高考试卷广东省佛山市南海区桂城中学2015届高三下学期七校联合交流数学(文)试题

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“七校联合体”2015 届高三冲刺交流试卷 数学试卷(文科) 命题人:南海桂城中学 2014 年 5 月 17 日

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 2.非选择题必须用 0.5 毫米黑色 字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相 .. 应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 sh ,其中 s 为锥体的底面积, h 为锥体的高。 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? (?1,??) ,集合 N ? ?x | x( x ? 2) ? 0? ,则 M ? N = A. [0,2] 2. B. (0,??) C. (?1,0] D. (?1,0) ) D. 3 ? 2i

设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i B. 2 ? 3i C. 3 ? 2i

3.

(, 1 3) 已知向量 a= ,b= (3, m ) ,若向量 a,b 的夹角为
) B. 0 C.

? , 6
开始

则实数 m=( A. 2 3 D. ? 3

3

S ? 1, t ? 2
t ? t ?1

x 1 ) ? 4. 已知函数 f ( x) 是奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? e , 则 f (?



) A.

S ? S ?t

1 e

B.?

1 e

C.e

D.?e

S ? 100 ?
否 输出 S 结束


Sh i

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5. 某防疫站对学生进行身体健康调查,采用分层抽样的办法抽取 样本.某中学共有学生 2000 名,抽取了一个容量为 200 的样本,已知样本中女生比男生少 6 人,则 该校共有女生( A. 1030 人 ) B. 97 人 C. 950 人 ) D. 970 人

6. 如图所示的程序框图表示的算法功能是( A.计算 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 的值 B.计算 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 的值 C.计算 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 的值 D.计算 S ? 1? 3 ? 5 ? 7 的值

7. 已知命题 p :直线 a , b 不相交,命题 q :直线 a , b 为异面直线,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



?x ? 1 ? 8. 已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ( ? y ? a ( x ? 3) ?
A.



1 2

B.

1 4

C. 1

D. 2

x2 y 2 9. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点 , 连接 a b
AF, BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?
A.

3 5

B.

5 7

4 ,则 C 的离心率为( 5 4 6 C. D. 5 7



10. 对于集合 M,定义函数 f M ( x) ? ?

??1, x ? M , 对于两个集合 M,N,定义集合 ?1, x ? M .

M ? N ? {x | f M ( x) ? f N ( x) ? ?1} . 已知 G ? {2, 4,6,8,10} , H ? {1, 2, 4,8,16} ,则集合 G ? H ?
( ) A. {2, 4,8} B. {6,10} C. {1,16} D. {1, 6,10,16}

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二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 函数 f ( x) ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围为 .

12. 在区间(0,4)内任取两个实数,如果每个实数被取到的概率相等,那么取出的两个实数的和 大于 2 的概率等于 . D C B O A

13. 某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵树是前一 天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈ N )等于__________. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的参数方程为 ?
*

? x ? 2cos t ( t 为参数),C ? y ? 2sin t

在点 ? 0, ?2? 处的切线为 l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐 标方程为 15. (几何证明选讲选做题) 如图,已知 △ ABC 内接于圆 O ,点 D 在 OC 的延长线上, AD 切圆 O 于 A ,若 ?ABC ? 30? , AC ? 2 ,则 AD 的长为_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m =( 3 sin

x x 2 x ,1), n =( cos , cos ),f(x)= m ? n . 4 4 4

(1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(

2? ? x ) 的值; 3
1 c ? b ,求函数 f ( B ) 的 2

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 且满足 a cos C ? 取值范围

17. (本小题满分 12 分)某次考试结束后,为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况,随机抽取 甲、 乙两校各 10 名学生的考试成绩, 得茎叶图如图所示
甲校 乙校 9 8 7 6 5 0 0 3 5 1 * 5 2 6 8

(部
3 6 * 2 2 2 1 * 6 8

分数据不清晰) : (Ⅰ)请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水

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平较高(直接写出结果) ; (Ⅱ)若在抽到的这 20 名学生中,分别从甲、乙两校 随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的学生,求抽到的学生中, 甲校学生成绩高于乙校学生成 绩的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各个侧面均是边长为 2 的 正方形, D 为线段 AC 的中点. (Ⅰ)求证: BD ⊥平面 ACC1 A1 ; (Ⅱ)求证:直线 AB1 ∥平面 BC1D ; (Ⅲ)设 M 为线段 BC1 上任意一点,在 ?BC1D 内的平面区域(包 括边界)是否存在点 E ,使 CE ? DM ,并说明理由. A D C B A1 C1 B1

19. (本小题满分 14 分) 数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 an ? (1)求 a 2 的值; (2)求数列 {Sn } 的通项公式;
2 2Sn (n ? 2) . 2Sn ? 1

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(3)设 f (n) ?

