2017高中数学课本典例改编之必修2、必修3打包精品(6份) 人教课标版2(新教案)

一、题之源:课本基础知识 .四个公理 公理:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. .空间直线的位置关系 ()位置关系的分类:

()异面直线所成的角: ①定义:设是两条异面直线,经过空间中任一点作直线′∥′∥,把′与′所成的锐角(或直 角)叫做异面直线与所成的角(或夹角). ②范围:. ()定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. .空间直线与平面,平面与平面之间的位置关系

相交
直 平行 线 与 平 在平面 面内

图形语言

符号语言 ∩α =
∥α


公共点 个 个
无数个

平 平行


α ∥β



与 平 相交 面

α ∩β =

无数个

.直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

判 平面外一条直线与这个平面内的一
定 条直线平行,则该直线与此平面平
定 行(线线平行? 线面平行)


性 一条直线与一个平面平行,则过这

质 条直线的任一平面与此平面的交线

定 与该直线平行(简记为“线面平行



? 线线平行”)

..平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言
一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 判定定理 行,则这两个平面平行 (简记为“线面平行?
面面平行”)

性质定理

如果两个平行平面同时 和第三个平面相交,那
么它们的交线平行

图形语言 图形语言

.直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言
判 一条直线与一个平面内的两
定 条相交直线都垂直,则该直线
定 与此平面垂直


图形语言

符号语言 ∵∥? α ?α ,∴∥α
∵∥α ? β ,α ∩β =,∴∥
符号语言 ∵∥β ∥β ,
∩= ? α ? α ,∴α ∥β
∵α ∥β , α ∩γ = β ∩γ =,
∴∥
符号语言
? ⊥α



质 垂直于同一个平面的两条直



线平行



.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言
判 定 一个平面过另一个平面的垂 定 线,则这两个平面互相垂直 理 性
两个平面互相垂直,则一个 质
平面内垂直于交线的直线垂 定
直于另一个平面 理

图形语言

.空间角 ()直线与平面所成的角

?∥
符号语言 ? α ⊥β
? ⊥α

①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的 角,如图,∠就是斜线与平面 α 所成的角. ②线面角 θ 的范围:θ ∈.
()二面角 ①定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的 棱.两个半平面叫做二面角的面. 如图的二面角,可记作:二面角 α ??β 或二面角??. ②二面角的平面角

如图,过二面角 α ??β 的棱上一点在两个半平面内分别作⊥⊥,则∠就叫做二面角 α ??β 的 平面角. ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ ,则 θ ∈. ④当 θ =时,二面角叫做直二面角.
二、题之本:思想方法技巧 .空间线面关系的组合判断题,是一类常见的客观题.解这类题,一要准确把握、理解相关概 念;二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法;三要借助空间直观.如教室就是一个长方体, 建议同学们学立体几何时充分借助这一模型. .要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的互译,特别要培养准确使用符号 语言的能力.在空间图形中,点是最基本的元素,点与线、点与面是元素与集合的关系,直线与 平面是集合与集合的关系,防止出现符号“∈”、“? ”混用的错误. .求两条异面直线所成角的步骤是:先作图,再证明,后计算.作图,往往过其中一条直线上一 点作另外一条直线的平行线,或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线,即平移线段法,此 法是求异面直线所成角的常用方法,其实质是把异面问题转化为共面问题;证明,即证明作图 中所产生的某个角是异面直线所成的角;计算,一般在一个三角形中求解,这往往需要运用正 弦定理或余弦定理来解决,如果计算出来的角度是钝角,则需要转化为相应的锐角,因为异面 直线所成角的范围是. .证明“线共面”或者“点共面”问题时,运用同一法,可以先由部分直线或者点确定一个平 面,再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内. .证明“点共线”问题时,可以将这些点看做是两个平面的交线上的点,只要证明这些点是两 个平面的公共点,根据公理就可以确定这些点都在同一条直线上,即点共线. .异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时 经过这两条直线”,也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”,但是不能理解为“分别 在两个平面内的两条直线”. .探求常规的异面直线所成角的问题,首先要理清求角的基本步骤为“一作,二证,三求”,通 过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角,其中空间选点任意但要灵 活,如常选择“端点,中点,等分点”,通过三角形的中位线平行于底边,长方体对面上的平行 线进行平移等.这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题. ..证明线线平行的方法 ()利用平面几何知识; ()平行公理:∥∥? ∥;

