【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第2章 第4讲 指数与指数函数]

第 4 讲 指数与指数函数
一、选择题 1.函数 y=a|x|(a>1)的图像是( )

解析

?a y=a =? -x ?a
|x|

x

x≥0 , x<0 .

当 x≥0 时, 与指数函数 y=ax(a>1)的图像

相同;当 x<0 时,y=a-x 与 y=ax 的图像关于 y 轴对称,由此判断 B 正确. 答案 B ,则 f(9)+f(0)=( B.1 D.3 )

?log3x, x>0 2.已知函数 f(x)=? x x≤0 ?2 A.0 C.2 解析

f(9)=log39=2,f(0)=20=1,

∴f(9)+f(0)=3. 答案 D a 3.不论 a 为何值时,函数 y=(a-1)2x-2恒过定点,则这个定点的坐标是 ( 1? ? A.?1,-2? ? ? 1? ? C.?-1,-2? ? ? 1? ? B.?1,2? ? ? 1? ? D.?-1,2? ? ? ).

1? a 1 ? 解析 y=(a-1)2x-2=a?2x-2?-2x,令 2x-2=0,得 x=-1,则函数 y=(a ? ? 1? a ? -1)2x-2恒过定点?-1,-2?. ? ? 答案 C

?a,a≤b, 4. 定义运算: a*b=? 如 1*2=1,则函数 f(x) ?b,a>b, A.R C.(0,1]
x

=2x *2-x 的值域为 (

).

B.(0,+∞) D.[1,+∞)
-x

x ?2 ,x≤0, 解析 f(x)=2 *2 =? -x ∴f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞) ?2 ,x>0,

上是减函数,∴0<f(x)≤1. 答案 C 5.若 a>1,b>0,且 ab+a-b=2 2,则 ab-a-b 的值为( A. 6 C.-2 解析 (ab+a-b)2=8?a2b+a-2b=6, )

B.2 或-2 D.2

∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4. 又 ab>a-b(a>1,b>0),∴ab-a-b=2. 答案 D


6.若函数 f(x)=(k-1)ax-a x(a>0 且 a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是下图中的 ( ).

解析 函数 f(x)=(k-1)ax-a-x 为奇函数,则 f(0)=0,即(k-1)a0-a0=0,解 得 k=2,所以 f(x)=ax-a-x,又 f(x)=ax-a-x 为减函数,故 0<a<1,所以 g(x) =loga(x+2)为减函数且过点(-1,0). 答案 A 二、填空题
x ?a ,x<0, 7.已知函数 f(x)=? ??a-3?x+4a,x≥0,

满足对任意 x1≠x2,都有

f?x1?-f?x2? <0 成立,则 a 的取值范围是________. x1-x2 f?x1?-f?x2? <0 成立,说明函数 y=f(x)在 R 上是减 x1-x2

解析 对任意 x1≠x2,都有

1 函数,则 0<a<1,且(a-3)×0+4a≤a0,解得 0<a≤4. 1? ? 答案 ?0,4? ? ? 8.若函数 y=2-x+1+m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是________. 解析 函数 y=2
-x+1

1 x-1 +m=( ) +m, 2

∵函数的图象不经过第一象限, 1 0-1 ∴( ) +m≤0,即 m≤-2. 2 答案 (-∞,-2]

9.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 令 a -x-a=0 即 a =x+a,
x x

若 0<a<1,显然 y=ax 与 y=x+a 的图象只有一个公共点; 若 a>1,y=ax 与 y=x+a 的图象如图所示.

答案

(1,+∞)

?1? 10.已知 f(x)=x2,g(x)=?2?x-m,若对?x1∈[-1,3],?x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2), ? ? 则实数 m 的取值范围是________. ??1? ?1? ? 解析 x1∈[-1,3]时,f(x1)∈[0,9],x2∈[0,2]时,g(x2)∈??2?2-m,?2?0-m?, ?? ? ? ? ? ?1 ? 即 g(x2)∈?4-m,1-m?,要使?x1∈[-1,3],?x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),只需 ? ?

1 1 f(x)min≥g(x)min,即 0≥4-m,故 m≥4. ?1 ? 答案 ?4,+∞? ? ? 三、解答题 2x-1 11.已知函数 f(x)= x . 2 +1 (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求证 f(x)在 R 上为增函数. (1)解 因为函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)= 2x-1 2 =1- x ,所以 f(-x)+ x 2 +1 2 +1

2 ? ? 2 ? 2 ? 2· 2x ? ? ? 2 ? 2 f(x) = ?1-2-x+1? + ?1-2x+1? = 2 - ?2x+1+2-x+1? = 2 - ?2x+1+2x+1? = 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2?2x+1? - x =2-2=0,即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 2 +1 (2)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,有 2x1-1 2x2-1 2?2x1-2x2? - = , 2x1+1 2x2+1 ?2x1+1??2x2+1?

f(x1)-f(x2)=

∵x1<x2,2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0, ∴f(x1)<f(x2),∴函数 f(x)在 R 上是增函数. 12. 已知函数 f(x)=b·ax(其中 a, b 为常量, 且 a>0, a≠1)的图象经过点 A(1,6),

B(3,24).
(1)求 f(x); 1 1 (2)若不等式( )x+( )x-m≥0 在 x∈(-∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范

a

b

围. 解析 (1)把 A(1,6),B(3,24)代入 f(x)=b·ax,得

?6=ab, ? 3 ?24=b·a . ?a=2, 结合 a>0 且 a≠1,解得? ?b=3.

∴f(x)=3·2 . 1 1 (2)要使( )x+( )x≥m 在(-∞,1]上恒成立, 2 3 1 1 只需保证函数 y=( )x+( )x 在(-∞,1]上的最小值不小于 m 即可. 2 3 1 1 ∵函数 y=( )x+( )x 在(-∞,1]上为减函数, 2 3 1 x 1 x 5 ∴当 x=1 时,y=( ) +( ) 有最小值 . 2 3 6 5 ∴只需 m≤ 即可. 6 5 ∴m 的取值范围(-∞, ] 6 ?1? 13.已知函数 f(x)=? ?ax2-4x+3. ?3? (1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. 解析 ?1? (1)当 a=-1 时,f(x)=? ?-x2-4x+3, ?3?

x

令 t=-x2-4x+3, 由于 t(x)在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减, ?1? 而 y=? ?t 在 R 上单调递减, ?3? 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 即函数 f(x)的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). ?1? (2)令 h(x)=ax2-4x+3,f(x)=? ?h(x), ?3? 由于 f(x)有最大值 3, 所以 h(x)应有最小值-1,

?a>0, 因此必有?12a-16 ? 4a =-1,

解得 a=1.

即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. 1 14.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x-2|x|. 3 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)当 x<0 时, f(x)=0,无解; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x-2x, 1 3 由 2x-2x=2,得 2· 22x-3· 2x-2=0, 1 看成关于 2x 的一元二次方程,解得 2x=2 或-2, ∵2x>0,∴x=1. 1? 1? ? ? (2)当 t∈[1,2]时,2t?22t-22t?+m?2t-2t?≥0, ? ? ? ? 即 m(22t-1)≥-(24t-1), ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).


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