【三维设计】高中数学 第1部分 1.3.1 第一课时函数的单调性课件 新人教A版必修1_图文

理解 教材 新知 第 一 章 1.3 1.3.1 第 一 课 时 知识点一 知识点二 把握 热点 考向 考点一 考点二 考点三 应用创新演练 观察下列函数图象: 问题1:从图象上看,自变量x增大时,函数f(x)的值如何变化? 提示:甲图中,函数f(x)的值随x增大而增大. 乙图中,函数f(x)的值随x增大而减小. 丙图中,在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小; 在y轴右侧,函数f(x)的值随x的增大而增大. 问题2:甲、乙图中,若x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大 小关系是什么? 提示:甲图中,若x1<x2,则f(x1)<f(x2); 乙图中,若x1<x2,则f(x1)>f(x2). 问题3:丙图中,若x1<x2,f(x1)<f(x2),则自变量x 属于哪个区间? 提示:[0,+∞). 1.增函数与减函数的定义 条件 增 结论 定义 设函数f(x)的定义域 都有 f(x1)< f(x)在区间D上 函 是 增函数 为I,对于定义域I内 f(x2) 数 某个区间D上的 任意 减 f(x1)> 两个自变量的值x1, 都有 f(x)在区间D上 函 f(x2) x2,当x1<x2时 是 减函数 数 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数, 那么说函数f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性 , 区间D叫做函数y=f(x)的 单调区间 . 观察下列函数图象: 问题1:该函数f(x)的定义域是什么? 提示:[-3,5]. 问题2:该函数f(x)的最高点和最低点的纵坐标分别 是多少? 提示:2,-1.5. 问题3:函数y=f(x)的值域是什么? 提示:f(x)∈[-1.5,2]. 函数的最大值与最小值 条件 结论 设函数y= f(x)的定义 域为I,如 果存在实 数M满足 (1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M (2)存在x0∈I,使 f(x0)=M M是函数y=f(x) 的最大值 (1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≥M (2)存在x0∈I,使 f(x0)=M M是函数y=f(x) 的最小值 1.函数单调性定义中x1,x2的三个特征 (1)任意性,即x1,x2是在某一区间上的任意两个值, 不能以特殊值代替; (2)有大小,必须确定两个值x1,x2的大小关系,一 般令x1<x2; (3)同属一个单调区间. 2.求函数最值应注意的问题 求函数的最大(小)值时,通常要先确定函数的 单调性,同时要注意函数的定义域. 4 [例 1] 证明函数 f(x)=x+x在(2,+∞)上是增函数. [思路点拨] 根据增函数的定义证明. [精解详析] 任取 x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, 4 4 则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- x1 x2 4?x2-x1? =(x1-x2)+ x1x2 x1x2-4 =(x1-x2) . x1x2 ∵2<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0. ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 4 ∴函数 f(x)=x+x在(2,+∞)上是增函数. [一点通] 证明或判断函数单调性的方法主要是 定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法),利 用定义法证明或判断函数单调性的步骤是 1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( A.y=|x| 1 C.y=x B.y=3-x D.y=-x2+4 ) 解析:B在R上为减函数.C在(-∞,0)上和(0,+∞)上 为减函数.D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为 减函数. 答案:A x+2 2.利用单调性的定义,证明函数 y= 在(-1,+∞) x+1 上是减函数. 证明: 设 x1, x2 是区间(-1, +∞)上任意两个实数且 x1<x2, x1+2 x2+2 则 f(x1)-f(x2)= - x1+1 x2+1 x2-x1 = . ?x1+1??x2+1? ∵-1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0. x2-x1 ∴ >0, ?x1+1??x2+1? 即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). x+ 2 ∴y= 在(-1,+∞)上是减函数. x+ 1 [例 2] 画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函 数的单调区间. [思路点拨] → 求单调区间 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 [精解详析] 2 ? ?-x +2x+1, y=? 2 ? ?-x -2x+1, x≥0, x<0, 即 2 ? ?-?x-1? +2, y=? 2 ? ?-?x+1? +2, x≥0, x<0. 函数图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1], 单调减区间为[-1,0],[1,+∞). [一点通] 1.确定函数单调区间的方法 (1)作出函数的图象,利用图形的直观性能快速判断 函数的单调区间,但要注意图象一定要画准确. (2)常见函数的单调区间: ①y=ax+b,a>0时,单调递增区间为(-∞,+∞); a<0时,单调递减区间为(-∞,+∞). a ②y=x, a>0 时, 单调减区间为(-∞, 0)和(0, +∞); a<0 时,单调增区间为(-∞,0)和(0,+∞). ③y=a(x-m)2+n,a>0 时,单调减区间为(-∞, m],单调增区间为[m,+∞);a<0 时,单调增区间为(- ∞,m],单调减区间为[m,+∞). 2.确定函数的单调区间应注意的问题 函数的单调区间是函数定义域的子集,在求解的过 程中不要忽略了函数的定义域. 3.已知函数y=f(x)的图象,如图所示. 试写出函数y=f(x)的单调区间. 解:观察图象可知,函数y=f(x)的图象在区间[-2,1] 和[4,6]上均是上升的,在区间[1,4]

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