辽宁省本溪市第一中学2016_2017学年高二数学上学期期中试题理

本溪市第一中学 2018 届高二期中考试数学(理)试题
满分:150 分 时长:120 分钟 共 60 分)

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.集合 M ? { x | 2 x ? 4}, N ? { x | x(1 ? x ) ? 0} ,则 C M N = ( A. ?- ?, 0? ? ?1 , ? ?? B. (??, 0) ? [1, 2] ) D. ?- ?, 0? ? ?1 , ? ??

C. (??, 0] ? [1, 2]

2.在△ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知

a sin A ? c sin C ? ( 2a ? b)sin B ,则角 C 的大小为(
A.

) D.

3 ? 4

B.

? 4

C.

? 3

? 2


3.如图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积等于( A. 34 ? 6 5 C. 6 ? 6 5 ? 4 13 4.要得到函数 y ? cos ? A.向右平移 B. 6 ? 6 5 ? 4 3 D. 17 ? 6 5

?? ? ? 2 x ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( ?3 ?
B.向右平移



?
6

个长度单位 个长度单位

C.向左平 移

?
6

? 个长度单位 12 ? D.向左平移 个长度单位 12

5.设公差不为零的等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , 若 a4 ? 2(a2 ? a3 ) ,则

S7 等于( S4



A.

7 4

B.

14 5

C.7

D.14

第 6 题图

6.执行如图所示的程序框图后,输出的值为 4,则 P 的取值范围是(
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)

A.

7 15 ?P? 8 16

B.

3 15 ?P? 4 16
-1-

C.

7 15 ?P? 8 16

D.

3 7 ? p? 4 8

? y ? ?1 ? 7.变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若使 z ? ax ? y 取得最大值的最优解有无数个,则实 ?3 x ? y ? 14 ?
数 a 的取值集合是( A. ??3,0? ) B. ?3, ?1? C. ?0,1? D. ??3,0,1? )

8.设 Sn 是公差 d ? ?1 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 an ? ( A. ?

1 ?n 2

B.

1 ?n 2

C.

1 ?n 2

D. ?

1 ?n 2

9. 已 知 椭 圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右 焦 点 为 F . 短 轴 的 一 个 端 点 为 M , 直 线 a 2 b2
4 , 5

l : 3x ? 4 y ? 0 交椭圆 E 于 A, B 两点.若 AF ? BF ? 4 ,点 M 到直线 l 的距离不小于
则椭圆 E 的离心率的取值范围是( A. (0, )

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

10. 已知在 ?ABC 中,?ACB ? 90 ,BC ? 3 , AC ? 4 ,P 是 AB 上的点, 则 P 到 AC , BC 的距离的乘积的最大值为( A.3 B.2 ) C. 3 D.9

11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且两条曲线在第 一象限的交点为 P , ?PF 1F2 是以 PF 1 为底边的等腰三角形,若 | PF 1 |? 10 ,椭圆与双曲线的 离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1 ? e2 ? 1 的取值范围是( A. (1,??) B. ( ,?? ) ) C. ( ,?? )

4 3

6 5

D. (

10 ,?? ) 9

12. 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 2,直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点, 线段 AB 中点 M 在 第一象限,并且在抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 上,且 M 到抛物线焦点的距离
2

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为 p ,则直线 l 的斜率为( A. 1 B. 2

) C.

3 2

D.

5 2

-2-

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上 。 13.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 4a1 ,2a2 , a3 成等差数列,若 a1 ? 1 ,则 S 4 ? 14. 在 ?ABC 中,如果 S?ABC ?

a 2 ? b2 ? c2 ,那么 ?C =________. 4

15. 设 F 为抛物线 y 2= 8x 的焦点, A,B,C 为该 抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,

则 | FA | ? | FB | ? | FC | 的值是

16. 设 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y∈R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2016

成立,若函数 g(x)=f(x)+2016x

2013

有最大值 M 和最小值 m,则 M+m=



三、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. 如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90? , AB ? 4, BC ? 3 ,点 D 在直线 AC 上,且 AD ? 4 DC . ( 1 )求 BD 的长; ( 2 )求

sin ?CBD 的值

18. 在等差数列 {an } 中, a2 ? a7 ? ?23, a3 ? a8 ? ?29 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {an ? bn } 是首项为 1,公比为 c 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 Sn .

