【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库:第4章 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角]

第4讲

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性 质及三角

一、填空题 2 ?π? 1.已知函数 f(x)=Acos (ωx+φ)的图象如图所示,f?2?=-3,则 f(0)=________. ? ?

解析

2 ?11π ? 由题中图象可知所求函数的周期为3π,故 ω=3,将? 12 ,0?代入解析 ? ?

11 π 9π π 式得 4 π+φ=2+2 kπ,所以 φ=- 4 +2kπ,令 φ=-4代入解析式得 f(x)= π? π 2 π ? ?π? ? π? Acos ?3x-4?,又因为 f?2?=-Asin 4=-3,所以 f(0)=Acos ?-4?=Acos 4 ? ? ? ? ? ? 2 =3. 答案 2 3

π? π? ? ? 2.函数 y=sin?2x+6?+cos?2x-3?的最大值为________. ? ? ? ? 解析 法一 π π π π 由题意可知 y=sin 2xcos 6+cos 2xsin6+cos 2xcos3+sin 2xsin3

π? ? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6?,所以最大值为 2. ? ? π? π? π? ?? ? 2x+6?- ?= 法二 y=sin?2x+6?+cos?? ? 2? ? ? ?? π? ? 2sin?2x+6?,所以最大值为 2. ? ? 答案 2

π 3.若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)在一个周期内的图象如图所示,M, →· → =0,则 A· N 分别是这段图象的最高点和最低点,且OM ON ω=________. 解析 由题图可知,T=π,所以 ω=2, π π π ? ? 易得 sin?2×12+φ?=1,又|φ|<2,所以 φ=3, ? ? π? ? ?π ? ?7π ? 因此 y=Asin?2x+3?,又 M?12,A?,N?12,-A?, ? ? ? ? ? ? →· → =0,则 π ×7π-A2=0,所以 A= 7π, 若OM ON 12 12 12 7 7 因此 A· ω=2× 12 π= 6 π. 答案 7 6π 4m-6 有意义,则 m 的范围为________. 4-m

4.要使 sin α- 3cos α= 解析

4m-6 4m-6 π? ? =sin α- 3cos α=2sin?α-3?∈[-2,2],所以-2≤ ≤2, ? ? 4-m 4-m

7 解得-1≤m≤3. 7? ? 答案 ?-1,3? ? ? ? π? 5.将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y=sin?x-6? ? ? 的图象,则 φ 等于________. 解析 ? π? ? π ? ? π? ? 11 ? ∵sin?x-6?=sin?x-6+2π?,即 sin?x-6?=sin?x+ 6 π?,∴将函数 y ? ? ? ? ? ? ? ?

11 ? π? =sin x 的图象向左平移 π 个单位可得到函数 y= sin?x-6?的图象. 6 ? ? 答案 11 6π

1 ? x 3π? 6. 在同一平面直角坐标系中, 函数 y=cos?2+ 2 ?(x∈[0,2π])的图象和直线 y=2 ? ? 的交点个数是________. x ?x 3π? 解析 y=cos?2+ 2 ?=sin2(x∈[0,2π]),画出图象可得在[0,2π]上它们有 2 个 ? ?

交点.

答案:2 7.给出下列命题: ?2 π? ①函数 y=cos?3x+2?是奇函数; ? ? 3 ②存在实数 α,使得 sin α+cos α=2; ③若 α,β 是第一象限角且 α<β,则 tan α<tan β; 5π? π ? ④x=8是函数 y=sin?2x+ 4 ?的一条对称轴; ? ? π? ? ?π ? ⑤函数 y=sin?2x+3?的图象关于点?12,0?成中心对称图形. ? ? ? ? 其中正确命题的序号为________. 2 ?2x π? 解析 ①y=cos? 3 +2??y=-sin 3x 是奇函数; ? ? π? ? ②由 sin α+cos α= 2sin?α+4?的最大值为 2, ? ? 3 3 2<2,所以不存在实数 α,使得 sin α+cos α=2. ③α=60° ,β=390° ,显然有 α<β,且 α,β 都是第一象限角,但 tan α= 3, 3 tan β=tan 390° = 3 ,tan α>tan β,所以③不成立. π π? π 5 π 5 3 3 ? ④∵ 2×8 + 4 π =4 + 4 π = 2 π , sin 2 π =- 1 ,∴④成立.⑤∵sin ?2×12+3? = ? ? ?π π? sin?6+3?=1≠0,∴⑤不成立. ? ? 答案 ①④

π 8.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2)的 1 图象如图所示,则当 t=100秒时,电流强度是________安. T 4 1 1 解析 由图象知 A=10, 2=300-300=100, 2π ∴ω= T =100π.∴I=10sin(100πt+φ). 1 π ? 1 ? ?300,10?为五点中的第二个点,∴100π× 300+φ=2. ? ? 1? π 1 ? ∴φ=6.∴I=10sin?100πt+6?,当 t=100秒时,I=-5 安. ? ? 答案 -5 π? ? ? π ? 9.设函数 y=2sin?2x+3?的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈?-2,0?,则 ? ? ? ? x0=________. 解析 因为函数图象的对称中心是其与 x 轴的交点,

