高中数学第三章三角恒等变换3.1第3课时二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修4

第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P132~P134 的内容, 回答下列问题. (1)在公式 C(α+β),S(α+β)和 T(α+β)中,若 α=β, 公式还成立吗? 提示:成立. (2)在上述公式中,若 α=β,你能得 到什么结论? 提示: cos_2 α = cos2 α - sin2 α , sin_2 α = 2sin_ α cos_ α , tan_2 α = 2tan α . 1-tan2α 2.归纳总结,核心必记 [问题思考] (1)S2α ,C2α ,T2α 中角 α 的取值范围 分别是什么? 提示: S2α, C2α中 α∈R, T2α中 α≠k π kπ π π+ 且 α≠ ± . 2 2 4 (2)能应用 tan α 表示 sin 2α ,cos 2α 吗? 提 示 : sin_2 α = 2sin_ α cos_ α = 2sin αcos α 2tan α = , cos_2 α = sin2α+cos2α 1+tan2α 2 2 cos α - sin α 2 2 cos α - sin α = = 2 2 sin α+cos α 1-tan2α . 1+tan2α [课前反思] (1)二倍角的正弦公式: ; (2)二倍角的余弦公式: ; (3)二倍角的正切公式: . ?讲一讲 1.求下列各式的值: π π (1)sin cos ;(2)1-2sin2750°; 12 12 2tan 150° 1 3 (3) ;(4) - ; 2 1-tan 150° sin 10° cos 10° (5)cos 20°cos 40°cos 80°. π π π 2sin cos sin 12 12 6 1 [尝试解答] (1)原式= = = . 2 2 4 (2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500° =cos(4×360°+60°) 1 =cos 60°= . 2 (3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360° -60°)=-tan 60°=- 3. cos 10°- 3sin 10° (4)原式= sin 10°cos 10° ?1 2? ?2cos ? ? 3 ? 10°- sin 10°? 2 ? sin 10°cos 10° = 4(sin 30°cos 10°-cos 30°sin 10°) = 2sin 10°cos 10° 4sin 20° = =4. sin 20° (5)原式 2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° = 2sin 20° 2sin 40°·cos 40°·cos 80° = 4sin 20° 2sin 80°·cos 80° = 8sin 20° sin 160° 1 = = . 8sin 20° 8 化简求值的四个方向 三角函数的化简有四个方向,即分 别从 “ 角 ”“ 函数名 ”“ 幂 ”“ 形 ” 着 手分析,消除差异. ?练一练 1 1 1. 化简: (1) - ; 1-tan θ 1+tan θ 2cos2α -1 (2) ?π ? ?π ?. ? ? 2? 2tan? sin - α + α ?4 ? ?4 ? ? ? ? ? (1+tan θ)-(1-tan θ) 解:(1)原式= (1-tan θ)(1+tan θ) 2tan θ = =tan 2θ. 1-tan2θ cos 2α (2)原式= ?π ? ? ? π ? ? 2?π 2tan? -α?cos ? - -α? ? 4 ?4 ? ?2 ? = ?π ? ?π ?= ?π ? ?π ? ? ? ? ? ? ? 2? 2tan? -α?cos ? -α? 2sin? -α?cos? -α? ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? cos 2α cos 2α cos 2α cos 2α = ? ?=cos 2α=1. π ? sin? 2 × - 2 α ? ? 4 ? ? ?讲一讲 2.(1)已知 ? π ? cos?α+ 4 ? ? 3 π ? ?=5, 2 ? 3π ≤α < ,求 2 π cos(2α+ )的值; 4 (2) 已 知 α∈ ? π ? sin?α- 4 ? ? ? ?,求 ? ? π ? ?- 2 ? π? ? , ? , 且 sin 2 α = 2? α. π 3π 3π π 7π [尝试解答] (1)∵ ≤α< ,∴ ≤α+ < . 2 2 4 4 4 ? 3π π 7π π? ? ? ∵cos?α+ ?>0,∴ <α+ < . 2 4 4 4 ? ? ? π? ? ? ∴sin?α+ ?=- 4? ? π? ? 1-cos ?α+ ? 4? ? 2? ? =- 4 =- . 5 ?3?2 1-?5? ? ? ∴ cos 2 α = sin ? π? ? ? ?2α+ 2 ? ? ? = ? ? π? π? ? ? ? 2sin?α+ ?cos?α+ ? 4? ? 4? ? ? ? 4? 3 =2×?-5?× ? ? 5 24 =- , 25 sin ? π? ? ? 2α=-cos?2α+ ? 2? ? 2? π? ? =1-2cos ?α+ ? 4? ? ?3?2 7 ? ? =1-2× 5 = . 25 ? ? ? π? ? ? ∴cos?2α+ ?= 4? ? ? 2 2 cos 2α- sin 2α 2 2 2 ? 24 7 ? = ×?-25-25? 2 ? ? 31 2 =- . 50 (2)∵sin ? ? ? ? π? π? ? ? ? ? 2? 2α=-cos?2α+ ?=-?2cos ?α+ ?-1? ?, 2 4 ? ? ? ? ? ? ?π ?π ? ?π ? ??

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