湖南省衡阳八中2015届高三上学期第二次月考试题 数学文


衡阳市八中 2015 届高三第二次月考试题
文科数学
命题人:罗欢 曾令华 审题人:彭学军 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 2. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? {x | x ? 0, x ? R}, N ? {x | x ? 1, x ? R} ,则 M
2

N ?(



A. [0,1]

B. (0,1)

C. (0,1]

D. [0,1) ) D. y ? log 2 x ) D.第四象限

2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是( A. y ? x ? 1 B. y ? tan x C. y ? x
3

3.已知点 P (cos ? , tan ? ) 在第三象限,则角 ? 的终边在( A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 ) C. (0,1) )

4 ? x2 4.函数 f ( x) ? 的定义域为( ln x
A.

[?2, 2]

B. (0, 2]

(1, 2)

D. (0,1)

(1, 2]

5.设 a ? log 2 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ?2 , 则(
2

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

D. c ? b ? a

6.将函数 y ? sin x 的图象向左平移 法正确的是( )

?
2

个单位,得到函数 y ? f ? x ? 的函数图象,则下列说

A. y ? f ? x ? 是奇函数 C. y ? f ? x ? 的周期是 ?
3

B. 3 y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? D. y ? f ? x ? 的图像关于 ? ? ) D.b<

?
2

对称

? ? ? , 0 ? 对称 ? 2 ?

7.函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 4b 在(0,1)内有零点.则( A.b>0 B.b<1 C.0<b<1 )

1 2

8. 函数 f ( x) ? ln 2 ? x 的图象大致为(

? , x ? R) 的部分图 2 象如图所示,则函数表达式为( ) ? ? ? ? A. y ? ?4 sin( x ? ) B. y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 ? ? ? ? C. y ? 4 sin( x ? ) D. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 8 4
9. 函数 y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ?

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 10.已知函数 f ( x) ? ? , 若 | f ( x) |? ax ? 1 恒成立, 则 a 的取值范围是 ( ? ln( x ? 1), x ? 0
(A) [?2, 0] (B) [?2,1] (C) [?4, 0] (D) [?4,1]



二、填空题:本大题共 5 小题。每小题 5 分,请将答案填写在答卷相应的位置上。 11. 已知 tan ? ?

1 sin ? ? cos ? ,则 ? ______ 2 sin ? ? cos ?

12.曲线 y= e x 在 x=1 处的切线方程为___________ 13 .已知 p : x ? k,q : ___________ 14. 设集合 M={(x,y)|x +y = a , x ? 0 , y∈R},N={(x,y)| 2 ? y ? 0 , x ? 0 ,y∈R},
2 2

3 ? 1 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围是 x ?1
x

若 M∩N 恰有两个子集,则由符合题意的 a 构成的集合为______

( x ? 4) ? f ( x ? 2) ? (3 ? x ? 4) ,则 f (2014) =________; 15.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? x ? 1 ? f ( x ? 1) ( x ? 3) ?
f ( x) ? 5 的解集为___________ . 2

三、解答题:本大题共 6 个小题(要有解答过程) 。 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?
3 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? ,求 5 2 ? ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?

(2) 若 cos ? ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? ax 在 x=1 处有极小值—1.
3 2

(1)求 a, b 的值; (2)求出函数 f(x)的单调区间. 18. (本小题满分 12 分)如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形, ED ? 面

ABCD , ?BAD ?

?
3



(1)求证: 平面BCF / / 平面AED . (2)若 BF ? BD ? a, 求四棱锥A ? BDEF的体积。

19. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos 2 x ? 4 3 sin x cos x ? 1, x ? R 。 (1)求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合; (2)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ;若 a, b, c 成等比数列, 且 c ? 2a ,求 f ( B ?

?
12

) 的值

20.(本小题满分 13 分)某地区地理环境偏僻,严重制约经济发展,影响了某种土特产品销 售。该地区政府每投资 x 万元,所获利润为 P ? ?

1 x( x ? 80) 万元. 为顺应开发大西北的宏 8

伟决策,该地区政府在制订经济发展十年规划时,拟开发此种土特产品,而开发前后用于该 项目投资的专项财政拨款每年都是 60 万元. 若开发该产品,必须在前 5 年中,每年从 60 万 元专款中拿出 30 万元投资修通一条公路,且 5 年可以修通. 公路修通后该土特产品销售渠 道拓宽,每投资 x 万元,可获利润 Q ? ?

1 x( x ? 90) 万元. 问从该土特产十年的投资总利润 6

(未用来投资的专项财政拨款视为利润)来看,该项目有无开发价值?请详细说明理由. 21. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 1 ax 2 ? bx ? ln x ,其中 a,b∈R 3 (1)当 a=3,b=-1 时,求函数 f(x)的最小值; (2) 当 a > 0 ,且 a 为常数时,若函数 h(x) = x[f(x) + lnx] 对任意的 x1 > x2 ≥ 4 ,总有
h( x1 ) ? h( x 2 ) ? ? 1 成立,试用 a 表示出 b 的取值范围. x1 ? x2

衡阳市八中 2015 届高三第二次月考文科数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1—5DCBDC 6——10DCBDC

二、填空题:本大题共 5 小题。每小题 5 分,请将答案填写在答卷相应的位置上。 11.-1/3 12.y=ex 13.k>2 14.{1} 15.2, [a, a ? ), a ? Z

1 2

三、解答题:本大题共 6 个小题(要有解答过程) 。 16.(12 分) 【解析】(1) f ?

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ?3? ? 3 12 ? ?4?