π? π ? ? π ? 所以 y=2sin?2x0+3?=0,x0∈?-2,0?,解得 x0=-6. ? ? ? ? 答案 π -6

π? π ? 10. 函数 f(x)=3sin?2x-3?的图象为 C, 下列结论: ①图象 C 关于直线 x=6对称; ? ? ? π ? ? π 5π? ②图象 C 关于点?-6,0?对称;③f(x)在区间?-12,12?上是增函数; ? ? ? ? π ④函数 g(x)=3sin 2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到 f(x)的图象,其中 正确的命题序号是________. π π π π ?π ? 解析 ①当 x= 时,2x- =2× - =0,所以 C 关于点?6,0?对称,所以① 6 3 6 3 ? ? π? π ? ? 2π? 不正确.②当 x=-6时,3sin?2x-3?=3sin?- 3 ?≠0,所以②不正确.③当 x ? ? ? ? π ? π π? ? π 5π? ? π π? ∈?-12,12?时,2x-3∈?-2,2?,y=f(x)在?-2,2?上单调增,所以③正 ? ? ? ? ? ? 2π? ? π? ? π? ? 确.④g?x-3?=3sin 2?x-3?=3sin?2x- 3 ?≠f(x),所以④不正确,故正确的 ? ? ? ? ? ? 题号是③.

答案 ③ 二、解答题 π? ? 11.函数 f(x)=Asin?ωx-6?+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两条对称 ? ? π 轴之间的距离为2. (1)求函数 f(x)的解析式; π? ?α? ? (2)设 α∈?0,2?,f?2?=2,求 α 的值. ? ? ? ? 解 (1)由题意,A+1=3,所以 A=2. π 因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为2, 所以最小正周期 T=π, 所以 ω π? ? =2.故函数 f(x)=2sin?2x-6?+1. ? ? π? ?α? ? (2)因为 f?2?=2sin?α-6?+1=2, ? ? ? ? π? 1 π ? 所以 sin?α-6?=2.又 0<α<2, ? ? π π π 所以 α-6=6,即 α=3.

12.如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角 到 OB,设 B 点与地面间的距离为 h. (1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式,并 求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?

解 (1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则以 Ox 为始边,

π OB 为终边的角为 θ-2,故点 B 的坐标为 ? ? π? ? π?? ?4.8cos?θ-2?,4.8sin?θ-2??, ? ? ? ? ?? ? π? ∴h=5.6+4.8sin?θ-2?. ? ? π (2)点 A 在圆上转动的角速度是30, π 故 t 秒转过的弧度数为30t, π? ?π ∴h=5.6+4.8sin?30t-2?,t∈[0,+∞). ? ? 到达最高点时,h=10.4 m. π? π π π ?π 由 sin?30t-2?=1,得30t-2=2,∴t=30, ? ? ∴缆车到达最高点时,用的最少时间为 30 秒. 13. 已知函数 f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A、 B、 ω 是常数, ω>0)的最小正周期为 2, 1 并且当 x=3时,f(x)max=2. (1)求 f(x)的解析式; ?21 23? (2)在闭区间? 4 , 4 ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方 ? ? 程;如果不存在,请说明理由. 2π 解 (1)因为 f(x)= A2+B2sin(ωx+φ),由它的最小正周期为 2,知 ω =2,ω 1 1 π π =π,又因为当 x=3时,f(x)max=2,知3π+φ=2kπ+2(k∈Z),φ=2kπ+6(k∈ π? π? ? ? Z),所以 f(x)=2sin?πx+2kπ+6?=2sin?πx+6?(k∈Z). ? ? ? ? π? ? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?πx+6?. ? ? (2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲 π π 1 21 1 23 线的对称轴,令 πx+6=kπ+2(k∈Z),解得 x=k+3(k∈Z),由 4 ≤k+3≤ 4 , 59 65 ?21 23? 解得12≤k≤12,又 k∈Z,知 k=5,由此可知在闭区间? 4 , 4 ?上存在 f(x)的 ? ?

16 对称轴,其方程为 x= 3 . x π ? x π? 14.已知函数 f(x)=2 3sin2+4· cos?2+4?-sin(x+π). ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区 间[0,π]上的最大值和最小值. ? π? 解 (1)因为 f(x)= 3sin?x+2?+sin x ? ? ? 3 ? 1 = 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x? 2 ?2 ? ? π? =2sin?x+3?,所以 f(x)的最小正周期为 2π. ? ? π ? π? (2)∵将 f(x)的图象向右平移6个单位, 得到函数 g(x)的图象, ∴g(x)=f?x-6?= ? ? ? π? π 2sin[?x-6?+3]= ? ? π ?π 7π? π π π ? π? ? π? 2sin?x+6?.∵x∈[0, π], ∴x+6∈?6, 6 ?, ∴当 x+6=2, 即 x=3时, sin?x+6? ? ? ? ? ? ? =1,g(x)取得最大值 2. π 7π 1 ? π? 当 x+6= 6 ,即 x=π 时,sin?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. ? ?


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