(1 ? S1 )(1 ? S2 )(1 ? S3) 2n ? 1

(1 ? Sn)

,若存在正数 k ,使 f (n) ? k 对一切 n ? N 都成

?

立,求 k 的最大值.

20. (本小题满分 14 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点, 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时, △ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程. (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E. ①证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标. ②△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

2

21.(本小题满分 14 分) 设 n ? N ,函数 f ( x) ?
*

ln x ex ,函数 , x ? (0, ??) . g ( x ) ? xn xn

(Ⅰ)判断函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是否为单调函数,并说明理由; (Ⅱ)若当 n ? 1 时,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 都有 f ( x1 )≤t≤g ( x2 ) 成立,求实数 t 的取值范围;

y ? t (t ?R ) (Ⅲ)当 n ? 2 时,若存在直线 l: ,使得曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分别位于直
线 l 的两侧,写出 n 的所有可能取值. (只需写出结论)

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“七校联合体”2015 届高三冲刺交流试卷 参考答案 一、选择题: 二、填空题: 11. ( ??, 2) 三、解答题: 12. C A C D D B B A B D

7 8

13.

6

14. ? sin ? ? 2 ? 0

15.

2 3

17.解: (Ⅰ)从茎叶图可以看出,乙校 10 名学生的考试成绩的平均分高于甲校 10 名学生的考试成 绩平均分,故乙校的数学成绩整体水平较高. ……… 4 分

(Ⅱ)设事件 M :分别从甲、乙两校随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的同学,抽到的学生中, 甲校学生成绩高于乙校学生成绩. 由茎叶图可知,甲校成绩不低于 90 分的同学有 2 人,从小到大依次记为 A1 , A2 ;乙校成绩不 低于 90 分的同学有 5 人,从小到大依次记为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 . 其中 A 1 = 92, A 2 = 93, B 1 = 90, B2 = 91, B3 = 95, B4 = 96, B5 = 98. ……… 6 分

分 别 从 甲 、 乙 两 校 各 随 机 抽 取 1 名 成 绩 不 低 于 90 分 的 同 学 共 有

A1B1 , A1B2 , A1B3 , A1B4 , A1B5 , A2 B1 , A2 B2 , A2 B3 , A2 B4 , A2 B5 这 10 种可能.…… 8 分
其中满足“抽到的学生中,甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有 A 1B 1, A 1B2 , A2 B 1 , A2 B2 这

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4 种可能. 所以 P ( M ) ?

……… 10 分

4 2 ? . 10 5

即分别从甲、乙两校随机各抽取 1 名成绩不低于 90 分的同学,抽到的学生中,甲校学生成绩高 于乙校学生成绩的概率为

2 . 5

……… 12 分 C1 A1 O C A D B B1

18. 解: (Ⅰ)证明:因为三棱柱的侧面是正方形, 所以 CC1 ? BC, CC1 ? AC , BC ? AC ? C . 所以 CC1? 底面 ABC . 因为 BD ? 底面 ABC ,所以 CC1 ? BD . 由已知可得,底面 ABC 为正三角形. 因为 D 是 AC 中点,所以 BD ? AC . 因为 AC ? CC1 ? C ,所以 BD ? 平面 ACC1 A1 . ……… 5 分

(Ⅱ)证明:如图,连接 B1C 交 BC1 于点 O ,连接 OD .显然点 O 为 B1C 的中点. 因为 D 是 AC 中点, 所以 AB1

/ / OD .

又因为 OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , 直线 AB1 ∥平面 BC1D ……… 10 分

(Ⅲ)在 ?BCD1 内的平面区域(包括边界)存在一点 E ,使 CE ? DM . 此时点 E 是在线段 C1D 上. 证明如下: 过 C 作 CE ? C1D 交线段 C1D 于 E , 由(Ⅰ)可知 BD ? 平面 ACC1 A1 ,而 CE ? 平面 ACC1 A1 , 所以 BD ? CE . 又 CE ? C1D , BD E C B

C1 A1 M B1

C 1 D ? D ,所以 CE ? 平面 BC 1 D .

A

D

又 DM ? 平面 BC 1 D ,所以 CE ? DM . ……… 14 分

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19. 解: (1)∵ a1 ? 1 , an ? 解得 a2 ? ?

2 2Sn (n ? 2) , 2Sn ? 1

∴ a2 ?

2(a1 ? a2 )2 2(a1 ? a2 ) ? 1
………………2 分
2 2S n , 2S n ? 1

2 3

(2)证明:∵ n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ,∴ S n ? S n ?1 ?

