高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量知识导航学案北师大版必修4

§3 从速度的倍数到数乘向量 知识梳理 1.向量数乘 (1)定义:一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 λ a. λ a 的长度与方向规定如下:|λ a|=|λ ||a|;当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反;当 λ =0 时,λ a=0. (2)向量数乘的运算律 设 λ 、μ 是实数,则有 λ (μ a)=(λ μ )a;(λ +μ )a=λ a+μ a;λ (a+b)=λ a+λ b. (3)向量数乘的几何意义:λ a 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向扩大 或缩小|λ |倍. 2.向量的线性运算 (1)向量的加法、减法和向量数乘的综合运算,叫做向量的线性运算.若一个向量 c 是由另 一些向量的线性运算得到的,我们就说这个向量 c 可以用另一些向量线性表示. (2)向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加、减法、乘 法满足的运算法则,但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似,因此, 实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用. 3.向量共线的判定定理和性质定理 判定定理:如果 a=λ b,则 a∥b; 性质定理:如果 a∥b(b≠0),则一定存在一个实数 λ ,使得 a=λ b. 4.平面向量基本定理 如果 e1 和 e2 是平面内的两个不共线的向量, 那么该平面内的任一向量 a, 存在唯一的一对实 数 a1,a2,使 a=a1e1+a2e2.我们把不共线向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基 底,记为{e1,e2},a1e1+a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1,e2}的分解式. 5.直线的向量参数方程式 已知 A、B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,则对于直线 l 上任一点 P,存在实数t,使 OP =(1-t) OA +t OB ,这个等式又称为直线 l 的向量参数方程式. 知识导学 1.一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决这一类问题的关键, 注意转化与化归的思想 应用. 2.灵活、适当地选择一组平面向量基底来表示其他未知向量是正确解决向量问题的前提. 3.在解决问题时,一定要自觉作出草图来寻找解题思路,重视数形结合思想的运用. 疑难突破 1.向量共线定理有何应用? 剖析:学习了平行向量基本定理后,对定理的应用陷入茫然.其突破方法是对平行向量基本 定理的结论的理解不够彻底.下面分三方面来讨论. (1)判定定理的结论是 a∥b,那么用平行向量基本定理可以证明两向量共线. 1 (a+b),求证: AB ∥ BC . 2 1 1 证明:由题意得 AB =b-a, BC = OC - OB = (b+a)-b= (a-b), 2 2 例如:设 OA =a, OB =b, OC = 1 ∴ BC =- 1 AB . 2 ∴ AB ∥ BC . 由此可见,证明向量 a∥b,只需找到满足 a=λ b 的实数 λ 的一个值即可. (2)判定定理的结论是 a∥b,则有当 OA =a, OB =b 时,有 O、A、B 三点共线,即用平行 向量基本定理可以证明三点共线. 例如:设 OA =a, OB =b, OC = 证明:由题意得 AB =b-a. 1 (a+b),求证:A、B、C 三点共线. 2 1 1 BC = OC - OB = (a+b)-b= (a-b), 2 2 1 ∴ BC = AB .∴ AB ∥ BC . 2 ∴A、B、C 三点共线. 由此可见,三点共线问题通常转化为向量共线问题. (3)判定定理的结论是 a∥b,当 a 和 b 所在的直线分别是直线 m 和 n 时,则有直线 m、n 平行或重合,即用平行向量基本定理可以证明两直线平行. 例如:如图 2-3-1,已知△ABC 中,D、E 分别是边 AB、AC 上的点,并且 AD=xAB,AE=xAC,0 <x<1. 图 2-3-1 求证:DE∥BC 且 DE=xBC. 证明:∵AD=xAB,AE=xAC, ∴ AD =x AB , AE =x AC . ∴ DE = AE - AD =x( AC - AB )=x BC . ∴ DE ∥ BC . ∴DE∥BC 且 DE=xBC. 由此可见,证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线. ( 4 ) 性 质 定 理 的 结 论 是 a=λ b , 则 有 |a|=|λ |·|b| , 当 OA =a , OB =b 时 , | OA |=|λ |·| OB |,从而 OA=λ OB,即用平行向量基本定理可以证明两平行线段间的长度 关系. 例如:如图 2-3-2,平行四边形 OACB 中,BD= 1 BC,OD 与 BA 相交于 E. 3 2 图 2-3-2 求证:BE= 1 BA. 4 1 BA. 4 证明:设 E′是线段 BA 上的一点,且 BE′= 设 OA =a, OB =b,则 BD = 1 1 a, OD =b+ a. 3 3 ∵ BE' = OE' -b,E′A=a- OE' ,3 BE' =E′A, ∴3( OE' -b)=a- OE' . 1 3 1 (a+3b)= (b+ a). 4 4 3 3 ∴ OE' = OD . 4 ∴ OE' = ∴O、E′、D 三点共线,即 E,E′重合. ∴BE= 1 BA. 4 由此可见,证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线. 2.如何正确认识平面向量基本定理? 剖析: 疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理, 有什么作用?突破口是从定理的条 件和结论来分析. 平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸, 即平面内任一向量 a 都可分 解成两个不共线向量 e1,e2(基底)的唯一线性组合形式 λ 1e1+λ 2e2.因此平面向量基本定 理也是是

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