( a , b )上的每一点
处,都有导数 f ?( x):
f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim ?x ?0 ?x

x

f ?( x) 是 x 的函数,称之为 f ( x) 的导函数,也简称导

数。


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