(2)

4 3 ? 3? ? cos ? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
17.(12 分)解析: (1) f ?( x) ? 3 x ? 2bx ? a
2

由题易知 ?

? f ?(1) ? 3 ? 2b ? a ? 0 ? a ? 1 ?? ? f (1) ? 1 ? b ? a ? ?1 ?b ? ?1

? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x …………………………………. 6 分 2 (2) f ?( x) ? 3 x ? 2 x ? 1 ? (3 x ? 1)( x ? 1) 1 1 由 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1 或 x ? ? ;由 f ?( x) ? 0 可得 ? ? x ? 1 3 3 1 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ? ) , (1, ??) 3 1 函数 f ( x) 的单调递增区间为 (? ,1) 3
18.(12 分) 试题解析:证明: (1)由 ABCD 是菱形

? BC / / AD
BC ? 面ADE , AD ? 面ADE
由 BDEF 是矩形? BF / / DE

? BC / / 面ADE

3分

BF ? 面ADE , DE ? 面ADE BC ? 面BCF , BF ? 面BCF , BC
∴ 平面BCF / / 平面AED . (2)连接 AC , AC 由 ABCD 是菱形, 6分

? BF / / 面ADE

BF ? B

BD ? O ? AC ? BD

由 ED ? 面 ABCD , AC ? 面ABCD

? ED ? AC
? AO ? 面BDEF ,
10 分

ED , BD ? 面BDEF , ED
?
3

BD ? D

则 AO 为四棱锥 A ? BDEF 的高 由 ABCD 是菱形, ?BAD ? ,则 ?ABD 为等边三角形,

由 BF ? BD ? a ;则 AD ? a , AO ?

3 a S BDEF ? a 2 , 2 ,
13 分

1 3 3 3 VA? BDEF ? ? a 2 ? a? a 3 2 6

19. (13 分) 解析: (1) f ( x) ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin 2 x ? 1 ? 4sin(2 x ? 易知 函数 f ( x) 的最小正周期 T ?

?
6

) ?1

2? ?? , 2

最大值为 5,对应的自变量 x 的取值集合为 {x | x ? k? ? (2)因为在 ABC 中,若 a, b, c 成等比数列,

?
6

, k ? Z}

? b 2 ? ac ,又 c ? 2a

a 2 ? c2 ? b2 3 7 ? cos B ? ? ? sin B ? 2ac 4 4

? f (B ?

?
12

) ? 4sin 2 B ? 1 ? 8sin B cos B ? 1 ?

3 7 ?2 2

20.(13 分) 解析:该项目有开发的价值. (1) 若不开发该产品: 因为政府每投资 x 万元,所获利润为 P ? ?

投资结余 60 ? x 万元,故可设每年的总利润为

1 x( x ? 80) (0 ? x ? 60) 万元, 8

1 1 f ( x) ? ? x( x ? 80) ? 60 ? x ? ? x 2 ? 9 x ? 60 8 8

(0 ? x ? 60)

f ( x)max ? f (36) ? 222 万元
故十年总利润为 2220 万元. (2)若开发该产品 前五年每年所获最大利润为 P (30) ? 后五年可设每年总利润为

……………….

5分

375 万元, 2

1 g ( x) ? ? x( x ? 90) ? 60 ? x 6 1 ? ? x 2 ? 14 x ? 60 , (0 ? x ? 60) 6

g ( x) max ? g (42) ? 354 万元
故十年总利润为

375 5415 ? 5 ? 354 ? 5 ? ? 2220 2 2

所以从该土特产十年的投资总利润来看,该项目具有开发价值. 21.(13 分)

……………

13 分

试题解析:(1)当 a=3,b=-1 时, f ( x) ? x ? x ? ln x, x ? (0, ??)
2

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x 1 1 ∵x>0,∴0<x< 时 f '(x)<0,x> 时,f '(x)>0 2 2 1 1 即 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增 2 2 1 ∴ f ( x) 在 x ? 处取得最小值 2
∴ f '( x) ? 2 x ? 1 ?

即 ? f ( x) ?min ? f ( ) ?

1 2

3 ? ln 2 4
[h( x1 ) ? x1 ] ? [h( x 2 ) ? x 2 ] ? 0 成立 x1 ? x2

(2)由题意,对任意的 x1>x2≥4,总有

令 p( x) ? h( x) ? x ? 1 ax 3 ? bx 2 ? x, x ?[4, ??) 3 则函数 p(x)在 x ?[4, ??) 上单调递增 ∴ p '( x) ? ax 2 ? 2bx ? 1 ? 0 在 x ?[4, ??) 上恒成立
2 ∴ 2b ? ax ? 1 ? ax ? 1 在 x ?[4, ??) 上恒成立 x x

构造函数 F ( x) ? ax ? 1 (a ? 0), x ? (0, ??) x
2 则 F '( x) ? a ? 12 ? ax 2?1 x x

∴F(x)在 (0,

a ) 上单调递减,在 ( a , ??) 上单调递增 a a

(i)当 a ? 4 ,即 0 ? a ? 1 时,F(x)在 [4, a ) 上单调递减,在 ( a , ??) 上单调递增 a a a 16 ∴ ? F ( x) ? min ? F ( a ) ? 2 a a ∴ 2b ? ? F ( x) ? min ,从而 b ? (??, a ] (ii)当 a ? 4 ,即 a ? 1 时,F(x)在(4,+∞)上单调递增 a 16
2b ? F (4) ? 4a ? 1 ,从而 b ? (??, 2a ? 1 ] 4 8

综上,当 0 ? a ? 1 时, b ? (??, a ] , a ? 1 时, b ? (??, 2a ? 1 ] 16 16 8


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