2.1.5 平面上两点间的距离 学案1 高中数学 必修二 苏教版 Word版

2.1.5 平面上两点间的距离 学习目标 重点难点 1.掌握两点间距离公式的推导过程并 用之解决简单的几何问题. 重点:能利用两点间的距离公式解题. 2.知道解析法的含义,并会用其证明 难点:会用解析法证明平面几何问题. 平面几何问题. 1.平面上两点间的距离公式 (1)x 轴上两点 P1(x1,0),P2(x2,0)之间的距离可以表示为 P1P2=|x2-x1|,当点 P1 在点 P2 的左侧时,P1P2=x2-x1. (2) 设 平 面 上 的 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) , 则 P1 , P2 两 点 间 的 距 离 P1P2 = ?x2-x1?2+?y2-y1?2,特别地,当 x1=x2 时,P1P2=|y2-y1|;当 y1=y2 时,P1P2=|x2-x1|. 预习交流 1 (1)平面内两点间的距离公式与两点的先后顺序是否有关? 答案:平面内两点间距离公式与两点的先后顺序无关,仅与点的位置有关,即 P1P2= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (2)算术平方根 a2+b2的几何意义是什么? 答案:① a2+b2可视为以 a,b 为直角边的直角三角形的斜边长(前提是 a>0,b>0). ②若 a,b∈R,则 a2+b2的几何意义是点(a,b)(或点(-a,b),(a,-b),(-a,-b), (b,a),?)到原点的距离. 2.线段的中点坐标公式 一般地,对于平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段 P1P2 的中点是 M(x0,y0),则 x1+x2 y1+y2 x0= ,y0= . 2 2 预习交流 2 已知点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),若 M(x0,y0)是线段 P1P2 的中点,你能用 P1 点与 M 点的 坐标表示 P2 点的坐标吗? x1+x2 y1+y2 答案:能.由 x0= ,y0= 得 x2=2x0-x1,y2=2y0-y1. 2 2 ∴P2 点坐标为(2x0-x1,2y0-y1). 预习交流 3 求下列两点间的距离: (1)A(0,1),B(-3,1);(2)A(2,5),B(2,-5);(3)A(0,0),B(-2,-1). 答案:(1)AB= ?-3-0?2+?1-1?2=3; (2)AB= ?2-2?2+?5+5?2=10; (3)AB= ?-2-0?2+?-1-0?2= 5. 一、两点间距离公式的应用 (1)已知点 A(1,1),B(5,3),C(0,3),求证:△ABC 为直角三角形. (2)已知点 A(-1,2),B(2, 7),在 x 轴上求一点 P,使 PA=PB,并求 PA 的长. 思路分析:(1)由两点间的距离公式分别求出三边,再用勾股定理的逆定理判断,也可 以用两直线的位置关系判断.(2)利用公式及已知列出方程,然后再求解. (1)证明:(方法一)∵A(1,1),B(5,3),C(0,3), ∴AB= ?1-5?2+?1-3?2= 20=2 5, AC= ?1-0?2+?1-3?2= 5, BC= ?5-0?2+?3-3?2= 25=5. ∵AB2+AC2=BC2,且 A,B,C 三点不共线, ∴△ABC 为以 A 为直角顶点的直角三角形. 3-1 1 3-1 (方法二)∵kAB= = ,k = =-2, 5-1 2 AC 0-1 ∴kAB· kAC=-1,∴AB⊥AC. 又 AB= ?1-5?2+?1-3?2= 20=2 5,AC= ?1-0?+?1-3?2= 5, ∴AB≠AC,∴△ABC 为直角三角形. (2)解:设所求点 P 的坐标为(x,0),则 PA= ?x+1?2+?0-2?2= x2+2x+5, PB= ?x-2?2+?0- 7?2= x2-4x+11, 由 PA=PB,得 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1, 所以 P 点坐标为(1,0),且 PA= ?1+1?2+?0-2?2=2 2. 1.设点 A(1,2),在 y 轴上求一点 B,使 AB=5,则点 B 的坐标是__________. 解析:设点 B 的坐标为(0,y), 则 ?0-1?2+?y-2?2=5,y=2± 2 6. ∴B 点坐标为(0,2± 2 6). 答案:(0,2± 2 6) 2.到点 A(4,0),B(0,4)距离相等且到原点的距离为 10的点 P 的坐标是__________. 解析:由于 P 点到(0,4)与(4,0)点距离相等, ∴P 点一定在 y=x 上,于是可设 P(x,x). ∵ x2+x2= 10,∴x2=5.∴x=± 5. ∴P( 5, 5)或(- 5,- 5). 答案:( 5, 5)或(- 5,- 5) 对平面内两点间距离公式的理解: (1)当 A,B 中有一个为原点时,公式变为 AB= x2+y2. (2)如果 AB∥x 轴,则 AB=|x2-x1|;如果 AB∥y 轴,则 AB=|y2-y1|.特别地,如果能确 定 A,B 的先后顺序,则上式中的绝对值号均可以去掉. 二、线段中点坐标及应用 已知 ABCD 的两个顶点坐标分别为 A(4,2),B(5,7),对角线的交点为 E(-3,4).求另外 两个顶点的坐标. 思路分析:由平行四边形的性质知点 E 为 AC,BD 的中点,根据中点坐标公式,即可 求得另外两个顶点的坐标. 解:设 C(x1,y1),D(x2,y2),∵E 为 AC 的中点, x =-3, ?4+ 2 ∴? 2+y ? 2 =4, 1 1 ?x1=-10, ? 解得? ∴C 点坐标为(-10,6). ? ?y1=6, 又∵E 为 BD 的中点, x =-3, ?5+ 2 ∴? 7+y ? 2 =4, 2 2 ? ?x2=-11, 解得? ?y2=1. ? ∴D 点坐标为(-11,1). 1.过点 P(3,2)的直线与 x 轴正半轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,且点 P 为线段 AB 的中点

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