课时分层作业17 空间向量运算的坐标表示


课时分层作业(十七)
(建议用时:40分钟) [基础达标练] 一、选择题 1.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b=(  ) A.(2,-4,2)     C.(-2,0,-2) B.(-2,4,-2) D.(2,1,-3)

A [b=a-(a-b)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).] 2.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为(   ) A. C. C [∵AB的中点M, ∴=,故|CM|=|| = =.] 3.已知a=(x,1,2),b=(1,2,-y),且(2a+b)∥(-a+2b),则(  ) 【导学号:46342157】 A.x=,y=1 C.x=2,y=- B.x=,y=-4 D.x=1,y=-1 B. D.

B [2a+b=(2x+1,4,4-y),-a+2b=(2-x,3,-2y-2),∵(2a+b)∥(- a+2b),则存在非零实数?,使得2a+b=?(-a+2b),∴∴.] 4.已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x 的值为(  ) A.-2 C.3 B.2 D.-3

A [∵b-c=(-2,3,1),a·(b-c)=4+3x+2=0,∴x=-2.] 5.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos〈a,b〉=(  ) A. C. B. D.

C [由已知,得a=(1,,),b=(1,0,),∴cos〈a,b〉===.] 二、填空题

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6.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p· q =________. -1 [∵p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1), ∴p· q=1×0+0×3+(-1)×1=-1.] 7.已知a=(cos ±,1,sin ±),b=(sin ±,1,cos ±),则向量a+b与a-b的 夹角是________. 【导学号:46342158】 90° [a+b=(cos ±+sin ±,2,sin ±+cos ±),a-b=(cos ±-sin ±,0,sin ±- cos ±),∴(a+b)·( a-b)=0, ∴(a+b)⊥(a-b).] 8.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动, 当· 取得最小值时,点Q的坐标为________.  [设=?=(?,?,2?),故Q(?,?,2?),故=(1-?,2-?,3-2?),=(2- ?,1-?,2-2?). 则· =6?2-16?+10=62-,当· 取最小值时,?=,此时Q点的坐标为.] 三、解答题 9.如图3-1-40,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3 和6的正方形,A1A=6,且A1A⊥底面ABCD.点P,Q分别在棱DD1,BC上. 若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ.

图3-1-40 [解] 由题设知,AA1,AB,AD两两垂直.以A为坐标原点,分别以,,为 正交基底建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6).设Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6.

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若P是DD1的中点,则P,=.又=(3,0,6),于是· =18-18=0,所以⊥, 即AB1⊥PQ. 10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别 是边AC,A1C1的中点,建立如图3-1-41所示的空间直角坐标系.

图3-1-41 (1)求三棱柱的侧棱长; (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. 【导学号:46342159】 [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h, 由题意得A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),B1(,0,h),C1(0,1,h), 则=(,1,h),=(-,1,h), 因为AB1⊥BC1,所以· =-3+1+h2=0, 所以h=. (2)由(1)可知=(,1,),=(-,1,0), 所以· =-3+1=-2. 因为||=,||=2,所以cos〈,〉==-. 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. [能力提升练] 1.已知A(1,2,-1),B(5,6,7),则直线AB与平面xOz交点的坐标是(  ) A.(0,1,1) C.(-1,0,3) B.(0,1,-3) D.(-1,0,-5)

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D [设直线AB与平面xOz交点的坐标是M(x,0,z),则=(x-1,-2,z +1).又=(4,4,8),与共线,∴=?,即,解得x=-1,z=-5, ∴点M的坐标为(-1,0,-5).故选D.] 2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中 点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(  ) A.  B.   C.   D.

C [建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,设BC=2, 则B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2), 故BM与AN所成角? 的余弦值cos ? ===.] 3.如图3-1-42,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶 点A,B,V分别在x,y,z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,当∠VDC =60°时,异面直线AC与VD所成角的余弦值为________.

图3-1-42  [由题意,A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(1,1,0),当∠VDC=60°时, 在Rt△VCD中,CD=,VC=,VD=2,∴V(0,0,),∴=(-2,0,0),=(1,1,- ),∴cos〈,〉==-,∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.] 4.设向量a=(1,-2,2),b=(-3,x,4),已知a在b上的投影为1,则x =________. 0 [∵a在b上的投影为1,∴|a|·cos 〈a,b〉=1,∴a· b=|a|·| b|·cos 〈a,b〉 =|b|,∴-3-2x+8=,解得x=0或x=(舍去).] 5.如图3-1-43,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC =4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.求PA的长.
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【导学号:46342160】

图3-1-43 [解] 如图,连接BD交AC于O,因为BC=CD,即△BCD为等腰三角形, 又AC平分∠BCD,故AC⊥BD.以O为坐标原点,分别以,,为正交基底建立 空间直角坐标系Oxyz.

因为OC=CDcos =1,AC=4,所以AO=AC-OC=3,又OB=OD=CDsin =,故A(0,-3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0). 由PA⊥底面ABCD,可设P(0,-3,z),其中z>0. 由F为PC的中点,得F,所以=,=(,3,-z). 又AF⊥PB,所以· =0,即6-=0,解得z=2或z=-2(舍去).所以=(0,0,- 2),则||=2. 所以PA的长为2.

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