2 ∴ (S n ? S n?1 )(2S n ? 1) ? 2S n ,∴ S n?1 ? S n ? 2S n S n?1 ,

………………6 分



1 1 1 1 ? ? 2(n ? 2) , 数列 { }是以 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列. S n S n?1 Sn S1
1 1 . ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,∴ S n ? 2n ? 1 Sn
………………8 分



( 3 ) 由 ( 2 ) 知 S n ?1 ?

1 ? Sn?1 ) n ? 2 f (n ? 1 ) ( 1 , 又 ? 2n ? 1 f (n) 2n ? 3

1 ? ? 1? 2 n? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 3

?

(2n ? 2) 2 4 n 2 ? 8n ? 4 2n ? 2 ? ? ?1, 2n ? 1 ? 2n ? 3 4n 2 ? 8n ? 3 4 n 2 ? 8n ? 3
?

………………10 分

∴ f ( n) 在 n ? N 上递增,要使 f (n) ? k 恒成立,只需 f min (n) ? k ………………12 分 ∵ f min (n) ? f (1) ?

2 3 2 3 , ∴0 ? k ? , 3 3

∴ kmax ?

2 3 .………………14 分 3

?p ? ?p+2t,0?. 20.解: (1)由题意知 F? ,0?. 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为? ? ?2 ? ? 4 ?
因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知 3+ =?t- ?, 2? 2 ? 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去). 由 ………………2 分

p ?

p?

p+2t
4

=3,解得 p=2,
2

所以抛物线 C 的方程为 y =4x.

………………4 分

(2)①证明:由(1)知 F(1,0).设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0). 因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2

y0

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因为直线 l1 和直线 AB 平行, 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 64 32b 2 2 代入抛物线方程得 y + y- =0, 由题意Δ = 2 + =0,得 b=- .………6 分

y0

y0

y0

y0

y0

y0

4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2.

y0

y0

+y0 y0 yE-y0 4y0 2 当 y0≠4 时,kAE= =- , 2= 2 xE-x0 4 y0 y0-4 - y2 4 0 可得直线 AE 的方程为 y-y0= 整理可得 y=
2

4

………………7 分

4y0 2 (x-x0), 由 y0=4x0, y2 0-4 ………………8 分

4y0 (x-1),直线 AE 恒过点 F(1,0). y2 0-4

当 y0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). ②由①知,直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 ?1 ? 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+? +1?=x0+ +2. ………………9 分

?x0

?

x0

………………10 分

设直线 AE 的方程为 x=my+1,因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上,故 m= 设 B(x1,y1).直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 2 由 y0≠0,得 x=- y+2+x0.

x0-1 . y0

y0

y0

8 8 2 代入抛物线方程得 y + y-8-4x0=0, 所以 y0+y1=- ,

y0

y0

8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4.

y0

x0

所以点 B 到直线 AE 的距离为:

d=

? 4 +x +4+m?y0+ 8 ?-1? ? ?x0 0 y0? ? ? ? ? ? 4(x0+1)
1+m
2



x0

? =4? x0+ ?

1 ?

x0?

?, ………………12 分

1 ? 1 ? 1 则△ABE 的面积 S= ×4? x0+ ?x0+x +2≥16, 2 ? 0 x0? 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时,等号成立.

x0

所以△ABE 的面积的最小值为 16. 21.(Ⅰ)解:结论:函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上不是单调函数.

………………14 分 …………………1 分

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由 f ( x) ?

ln x 1 ? n ln x 求导,得 f ?( x ) ? , n x x n ?1
1 n

…………………2 分

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 的变化如下表所示:

x
f ?( x )

(0, e )

1 n

e

1 n

(e , ??)
?

1

1 n

?

1

0

f ( x)

所以函数 f ( x) 在区间 (0, e n ) 上为单调递增,区间 (e n , ??) 上为单调递减. 所以函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上不是单调函数. (Ⅱ)解:当 n ? 1 时,函数 f ( x ) ? …………………5 分

ex ln x g ( x ) ? , ,x ?0. x x

由题意,若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 都有 f ( x1 )≤t≤g ( x2 ) 恒成立, 只需当 x ? (0, ??) 时, f ( x)max ≤t≤g ( x)min . 因为 f ?( x) ? …………………6 分

1 ? ln x . x2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e .

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

x
f ?( x )

(0, e)

e
0

(e, ??)

?


?
↘ …………………8 分

f ( x)
所以 f ( x) max ? f (e) ? 又因为 g ?( x) ?

1 . e
令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

e x ( x ? 1) . x2

当 x 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化如下表所示:

x

(0,1)

1

(1, ??)

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g ?( x )
g ( x)
所以 g ( x)min ? g (1) ? e . 综上所述,得 ≤t≤e .

?


0

?
↗ …………………10 分 …………………11 分 …………………14 分

1 e

(Ⅲ)解:满足条件的 n 的取值集合为 {3, 4} .

-END-

-END-

-END-


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