19.点 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 16 上的一个动点,过点 P 作 PD 垂直于 x 轴,垂足为 D,Q 为线段 PD 的中点。 (1)求点 Q 的轨迹方程。 (2)已知点 M(1,1)为上述所求方程的 图形内一点,过点 M 作弦 AB,若点 M 恰为弦 AB 的 中点,求直线 AB 的方程。 20 . (本小 题满 分 12 分)已 知 A、 B 分别在 射线 CM 、CN (不含端 点 C )上运 动,
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-3-

2 ?MCN ? ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . 3
(Ⅰ)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (Ⅱ)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长, 并求周长的最大值.
θ N B C A M

21. 已知 a1 ? 9 , 点 (an (n? N ) , 设 bn ? lg(1 ? an ) . , an? )1 在函数 f ( x) ? x2 ? 2x 的图象上, ⑴证明数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设 cn ? nbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n ; ⑶ 设 dn ?

?

1 1 ,求数列 ?dn ? 的前 n 项和 Dn . ? an an ? 2

22.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 B . Q 为抛 a2 b2

物线 y 2 ? 12x 的焦点,且 F1 B ? QB ? 0 , 2F1 F2 ? QF1 ? 0 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 过定点 P(0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点 ( M 在 P, N 之间) , 设直线 l 的斜率为 k (k ? 0) ,在 x 轴上是否存在点 A(m,0) ,使得以

AM , AN 为邻边的平行四边形为菱形?若存在, 求出
实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

y
P

M

B

N

F1



O

F2



x

-4-

2016-2017 学年上学期高二期中考试 高二数学(理科)试题答案 一、 选择题: 7-12BBAABC

1-6 CBADCD 二、 填空题: 13.15 三、 解答题:

14.

? 4

15. 12

16.

-4032

17. (I)解:因为∠ABC=90°,AB=4,BC=3, 所以 cos C ?

3 4 ,sin C ? ,AC=5, 5 5

又因为 AD=4DC,所以 AD=4,DC=1.在△BCD 中,由余弦定理, 得 BD ? BC ? CD ? 2BC ? CD cos C
2 2 2

3 32 ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? ? 5 5







BD ?

4 5

.…………………….…5 分

1

0

(II)在△BCD 中,由正弦定理,得

CD BD ? , sin ?CBD sin C

4 10 1 所以 ? 5 , 4 sin ?CBD 5

所以 sin ?CDB ?

10 .…………10 分 10

18. (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,则

解得 ∴数列{an}的通项公式为 an=-3n+2........................4 分 (Ⅱ)∵数列{an+bn}是首项为 1,公比为 c 的等比数列, ∴an+bn=c
n-1

,即-3n+2+bn=c

n-1

,∴bn=3n-2+c
2 n-1

n-1

.……………………………6 分

∴Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c +…+c =

)

n (3n ? 1) 2 n-1 +(1+c+c +…+c ). 2
2

………………………………………8 分

3 ?n n (3n ? 1) 当 c=1 时,Sn= +n= n ………………………………………10 分 2 2
-5-

n (3n ? 1) 1 ? c 当 c≠1 时,Sn= + ……………………………………………………….12 分 2 1? c

n

? x ? x0 ? x0 ? x ? 19. 解: (1)设 Q( x, y), P( x0 , y0 ) ,则 D( x0 , 0) ,由 ? y0 得 , ? y? ? y0 ? 2 y ? ? 2
2 因为 P( x0 , y0 ) 在圆 x2 ? y 2 ? 16 上,所以 x02 ? y02 ? 16 ,所以 x2 ? (2 y) ? 16
2 2

x y 即 ? ? 1 为所求。………………4 分 16 4
(2)依题意 显 然 AB 的斜率存在,设直线 AB 的斜率为 k ,则 AB 的方程可设为

? y ? k ( x ? 1) ? 1 ? y ? 1 ? k ( x ? 1) ,由 ? x 2 y 2 (kx ? k ? 1)2 ? 16 得 : x2 ? ? ?1 ? ? 16 4
即: ( 1+4k 2 ) x2 ? 8k (1 ? k ) x ? 4(1 ? k )2 ?16 ? 0 ………………7 分

设A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 ) ,则x1 ? x 2 ?
综上,得 8k( k ? 1) 1 ? 4k 2