()线面平行的性质定理:∥α ? β ,α ∩β =? ∥; ()面面平行的性质定理:α ∥β ,α ∩γ =,β ∩γ =? ∥; ()线面垂直的性质定理:⊥α ⊥α ? ∥. .证明直线和平面平行的方法 ()利用定义(常用反证法); ()判定定理:?α ? α ,且∥? ∥α ; ()面面平行性质:α ∥β ? α ? ∥β ; ()向量法?α ⊥α ⊥? ∥α ; ()空间平行关系传递性:∥?α ∥α ? ∥α ; ()α ⊥β ⊥β ?α ? ∥α . .证明面面平行的方法 ()利用定义(常用反证法); ()利用判定定理:? β ∩=∥α ∥α ? α ∥β ; 推论:? β ? α ∩=∩=∥∥(或∥∥)? α ∥β ; ()利用面面平行的传递性:? α ∥γ ; ()利用线面垂直的性质:? α ∥β . .应用面面平行的性质定理时,关键是找(或作)辅助线或平面,对此需要强调的是: ()辅助线、辅助平面要作得有理有据,不能随意添加; ()辅助面、辅助线具有的性质,一定要以某一性质定理为依据,不能主观臆断. .注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化 线线平行线面平行面面平行. 应用判定定理时,注意由“低维”到“高维”: “线线平行”? “线面平行”? “面面平行”; 应用性质定理时,注意由“高维”到“低维”: “面面平行”? “线面平行”? “线线平行”. .判断(证明)线线垂直的方法 ()根据定义; ()如果直线∥⊥,则⊥; ()如果直线⊥面 α ? α ,则⊥; ()向量法:两条直线的方向向量的数量积为零. .证明直线和平面垂直的常用方法 ()利用判定定理:两相交直线? α ⊥⊥? ⊥α . ()∥⊥α ? ⊥α ; ()利用面面平行的性质:α ∥β ⊥α ? ⊥β ;

()利用面面垂直的性质:α ⊥β ,α ∩β =? α ⊥? ⊥β ;α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =? ⊥γ . .证明面面垂直的主要方法 ()利用判定定理.在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利用等腰三角形底边的 中线垂直于底边,勾股定理的逆定理等结论; ()用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角; () 如 果 一 个 平 面 垂 直 于 两 个 平 行 平 面 中 的 一 个 , 则 它 也 垂 直 于 另 一 个 平 面 : α ∥β ,α ⊥γ ? β ⊥γ . .平面与平面垂直的性质的应用 当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂 直,进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系),构造(寻找)二面 角的平面角或得到点到面的距离等. .注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化
.线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤: 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求出该角,步骤是作 (找)? 证? 求(算)三步曲. 也可用射影法: 设斜线段在平面 α 内的射影为′′与 α 所成角为 θ ,则 θ =; 设△在平面 α 内的射影三角形为△′′′,平面与 α 所成角为 θ ,则 θ =.
三、题之变:课本典例改编 .原题(必修第页习题 2.2A 组第八题)如图,直线相交于点,求证:平面∥平面 1C. 改编 如图,直线、、相交于点,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥,设三棱锥高均为,若上 面三棱锥中装有高度为的液体,若液体流入下面的三棱锥,则液体高度为.

【答案】 ? 3 7 . 2
.原题(必修第页习题组第四题)如图,透明塑料制成的长方体容器 1C 内灌进一些水,固定容器 底面一边于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面五个命题:其中所有正确命题的 序号是,为什么? ()有水的部分始终呈棱柱形;()没有水的部分始终呈棱柱形;()水面所在四边形的面积为定 值; ()棱始终与水面所在平面平行;()当容器倾斜如图()所示时, BE ? BF 是定值. 改编 如图,透明塑料制成的长方体容器 1C 内灌进一些水,固定容器底面一边于地面上,再将 容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面七个命题,真命题的有. ()有水的部分始终呈棱柱形;()没有水的部分始终呈棱柱形;()水面所在四边形的面积为定 值; ()棱始终与水面所在平面平行;()当容器倾斜如图()所示时, BE ? BF 是定值;()当容器任 意倾斜时, 水面可以是六边形;()当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.

