2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1讲学案:第二章 2.5 圆锥曲线的共同性质

2.5 圆锥曲线的共同性质 圆锥曲线的共同性质 抛物线可以看成平面内到定点(焦点)F 的距离与定直线(准线)l 的比值等于 1(离心率)的动 点的轨迹. 问题 1:当比值大于 0 小于 1 时轨迹是什么? 提示:椭圆. 问题 2:当比值大于 1 时轨迹是什么? 提示:双曲线. 圆锥曲线的共同定义为: 平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离之比等 于常数 e 的点的轨迹. 当 0<e<1 时,它表示椭圆; 当 e>1 时,它表示双曲线; 当 e=1 时,它表示抛物线. 其中 e 是离心率,定点 F 是圆锥曲线的焦点,定直线 l 是圆锥曲线的准线. 圆锥曲线的准线 在圆锥曲线的定义中,定点 F 是焦点,定直线 l 是准线,而且知道抛物线只有一个焦点和 一条准线. 问题:椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线? 提示:椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线. 椭圆、双曲线和抛物线的准线方程 曲线方程 x y + = a2 b2 2 2 准线方程 a x=± c 2 曲线方程 y x + =1 a2 b2 2 2 准线方程 a2 y=± c 1(a>b>0) x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) a x=± c 2 (a>b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) a2 y=± c p y=- 2 p y= 2 p x=- 2 p x= 2 1.关于圆锥曲线共同特征的认识 (1)从点的集合(或轨迹)的观点来看: 它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比 是常数 e 的点的集合(或轨迹),只是当 0<e<1 时为椭圆,当 e=1 时为抛物线,当 e>1 时为双 曲线. (2)从曲线形状的生成过程来看:圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周 界,因此,椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线. 2.圆锥曲线共同特征的应用 AF 设 F 为圆锥曲线的焦点,A 为曲线上任意一点,d 为点 A 到定直线的距离,由 =e 变形 d AF 可得 d= .由这个变形可以实现由 AF 到 d 的转化,借助 d 则可以解决一些最值问题. e [对应学生用书P36] 利用圆锥曲线的定义求轨迹 1 [例 1] 已知动点 M(x,y)到点 F(2,0)与到定直线 x=8 的距离之比为 ,求点 M 的轨迹. 2 [思路点拨] 该题有两种解法,一种是利用直译法直接代入化简,另一种是用圆锥曲线的 统一定义来求. [精解详析] 法一:由题意得 x2 y2 整理得 + =1. 16 12 a2 法二:由圆锥曲线的统一定义知,M 点的轨迹是一椭圆.c=2, =8,则 a2=16,∴a c ?x-2?2+y2 1 = , 2 |x-8| 2 1 =4,∴e= = ,与已知条件相符, 4 2 ∴椭圆中心在原点,焦点(± 2,0),准线 x=± 8,b2=12, x2 y2 其方程为 + =1. 16 12 [一点通] (1)解决此类题目有两种方法: ①直接列方程,代入后化简整理即得方程. ②根据定义判断轨迹是什么曲线,然后确定其几何性质,从而得出方程. (2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义时,要进行适当的变形,通过推导 找出与之相关的距离问题进行验证,通过点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径,对 于这种轨迹问题,一般都要通过定义解决. 1.平面内的动点 P(x,y)(y>0)到点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离之差为 2,求动点 P 的轨 迹. 解:如图,作 PM⊥x 轴于 M,延长 PM 交直线 y=-2 于 N. ∵PF-PM=2.∴PF=PM+2. 又∵PN=PM+2,∴PF=PN. ∴P 到定点 F 与到定直线 y=-2 的距离相等. 由抛物线的定义知,P 的轨迹是以 F 为焦点以 y=-2 为准线的抛物线,顶点在原点,p =4.∴抛物线方程为 x2=8y. ∴动点 P 的轨迹是抛物线. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 F1(-4,0),直线 l:x=-2,动点 M 到 F1 的距离是它 到定直线 l 距离 d 的 2倍.设动点 M 的轨迹曲线为 E. (1)求曲线 E 的轨迹方程; (2)设点 F2(4,0),若直线 m 为曲线 E 的任意一条切线,且点 F1,F2 到 m 的距离分别为 d1, d2,试判断 d1d2 是否为常数,并说明理由. 解:(1)由题意,设点 M(x,y), 则有 MF1= ?x+4?2+y2, 点 M(x,y)到直线 l 的距离 d=|x-(-2)|=|x+2|, 故 ?x+4?2+y2= 2|x+2|, 化简得 x2-y2=8. 故动点 M 的轨迹方程为 x2-y2=8. (2)d1d2 是常数,证明如下: 若切线 m 斜率不存在,则切线方程为 x=± 2 2, 此时 d1d2=(c+a)· (c-a)=b2=8. 当切线 m 斜率存在时,设切线 m:y=kx+t, 代入 x2-y2=8,整理得:x2-(kx+t)2=8, 即(1-k2)x2-2tkx-(t2+8)=0. Δ=(-2tk)2+4(1-k2)(t2+8)=0, 化简得 t2=8k2-8. |-4k+t| |4k+t| 又由 kx-y+t=0,d1= ,d2= 2 , 2 k +1 k +1 |16k2-t2| |16k2-?8k2-8?| d1d2= 2 = =8,8 为常数. k +1 k2+1 综上,对任意切线 m,d1d2 是常数. 最值问题 x2 y2 [例 2] 若点 P 的坐标是(-1,-3),F 为椭圆 + =1 的右焦点,点 Q 在椭圆上移动, 16 12 1 当 QF+ PQ 取得最小值时,求点 Q 的坐标,并求出最小值. 2 1 [思路点拨] 利用定义把 QF 转化成到准线的

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