8k( k ? 1)
2

1 ? 4k 1 ? 2,解得k ? ? 。 4

, 而M(1,1)是AB中点,则

x1 ? x 2 ? 1。 2

…………10 分 …………12 分

1 ? 直线AB的方程为y ? 1 ? ? ( x ? 1), 即x ? 4y ? 5 ? 0。 4
20. 解(Ⅰ) 又

a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 .

a 2 ? b2 ? c2 1 1 2 ?? , ?MCN ? ? , cos C ? ? ,? 2ab 2 2 3
2 2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?
又 (

1 ? ? , 恒等变形得 c 2 ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 . 2
……………………………………………………………6 分

c ? 4 ,? c ? 7 .
Ⅱ ) 在

?ABC





A C ? s ? iA n B

C ?

B ? s

C iB ? nA

C



A s

B iA n C

?

AC ? sin ?

BC 3 ?? ? ? ? 2 , AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . 2? ?? ? ?3 ? sin ? ? ? ? sin 3 ?3 ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 …………8 分 ?3 ?

-6-

?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ,………………………………….10 分 2 3? ? ?2 ?


? ? ? 2? ? ? ? ?? , ? 当 ? ? ? 即 ? ? 时, ?? ? 0, ? ,? ? ? ? ? 6 3 3 3 3 2 ? 3?

f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 .…………………………………………………………………12 分
2 21. 解: (Ⅰ) 证明:由题意知: an?1 ? an ? 2an

∴ an?1 ? 1 ? (an ? 1)2

∵ a1 ? 9

∴ an ? 1 ? 0

∴ lg(an?1 ? 1) ? lg(an ? 1)2 ,即 bn?1 ? 2bn 。 ∴ ?bn ? 是公比为 2 的等比数列………….4 分 ∴ cn ? n ? 2 n?1 。
1 2 n ?1

又∵ b1 ? lg(1 ? a1 ) ? 1 ? 0 (Ⅱ) 由(1)知: bn ? b1 ? 2n?1 ? 2n?1
0

∴ S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ∴ 2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n ∴ ? Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ?
0 1 2

? 2n?1 ? n ? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n 1? 2

∴ S n ? n ? 2n ? 2n ?1 。………………………………… 8 分
2 (Ⅲ) ∵ an?1 ? an ? 2an ? an (an ? 2) ? 0



1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2



1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1

∴ dn ?

1 1 2 1 1 ? ? ? 2( ? ) an an an ?1 an an ?1

Dn ? d1 ? d 2 ? ? ? d n ? 2(
又由(1)知: lg(1 ? an ) ? 2 n?1 ∴ Dn ? 2( ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a 2 a3 a n an?1 a1 an?1
∴ an ? 1 ? 102
n?1

∴ an?1 ? 102 ? 1

n

1 1 ) 。…………12 分 2n 9 10 ? 1

22. 解: (Ⅰ)由已知 Q(3,0) , F1 B ? QB , | QF1 |? 4c ? 3 ? c ,所以 c ? 1 .…… 1 分 在 Rt?F1 BQ 中, F2 为线段 F1Q 的中点, 故 | BF2 |? 2c ? 2 ,所以 a ? 2 .……… 2 分

y
B

F1



O

F2



-7Q

x

于是椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 .…4 分 4 3

(Ⅱ)设 l : y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) ,

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,取 MN 的中点为 E ( x 0 , y 0 ) .
假设存在点 A(m,0) 使得以 AM , AN 为邻边的平行四边形为菱形,则 AE ? MN .

? y ? kx ? 2 ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0 , ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4

1 1 ……………… 6 分 ? ? 0 ? k 2 ? ,又 k ? 0 ,所以 k ? . 4 2 16k 8k 6 因为 x1 ? x2 ? ? 2 ,所以 x0 ? ? 2 , y0 ? kx0 ? 2 ? 2 . …… 8 分 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 6 ?0 2 1 1 ?? , 因为 AE ? MN ,所以 k AE ? ? ,即 4k ? 3 ? 8 k k k ?m 4k 2 ? 3
整理得 m ? ?

2k ?? 4k 2 ? 3

2 3 4k ? k



………………… 10 分

因为 k ?

3 1 3 1 3 ,0) . … 12 分 时, 4k ? ? 4 3 , ? (0, ] ,所以 m ? [ ? 3 6 12 2 k 4k ? k

-8-


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