三角函数易错题讲评1

? π π? 1. 函数 f ( x ) = 3 sin ωx 在?? , ? 上递增, ? 3 4? 则ω的取值范围是

B. 区间?? , ?的长不能超过周期的一半; ? 3 4?
C. 考虑到对称性及给定区间的不对称, 1 2π 2π ? π π? 需要放宽到?? , ?. 因此, ? ≥ . 2 ω 3 ? 3 3? 3 所以, < ω ≤ . 0 2

A. ω的值不能为负值; ? π π?

? π π? 1. 函数 f ( x ) = 3 sin ωx 在?? , ? 上递增, ? 3 4? 则ω的取值范围是

A. 判断出 ω > 0 ;
B. 由 2kπ ?

π
2

≤ ωx ≤ 2kπ +

π
2

得所有的

π? π ? ? 2kπ ? 2 2kπ + 2 ? 单调递增区间: , ? ? , k ∈Z ω ? ω ? ? ? ? π π? ? π π ? C. 取 k = 0, 使 ?? , ? ? ?? , ?, ? 3 4 ? ? 2ω 2ω ?

? π 3π 2. f ( x ) = sin x ? sin x cos x + cos x, x ∈ ? , ?2 2

? ? 的值域. ?

A. 这是一个求函数的值域的问题,它是一个怎样 的函数?可能与哪个基本初等函数关联?
B. 函数的形式虽然复杂,但是数式特征明显. 即: x + cos x 与 sin x cos x 不是独立变量. sin t 2 ?1 令 sin x + cos x = t , 则 sin x cos x = . 2 π ? 3π 7π ? ? π 3π ? 因为 x ∈ ? , ? , 所以,x + ∈ ? , ?, 4 ? 4 4 ? ?2 2 ? 1 2 1 ? 1 ? 所以, t ∈ ? 2 ,1 . 故y = ? t + t + ∈ ?? ? 2 ,1? 2 2 ? 2 ?

[

)

3. 已知函数 y = f ( x ), 将其图象上的每一点的 纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍, 然后把所得图形沿x轴向左平移

π
2

个单位,得

1 到的曲线与y = sin x的图象相同,那么 2 y = f ( x )的解析式为

1 y = sin x → 2 →

π? 1 ? y = sin ? x ? ? 2 ? 2?
1 y = ? cos 2 x 2

1 ? π? y = sin ? 2 x ? ? → 2 ? 2?

* A + B + C = π , 、B、C ∈ (0,π ) A

5 3 4. ?ABC中, A = , B = ,求 cos C. sin cos 13 5

? * * * * sin A = ∈ ? 0, ?,故 A ∈ ? 0, ? 或 A ∈ ? , π ? 13 ? 2 ? ? 6? ? 6 ?

3 4 * * 由 cos B = ,及 B ∈ (0, π ) 得 sin B = . 5 5 5 12 * * * 由sin A = ,A ∈ (0, π ) 得 cos A = ± . 13 13 5 ? 1? ? π? ? 5π

3 ?1 3? ?π π ? ?,所以 B ∈ ? , ? * * * * 又 cos B = ∈ ? , 5 ?2 2 ? ?6 3? ? ?

? π? 因为 0 < A + B < π ,所以,A ∈ ? 0, ?,故 ? 6? 12 cos A = . 所以, C = ? cos( A + B ) cos 13 16 = ?(cos A cos B ? sin A sin B ) = ? ? ? = ? 65 排除法: 12 若 cos A = ? ,则 sin C = sin A cos B + cos A sin B 13 5 3 12 4 = ? ? ? < 0,与 C ∈ (0, π )时, C > 0矛盾. sin 13 5 13 5

5.已知函数 f (x ) = sin (ωx + ? ) , (ω > 0,0 ≤ ? ≤ π ) ? 3π ? 是R上的偶函数,其图象关于点M ? ,0 ?对称, ? 4 ? ? π? 且在区间?0, ?上是单调函数,求 ω 和 ? 的值. ? 2?

* f (x ) = sin (ωx + ? )为偶函数得? = f ( x ) = cos ωx

π

2

;从而

* * 如何求 f ( x ) = cos ωx的对称点
? π? * * * 如何保证?0, ?上的单调性? ? 2?

( 6. 设函数 f ( x ) = sin (2 x + ? ) ,? π < ? < 0 ),
8 ( )求? ; 2)函数y = f ( x )的单调递增区间; 1 ( (3) 画出y = f (x )在区间[0, π ]上的图象.
?π ? f ? ? = ±1 ?8?
3π ? ? f ( x ) = sin ? 2 x ? ? 4 ? ?

y = f ( x )图象的一条对称轴是直线 x =

π

.

2?

π
8

+ ? = kπ +

π
2

,∈Z k

π 5π ? ? k ?kπ + 8 , kπ + 8 ? , ∈ Z ? ?

8. ?ABC 的外接圆半径为 1,且 A + C = 2 B, 若A、B、C的对边分别为a、b、c,求a 2 + c 2 的取值范围.
解:由 A + B + C = π,A + C = 2 B 得 B = 600.

又 b = 2 sin 60 = 3.
0

由 a 2 + c 2 ? 2ac cos B = b 2
2 2



a + c = 3 + ab = 3 + 4 sin Asin C
= 3 + 4 sin A sin 120 0 ? A
= 4 + 3 sin 2 A ? cos 2 A

(

)

? 2π ? a + c = 4 + 2 sin 2 A ? 30 , ∈ ? 0, A ? ? 3 ?
2 2

(

0

)

故 a 2 + b 2 ∈ (3,6].
2 2

另解:a + b = 4 sin A + 4 sin C
2 2

= 4 ? 4 cos( A + C ) cos( A ? C ) = 4 + 2 cos( A ? C )
2π 2π 而 ? < A?C < 3 3
2 2

= 2(2 ? cos 2 A ? cos 2C )

1 所以 ? < cos( A ? C ) ≤ 1 2

故 a + b ∈ (3,6].

9. ?ABC中,D为 BC 中点,∠A = 600, 若 AB + AC = 4,求 AD 的最小值.
A

B

D

C


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