2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 7.4 基本不等式


2014 届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂 内外+限时训练) :7.4
一、选择题 1 1 1.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是(

基本不等式

a b

)

A.

1 4

B.1

C.4

D.8

?a+b=1, ? 解析:由 a>0,b>0,ln(a+b)=0,得?a>0, ?b>0. ?
1 1 a+ b 1 故 + = = ≥

a b

ab

ab

1 1 = =4. ?a+b?2 ?1?2 ? 2 ? ?2? ? ? ? ?

1 当且仅当 a=b= 时,上式取等号. 2 答案:C

?1 a? 2. 已知不等式(x+y)? + ?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y ? ?
( ) A.2 C.9 B.4 D.1 6

x y ?1 a? 解析:(x+y)? + ?=1+ ·a+ +a.

?x y?

y

x

∵x>0,y>0,a>0, ∴1+ + +a≥1+a+2 a. 由 9≤1+a+2 a,得 a+2 a-8≥0, ∴( a+4)( a-2)≥0 . ∵a>0,∴ a≥2,∴ a≥4,∴a 的最小值为 4. 答案:B

ax y y x

? x 4 ? 3.已知函数 f(x)=lg?5 + x+m?的值域为 R,则 m 的取值范围是( 5 ? ?
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞) C.(-∞,-4) D.(-∞,-4]

)

4 4 x x 解析: g(x)=5 + x+m, 设 由题意 g(x)的图像与 x 轴有交点, 5 + x≥4, m≤-4, 而 故 5 5
1

故选 D. 答案:D 4.当点(x,y)在直线 x+3y-2=0 上移动时,表达式 3 +27 +1 的最小值为( A.3 C.1 B.5 D.7
x y

)

解析:方法一:由 x+3y-2=0,得 3y=-x+2. ∴3 +27 +1=3 +3 +1=3 +3 9 x =3 + x+1 3 ≥2 9 x 3 · x+1=7. 3
x y x
3y

x

-x+2

+1

9 x x 当且仅当 3 = x,即 3 =3,即 x=1 时取得等号. 3 方法二:3 +27 +1=3 +3 +1≥2 3 ·3 +1=2 3 +1=7. 答案:D 5.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( A.3 C. 9 2 B.4 D. 11 2 )
x y x
3y

x

3y

2

解析:∵2xy=x·(2y)≤?
2

?x+2y?2, ? ? 2 ?

∴原式可化为(x+2y) +4(x+2y)-32≥0. 又∵ x>0,y>0,∴x+2y≥4.当 x=2,y=1 时取等号. 答案:B 1 1 x y 6.(2013·苍山调研) 已知 x>0,y>0,lg2 +lg8 =lg2,则 + 的最小值是( x 3y A.2 C.4 解析:由 lg2 +lg8 =lg2,得 lg2
x y x+3y

)

B.2 2 D.2 3 =lg2.

1 1 ?1 1 ? x 3y ∴x+3y=1, + =? + ?(x+3y)=2+ + ≥4. x 3y ?x 3y? 3y x 答案:C 二、填空题
2? ? 2 1 ?? 1 7.设 x、y∈R,且 xy≠0,则?x + 2?? 2+4y ?的最小值为__________.

?

y ??x

?

2

1 2? ? 2 1 ?? 1 2 2 解析:?x + 2?? 2+4y ?=1+4+4x y + 2 2≥1+4+2 4=9. y ? ?x xy ? ? 当且仅当 4x y = 答案:9 8.(2013·台州调研)若实数 a,b 满足 ab-4a-b+1=0(a>1),则(a+1)(b+2)的最 小值为__________. 解析:∵ab-4a-b+1=0, 4a-1 ∴b= ,ab=4a+b-1. a-1 ∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 4a-1 =6a+ ·2+1 a-1 [4? =6a+ =6a+8+
2 2

1

xy

2 2

时等号成立,即|xy|=

2 时等号成立. 2

a-1? +3]×2 +1 a-1
6 +1 a-1 6

=6(a-1)+

a-1

+15.

∵a>1,∴a-1>0. ∴原式=6(a-1)+
2

6

a-1

+15≥2 6×6+15=27.

当且仅当(a-1) =1,即 a=2 时等号成立. ∴最小值为 27. 答案:27 9.(2013·聊城质检)经观测,某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平 均速度 v(千米/小时)之间有函数关系:y= 920v (v>0),在该时段内,当车流量 y v2+3v+1 600

最大时,汽车的平均速度 v=__________千米/小时. 解析:∵v>0, ∴y= 920 ≤ 1 600 v+ +3 2 920 920 = ≈11.08, 80+3 1 600 v· +3

v

v

1 600 当且仅当 v= ,即 v=40 千米/小时时取等号.

v

答案:40 三、解答题

3

10.已知 x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1. 1 4 9 求证: + + ≥36.

x y z

解析:∵x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1, 1 4 9 ?1 4 9? ?y 4x? ?z 9x? ?4z 9y? ∴ + + = (x + y + z) ? + + ? = 14 + ? + ? + ? + ? + ? + ? ≥14 + 2

x

y

z

?x y z?
y z

?x

y?

?x

z?

?y

z?

y 4x · +2 x y

z 9x · +2· x z

4z 9y · =14 +4+6+12=36.

1 2 1 2 2 当且仅当 x = y = z , 4 9 1 1 1 即 x= ,y= ,z= 时等号成立. 6 3 2 1 4 9 ∴ + + ≥36.

x y z

11.某学校拟建一块周长为 400 m 的操场如图所示,操场的两头是半圆形,中间区域是 矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生的做操区域尽可能大,试问如何设计矩 形的长和宽.

解析:设中间矩形区域的长,宽分别为 x m,y m, 中间的矩形区域面积为 S m , πy 则半圆的周长为 m. 2 πy ∵操场周长为 400 m,所以 2x+2× =400, 2 400 即 2x+π y=400(0<x <200,0<y< ). π 1 1 ?2x+π y?2 20 000 ∴S=xy= ·(2x)·(π y)≤ ·? ?= π . 2π 2π ? 2 ?
? ?2x=π y, 由? ?2x+π y=400, ?
2

?x=100, ? 解得? 200 ?y= π . ?

?x=100, ? ∴当且仅当? 200 ?y= π ?

时等号成立.

4

200 即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和 m 时,矩 形区域面积最大. π 12.已知 x,y 都是正实数,且 x+y-3xy+5=0. (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值. 解析:(1)由 x+y-3xy+5=0,得 x+y+5=3xy. ∴2 xy+5≤x+y+5=3xy. ∴3xy-2 xy-5 ≥0. ∴( xy+1)(3 xy-5)≥0. 5 25 ∴ xy≥ ,即 xy≥ ,等号成立的条件是 x=y. 3 9 5 25 此时 x=y= ,故 xy 的最小值是 . 3 9 (2)方法一:∵x+y+5=3xy≤3·? 3 2 ∴ (x+y) -(x+y)-5≥0. 4 即 3(x+y) -4(x+y)-20≥0. 即[(x+y)+2][3(x+y)-10]≥0. 10 ∴x+y≥ . 3 5 等号成立的条件是 x=y,即 x=y= 时取得. 3 10 故 x+y 的最小值为 . 3 25 方法二:由(1)知,x+y+5=3xy,且(xy)min= , 9 25 ∴3(xy)min= . 3 25 10 5 ∴(x+y)min= -5= ,此时 x=y= . 3 3 3
2

?x+y?2=3(x+y)2, ? ? 2 ? 4

5


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