第17讲 离散型随机变量的均值与方差


第 17 讲

离散型随机变量的均值与方差&正态分布

第一部分

知识梳理

1.均值 (1)均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为 ξ

x1 p1

x2 p2

? ?

xn pn

? ?

P

则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ?

为ξ 的均值或数学期望,简称期望。

(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值 的平均水平。 (3) 平均数、 均值:一般地, 在有限取值离散型随机变量ξ 的概率分布中, 令 p1 ? p2 ? ?

? pn ,则有 p1 ? p2 ? ? ? p n ?
称为平均数、均值 。

1 1 , E? ? ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ? ,所以ξ 的数学期望又 n n

(4)均值或期望的一个性质:若 ? ? a? ? b (a、b 是常数),ξ 是随机变量,则η 也是 随机变量,它们的分布列为 ξ η

x1

x2

? ? ?

xn

? ? ?

ax1 ? b
p1

ax2 ? b
p2

axn ? b
pn

P

于是 E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p 2 ? ? ? (axn ? b) p n ? ? = a( x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xn pn ? ?) ? b( p1 ? p 2 ? ? ? p n ? ?) = aE? ? b , 由此,我们得到了期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b (5)若ξ ? B(n,p) ,则 Eξ =np

2.方差 (1)对于离散型随机变量ξ ,如果它所有可能取的值是 x1 , x 2 ,?, x n , ? ,且 取这些值的概率分别是 p1 , p 2 ,?, p n ,?,那么 ,

D? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + ( x2 ? E? ) 2 ? p 2 +?+ ( x n ? E? ) 2 ? p n +?
称为随机变量ξ 的均方差,简称为方差,式中的 E? 是随机变量ξ 的期望。 (2)标准差: D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量ξ 的标准差,记作 ?? 。 (3)方差的性质:<1> D(a? ? b) ? a D? ;<2> D? ? E? ? ( E? ) ;
2 2 2

<3>若ξ ~B(n,p),则 D? ? np(1-p) 3.正态分布曲线 总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应 各组 取值的概率。设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限 接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线。
频率/组距

总体密度曲线

单位
O

a

b

它反映了总体在各个范围内取值的概率。根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取 值的概率等于总体密度曲线,直线 x=a, x=b 及 x 轴所围 图形的面积。 观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具 有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:
? 1 ? ? ,? ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??)

式中的实数

? 、 ? (? ? 0) 是 参 数 , 分 别 表 示 总 体 的 平 均 数 与 标 准 差 , ? ? ,? ( x ) 的 图

象为正态分布密度曲线 , 简称正态曲线。

4. 正态分布

一般地,如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足

P(a ? X ? B) ? ? ?? ,? ( x)dx ,
a

b

则称 X 的分布为正态分布(normal distribution ) .正态分布完全由参数 ? 和 ? 确 定, 因此正态分布常记作 N ( ? , ? ) 。 如果随机变量 X 服从正态分布, 则记为 X~ N ( ? , ? ) 。
2 2

5.正态曲线的性质 (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 。 (2)曲线关于直线 x=μ 对称。 (3)当 x=μ 时,曲线位于最高点 。 (4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数) ;当 x>μ 时,曲线下降(减函数) ,并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近。 (5)μ 一定时,曲线的形状由σ 确定。 σ 越大,曲线越“矮胖” ,总体分布越分散; σ 越小.曲线越“瘦高” .总体分布越集中。 6.标准正态曲线 当 μ =0 、 σ =l 时 , 正 态 总 体 称 为 标 准 正 态 总 体 , 其 相 应 的 函 数 表 示 式 是

f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

, (-∞<x<+∞) 。其相应的曲线称为标准正态曲线 。

第二部分 考点 1.数学期望

精讲点拨

(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概率为 0.7,求他罚球一次得分 ? 的期望。

[EX.1]根据气象预报, 某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为 0. 01. 该 地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失 60 000 元, 遇到小洪水时要损失 10000 元。为保护设备,有以下 3 种方案: 方案 1:运走设备,搬运费为 3 800 元。 方案 2:建保护围墙,建设费为 2 000 元.但围墙只能防小洪水。 方案 3:不采取措施,希望不发生洪水。 试比较哪一种方案好。

考点 2.方差与标准差 (2)有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资 X1/元 获得相应职位的概率 P1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1

乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1000 0.4

1400 0.3

1800 0.2

2000 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

[EX.2]已知离散型随机变量 ? 1 的概率分布为

?1

1

2

3

4

5

6

7

P

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

离散型随机变量 ? 2 的概率分布为

?2
P

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

求这两个随机变量期望、均方差与标准差。

考点 3.正态分布 (3)给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ 和标准差σ <1> f ( x) ?
王新敞
奎屯 新疆

1 2? 1

e

?

x2 2

, x ? (??,??)

<2> f ( x) ?

2 2?

e

?

( x ?1) 2 8

, x ? (??,??)

<3> f ( x) ?

2 ?2( x ?1)2 e , x ? (??, ??) 2?

[EX.3]求标准正态总体在( -1 , 2 )内取值的概率。

第三 部分 一、选择题

过关检测

1.口袋中有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任取 3 球,以 ? 表示取出球的最大号 码,则 E? ? ( A.4 ) B.5 C.4.5 D.4.75 ) D. 10和0.8

2.已知 ? ~ B ? n, p ? , E? ? 8, D? ? 1.6 ,则 n, p 的值分别是( A. 100和0.08 B. 20和0.4 C. 10和0.2

二、解答题 3. 若 x ~ N (0,1), 求 (l) P (-2.32< x <1.2) ; (2) P ( x >2) 。

4. 某正态总体函数的概率密度函数是偶函数, 而且该函数的最大值为 入区间(-1.2,0.2)之间的概率 。

1 2?

, 求总体落

5.一盒中装有零件 12 个,其中有 9 个正品,3 个次品,从中任取一个,如果每次取出 次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止。求在取得正品之前已取出次品数的 期望。

6.有 A、B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下: ξ P
A

110 0.1

120 0.2

125 0.4

130 0.1

135 0.2

ξ P

B

100 0.1

115 0.2

125 0.4

130 0.1

145 0.2

其中ξ A、ξ B 分别表示 A、B 两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低 于 120,试比较 A、B 两种钢筋哪一种质量较好。

7.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分, 罚不中得 0 分。 已知某运动员罚球命中的 概率为 0.7,求 ⑴他罚球 1 次的得分 ξ 的数学期望; ⑵他罚球 2 次的得分 η 的数学期望; ⑶他罚球 3 次的得分 ξ 的数学期望。

8.设有 m 升水,其中含有大肠杆菌 n 个.今取水 1 升进行化验,设其中含有大肠杆菌的 个数为 ξ ,求 ξ 的数学期望。


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