2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时跟踪检测52 理 新人教A版

课时跟踪检测(五十二)

[高考基础题型得分练] 1.双曲线 x2-my2=1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m=( )

A.14

B.12

C.2

D.4

答案:D
解析:双曲线的方程可化为 x2-y12=1, m

1 ∴实轴长为 2,虚轴长为 2 m,

∴2=2×2 1m,解得 m=4.

2.已知双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x,且经过点(2,2),则 C 的方程为( )

x2 y2 A. 3 -12=1

x2 y2 B.12- 3 =1

y2 x2 C. 3 -12=1

y2 x2 D.12- 3 =1

答案:A

解析:由题意,设双曲线 C 的方程为y42-x2=λ



≠0),因为双曲线

C

22 过点(2,2),则 4 -

22=λ ,解得 λ =-3,所以双曲线 C 的方程为y42-x2=-3,即x32-1y22 =1.

3.[2017·吉林长春模拟]已知 F1,F2 是双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的两个焦点,以 F1F2

为直径的圆与双曲线的一个交点是 P,且△F1PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心 率是( )

A. 2

B. 3

C.2

D.5

答案:D

解析:不妨设点 P 位于第一象限,F1 为左焦点,|PF2|=m-d,|PF1|=m,|F1F2|=m+d,

其中 m>d>0,则有(m-d)2+m2=(m+d)2,解得 m=4d,故双曲线的离心率 e=|PF|1|F-1F2||PF2|

=5.

4.若双曲线 x2+ym2=1 的一条渐近线的倾斜角 α ∈???0,π3 ???,则 m 的取值范围是(

)

A.(-3,0)

B.(- 3,0)

C.(0,3)

D.???- 33,0???

答案:A

解析:由题意可知 m<0,双曲线的标准方程为 x2--y2m=1,经过第一、三象限的渐近线方

程为 y= -mx,

因为其倾斜角 α ∈???0,π3 ???,所以 -m=tan α ∈(0, 3),故 m∈(-3,0). 5.[2017·河南郑州模拟]已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 作斜率 为-1 的直线交双曲线的渐近线于点 P,点 P 在第一象限,O 为坐标原点,若△OFP 的面积为 a2+b2
8 ,则该双曲线的离心率为( )

5 A. 3

7 B. 3

10 C. 3

15 D. 3

答案:C

解析:如图所示,

由 kPF=-1,得∠PFO=π4 ,

由 kOP=tan∠POF=ba,得

sin∠POF=

bb a2+b2=c,

cos∠POF=

aa a2+b2=c,

所以 sin∠OPF=sin???∠POF+π4 ???=bc× 22+ac× 22=a+2cb.

又∵S△OPF=12c·|PF|·

2 a2+b2 c2 2 = 8 = 8 ,得

|PF|= c , 22

a+b b 2c c
由正弦定理,得 c = c ,
22

整理得 a=3b,又 a2+b2=c2,故 e= 310.

6.[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知 M(x0,y0)是双曲线 C:x22-y2=1 上的一点,F1,F2 是 C

→→ 的两个焦点.若MF1·MF2<0,则 y0 的取值范围是( )

A.???- 33, 33???

B.???- 63, 63???

C.???-2 3 2,2 3 2???

D.???-2 3 3,2 3 3???

答案:A

解析:由题意知,a= 2,b=1,c= 3,

∴ F1(- 3,0),F2( 3,0),





∴ MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0).

→→ ∵ MF1·MF2<0,

∴ (- 3-x0)( 3-x0)+y20<0, 即 x20-3+y20<0. ∵ 点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴ x220-y20=1,即 x20=2+2y20,

∴ 2+2y20-3+y20<0,

∴ - 33<y0< 33.故选 A.

7.已知 F 为双曲线 C:x92-1y62 =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的

2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________.

答案:44

x2 y2 解析:由 9 -16=1,得

a=3,b=4,c=5.

∴|PQ|=4b=16>2a. 又∵A(5,0)在线段 PQ 上, ∴P,Q 在双曲线的右支上, 且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,

由双曲线定义知,?????||PQFF||- -||PQAA||= =22aa= =66, , ∴|PF|+|QF|=28. ∴△PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. 8.已知 F1,F2 是双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,

若边 MF1 的中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率是________.

答案: 3+1

解析:因为 MF1 的中点 P 在双曲线上,|PF2|-|PF1|=2a,△MF1F2 为正三角形,边长都是

2c,所以

3c-c=2a,所以 e=ca=

2= 3-1

3+1.

9.过双曲线 C:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点

P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________.

答案:2+ 3 解析:如图,F1,F2 为双曲线 C 的左,右焦点,

将点

P

的横坐标

2a

x2 y2 代入a2-b2=1

中,得

y2=3b2,

不妨令点 P 的坐标为(2a,- 3b),

此时 kPF2=c-32ba=ba,得到 c=(2+ 3)a,

即双曲线 C 的离心率 e=ca=2+ 3.

10.[2017·江南十校联考]已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率

为 2,且过点 P(4,- 10).

(1)求双曲线的方程;

→→ (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·MF2=0.

(1)解:∵e= 2, ∴可设双曲线的方程为 x2-y2=λ (λ ≠0).

∵双曲线过点(4,- 10),

∴16-10=λ ,即 λ =6. ∴双曲线的方程为 x2-y2=6.

(2)证明:证法一:由(1)可知,a=b= 6,

∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0),

m

m

∴kMF1=3+2

3,kMF2=3-2

, 3

kMF1·kMF2=9-m212=-m32.

∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3,

故 kMF1·kMF2=-1, →→
∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2=0.

证法二:由(1)可知,a=b= 6,∴c=2 3,

∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0),





MF1=(-2 3-3,-m),MF2=(2 3-3,-m),

→→ ∴MF1·MF2=(3+2 3)×(3-2 3)+m2=-3+m2,

∵点 M(3,0)在双曲线上,

∴9-m2=6,即 m2-3=0,

→→ ∴MF1·MF2=0.
[冲刺名校能力提升练] 1.如图,F1,F2 是椭圆 C1:x42+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、

四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A. 2

B. 3

3

6

C.2

D. 2

答案:D

解析:|F1F2|=2 3. 设双曲线的方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0).

∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a. 在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90°, ∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 即(2-a)2+(2+a)2=(2 3)2,

∴a=

2,∴e=ca=

3= 2

26.故选

D.

2.[2017·广西柳州、北海、钦州三市联考]已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)与抛物线 y2

=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为

() A.x±2y=0

B.2x±y=0

C.x± 3y=0

D. 3x±y=0

答案:D 解析:抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为直线 x=-2, ∵双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,则双曲线的半焦

距 c=2, ∴a2+b2=4,①

又∵|PF|=5,∴点 P 的横坐标为 3,代入抛物线 y2=8x 得 y=±2 6,则 P(3,±2 6),

∵点

P

9 24 在双曲线上,则有a2- b2 =1,②

联立①②,解得 a=1,b= 3,

x2 y2 ∴双曲线a2-b2=1

的渐近线方程为

y=±

3x.

3.[2017·山西太原二模]已知 F1,F2 分别是双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 A,B,若|AB|=|AF2|,∠F1AF2=90°,则双 曲线的离心率为( )

6+ 3 A. 2

B. 6+ 3

5+2 2 C. 2

D. 5+2 2

答案:B

解析:∵|AB|=|AF2|,∠F1AF2=90°,

∴|BF2|= 2|AF2|. 又由双曲线的定义知,|BF1|-|BF2|=2a,

∴|AF1|+|AB|- 2|AF2|=2a,

即|AF1|+(1- 2)·|AF2|=2a. 又|AF2|-|AF1|=2a,

∴|AF2|=2(2+ 2)a,|AF1|=2(1+ 2)a.

在 Rt△AF1F2 中,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,

即[2(2+ 2)a]2+[2(1+ 2)a]2=(2c)2,

c2 ∴a2=9+6

2,∴e=

9+6

2=

6+

3.故选 B.

4.设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点

A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.

5 答案: 2

??x-3y+m=0,

解析:由???y=bax,



点 A 的坐标为???3ba-m a,3bb-m a???,

??x-3y+m=0,

由???y=-abx,



点 B 的坐标为???3-b+ama,3bb+m a???, 则 AB 的中点 C 的坐标为???9ba2-2m a2,9b32b-2ma2???, 而 kAB=13,由|PA|=|PB|,可得

AB 的中点 C 与点 P 连线的斜率为-3,
3b2m 9b2-a2 即 kCP=9ba2-2m a2-m=-3,

化简得???ba???2=14,

所以双曲线的离心率 e= 1+???ab???2= 1+14= 25. 5.[2017·甘肃兰州诊断]已知曲线 C:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 y

= 3x,右焦点 F 到直线 x=ac2的距离为32.

(1)求双曲线 C 的方程;

(2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 相交于 B,D 两点,已知 A(1,0),

→→ 若DF·BF=1,证明:过 A,B,D 三点的圆与 x 轴相切.
(1)解:依题意有ba= 3,c-ac2=32,

∵a2+b2=c2, ∴c=2a,∴a=1,c=2,∴b2=3, ∴双曲线 C 的方程为 x2-y32=1.

(2)证明:设直线 l 的方程为 y=x+m(m>0),

B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD 的中点为 M,

??y=x+m, 由???x2-y32=1,

得 2x2-2mx-m2-3=0,

∴x1+x2=m,x1x2=-m2+2 3,

→→ 又DF·BF=1,

即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1,

∴m=0(舍去)或 m=2, ∴x1+x2=2,x1x2=-72, 点 M 的横坐标为x1+2 x2=1,
→→ ∵DA·BA=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2) =5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0, ∴AD⊥AB, ∴过 A,B,D 三点的圆以点 M 为圆心,BD 为直径, ∵点 M 的横坐标为 1, ∴MA⊥ x 轴. ∴过 A,B,D 三点的圆与 x 轴相切. 6.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A,B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围. 解:(1)设双曲线 C 的方程为xa22-yb22=1(a>0,b>0). 由已知,得 a= 3,c=2, 再由 a2+b2=c2,得 b2=1, ∴双曲线 C 的方程为x32-y2=1. (2)设 A(xA,yA),B(xB,yB), 将 y=kx+ 2代入x32-y2=1, 得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.

1-3k2≠0,

??Δ =

-k2



? 由题意知, xA+xB=16-32kk2<0,

??xAxB=1--39k2>0,

解得 33<k<1. 此时,l 与双曲线左支有两个交点.

故 k 的取值范围为??? 33,1???. (3)由(2),得 xA+xB=16-32kk2,

∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2)

=k(xA+xB)+2

22 2=1-3k2.

∴AB 的中点 P 的坐标为???13-32kk2,1-32k2???. 设直线 l0 的方程为 y=-1kx+m,

将点 P 的坐标代入直线 l0 的方程,得 m=14-32k2.

∵ 33<k<1,∴-2<1-3k2<0.

∴m<-2 2.

∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).


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