()

()

【解析】经分析可得答案为(),(),(),(),(),().

()

()

()

.原题(必修第页例)改编 如图-,已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面边长 AB ? 2 ,

侧棱 BB1 的长为,过点 B 作 B1C 的的垂线交侧棱 CC1 于点 E ,交 B1C 于点 F .

(Ⅰ)求证: A1C ? 平面 BED ; (Ⅱ)求 A1B 与平面 BDE 所成的角的正弦值.

【解析】(Ⅰ)如图-,以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间 直角坐标系 D ? xyz . ∴ D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0), A1(2, 0, 4), B1(2, 2, 4),C1(0, 2, 4), D1(0, 0, 4) .

设 E(0, 2,t) ,则 BE ? (?2,0,t), B1C ? (?2,0, ?4) . ∵ BE ? B1C ,∴ BE ? B1C ? 4 ? 0 ? 4t ? 0 . ∴ t ? 1,∴ E(0, 2,1) , BE ? (?2, 0,1) . 又 A1C ? (?2, 2, ?4), DB ? (2, 2,0) , ∴ A1C ? BE ? 4 ? 0 ? 4 ? 0 且 A1C ? DB ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0 . ∴ A1C ? DB 且 A1C ? BE . ∴ A1C ? BD 且 A1C ? BE .∴ A1C ? 平面 BDE .
.原题(必修第页复习参考题组第十题)如图,已知平面?, ? ,且? ? ? AB, PC ??, PD ? ?,C, D 是
垂足,试判断直线与的位置关系?并证明你的结论.
改编 如图,已知平面 ?, ? ,且 ? ? ? AB, PC ? ?, PD ? ? ,C, D 是垂足.(Ⅰ)求证: AB ?平面 PCD;(Ⅱ)若 PC ? PD ? 1, CD ? 2 ,试判断平面? 与平面 ? 的位置关系,并
证明你的结论.

.原题(必修第页复习参考题组第一题)如图,边长为的正方形中,
()点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将 ?AED, ?DCF 分别沿 DE, DF 折起,使 A,C 两 点重合于点 A?,求证: A?D ? EF . ()当 BE ? BF ? 1 BC 时,求三棱锥 A? ? EFD 的体积.
4
改编 如图-,在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ?1, E 是 CD 的中点,以 AE 为折痕将 ?DAE 向上折起,使 D 为 D? ,且平面 D?AE ?平面 ABCE . (Ⅰ)求证: AD? ? EB; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABD? 所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)在 Rt?BCE 中, BE ? BC2 ? CE2 ? 2 , 在 Rt?AD?E 中, AE ? D?A2 ? D?E2 ? 2 , ∵ AB2 ? 22 ? BE2 ? AE2 ,∴ AE ? BE . ∵平面 AED? ? 平面 ABCE ,且交线为 AE , ∴ BE ? 平面 AED? .∵ AD? ? 平面 AED? , ∴ AD? ? BE . (Ⅱ)设 AC 与 BE 相交于点 F ,由(Ⅰ) 知 AD? ? BE , ∵ AD? ? ED? , ∴ AD? ? 平面 EBD?, ∵ AD? ? 平面 AED? ,

∴平面 ABD? ? 平面 EBD?,且交线为 BD? ,
虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事,但古人说得好——吃一堑,长一智。多了一次失败,就多了一次教训;多了一次挫折,就多了一次经验。没有失败和挫折的人,是永远不会成功的。 快 乐学习并不是说一味的笑,而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的,人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起 你的整个世界,愿你做自己生命中的船长,在属于你的海洋中一帆风顺,珍惜生命并感受生活的真谛! 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的,对吗,智者千虑,必有一失;愚者千虑,必有一得, 学习必须与实干相结合,学习,就要有灵魂,有精神和有热情,它们支持着你的全部!灵魂,认识到自我存在,认识到你该做的是什么;精神,让你不倒下,让你坚强,让你不畏困难强敌;热情, 就是时刻提醒你,终点就在不远方,只要努力便会成功的声音,他是灵魂与精神的养料,它是力量的源泉。


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