北京师大附中2012-2013学年下学期高一年级期末考试数学试卷(AP班) 后有答案

北京师大附中 2012-2013 学年下学期高一年级期末考试数学试卷(AP 班) 试卷说明:本试卷共 100 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题。本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 函数 f ( x) ? x 3 ? 4 x ? 5 的图像在 x ? 1 处的切线斜率是( A. 1 B. 3 C. 7 D. 10 ) 。 2. 函数 f ( x) ? x cos x ? sin x 在下面的哪个区间内是增函数( A. ( ) 。 ? 3? 2 , 2 ) B. (? ,2? ) C. ( 3? 5? , ) 2 2 ) 。 D. (2? ,3? ) 3. 设 f ( x) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) =2,则 x0 =( A. e 2 B. e 4 C. ) 。 ln 2 2 D. ln 2 4. 计算 ? 2 1 dx 的结果是( x B. 2 ln 2 3 A. ? 2 ln 2 5. 已知定积分 A. 0 2 C. ? ln 2 3 ?3 D. ln 2 ) 。 ? 0 f ( x)dx ? 6 ,且 f ( x) 是偶函数,则 ? f ( x)dx ? ( B. 3 C. 12 D. 18 6. 已知 f ( x) ? 3x ? 2 x ? 1,若 A. -1 或 ? 1 ?1 f ( x)dx ? 2 f (a) ,则 a 的值为( C. 1 或 ) 1 3 B. -1 或 ? 1 3 1 3 D. 1 或 ? 1 3 ) 。 7. 等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ( A. 14 B. 21 C. 28 D. 35 8. 等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,公比 | q |? 1 。若 am ? a1a2 a3 a4 a5 ,则 m=( A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 ) 。 9. 等比数列 {an } 中, 函数 f ( x) ? x( x ? a1 )(x ? a2 )?( x ? a8 ) , 则 f ?(0) a1 ? 2, a8 ? 4 , =( ) 。 6 A. 2 B. 2 9 C. 2 10 D. 2 12 二、填空题。本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 10. 已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c=_______。 3 11. 由曲线 y ? x , y ? x 围成的封闭图形面积为_______。 2 3 12. 根据定积分的几何意义可计算得 ? 1 0 1 ? x 2 dx =_________。 2 13. 函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的图像在点 (ak , ak ) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 a k ?1 ,其 中 k ? N 。若 a1 ? 16 ,则 a1 ? a3 ? a5 =________。 * 14. The intervals in which the function y ? 2 x ? 3 is monotonic increasing are __________。 x 三、解答题。其中第 15 题 12 分,第 16 题 9 分,第 17 题 9 分。 15. 求下列定积分的值。 (1) ? ? 0 sin xdx (2) ? (3x 1 2 2 ? 2 x ? 1)dx (3) ? | x ? 1 |dx 0 3 3 16. 某工厂要设计一种有盖的长方体包装盒。 现要求这种包装盒的容积为 50dm , 并且底 面的长宽比为 3:1。已知制造上下底面的材料成本为 144 元/ dm ,制造侧面的材料成本为 60 元/ dm ,问应该如何设计这个纸盒的尺寸,才能使得制作它所用的材料成本最低(纸盒 各面连接处的材料忽略不计) 。 17. Consider a differentiable function f(x). If f ?( x) is also differentiable, it can be written as 2 2 d ( f ?) d 2 f ? ? f dx dx2 n ? f ( 2) , etc. And it’s called the second derivative. We call f(x) is second differentiable in some interval I if f ??( x) exists, ?x ? I . Now we consider a second differentiable function g(x) in some interval. We have known the fact that if g ?( x0 )=0 and g ?(x) changes sign from positive to negative at x ? x0 , then g ( x0 ) is a local maximum. Similarly, if g ?( x0 ) ? 0 and g ?( x ) changes sign from negative to positive at x ? x0 , then g ( x0 ) is a local minimum. The method is first derivative check. There is another method called second derivative check to find extrema. If g ?( x0 ) ? 0 and g ??( x0 ) ? 0

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