北京市高三一模理科数学分类汇编1:集合、简易逻辑与函数

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2012 北京市高三一模数学理分类汇编 1:集合、简易逻辑与函数

【2012 北京市丰台区一模理】1.已知集合 A ? {x | x2 ? 1}, B ? {a} ,若 A B ? ? ,则 a 的

取值范围是

()

A. (??, ?1) (1, ??) B. ???, ?1? ?1, ???

C.(-1,1)

D.[-1,1]

【答案】B

【 2012 北 京 市 房 山 区 一 模 理 】 1. 已 知 集 合

? ? M ? ? , a? 0 ,?N 2 x 2? x Z5? 如x果0? , x 则, 等于M? ?N , a

()
(A)1
【答案】C

(B) 2

(C)1或2

(D) 5 2

【2012 北京市海淀区一模理】(1)已知集合 A = {x x > 1},B = {x x < m},且 A B = R ,

那么 m 的值可以是

(A)- 1

(B) 0

(C)1

(D) 2

【答案】D

【2012

年北京市西城区高三一模理】1.已知全集U

?

R

,集合

A

?

{x

|

1 x

?

1}

,则 ?U

A

?(



(A) (0,1) (B) (0,1] (C) (??, 0] (1, ??) (D) (??, 0) [1, ??)

【答案】C

【解析】

A

?

{x

1 x

? 1}

?

{x

0

?

x

?

1},所以 CU

A

? {x

x

?

0或x

? 1},选

C.

? ? 【2012 北京市门头沟区一模理】已知全集U ? R ,集合 A ? x x2 ? 3x ? 4 ? 0 ,

B ? ?x x ? ?2或x ? ?3 ,则集合

A U B 等于
(A)?x ?2 ? x ? 4?

(B)?x ?2 ? x ? ?1?

(C)?x ?1? x ? 3?

(D)?x 3 ? x ? 4?

【答案】C
【2012 北京市石景山区一模理】1.设集合 M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} , N ? {x | log 1 x ? 0} ,
2
则 M ? N 等于( )

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A. (?1,1)

B. (1,3)

C. (0,1)

D. (?1,0)

【答案】B
【解析】 M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 3} , N ? {x | log 1 x ? 0} ? {x | x ? 1} ,
2
所以 M ? N ? {x1? x ? 3},答案选 B.
【2012 北京市石景山区一模理】14.集合
U ? ?(x, y) | x? R, y ? R?, M ? ?(x, y) | x ? y ? a?, P ? ?(x, y) | y ? f (x)?,

现给出下列函数:① y ? a x ,② y = log a x ,③ y ? sin(x ? a) ,④ y ? cos ax ,

若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P, 则所有满足条件的函数 f (x) 的编号是 .
【答案】①②④

【解析】由 P ? CU M ? P, 可知 M ? P ? ? ,画出相应的图象可知,①②④满足条件。
【2012 北京市海淀区一模理】 (20)(本小题满分 14 分)

对于集合

M,定义函数

??1,x ? M fM (x) ? ??1, x ? M.

,
对于两个集合

M,N,定义集合

M?N ?{x fM (x )? fN x( ?) ? 1. }已知 A = {2, 4, 6,8,10}, B = {1, 2, 4,8,16}.

(Ⅰ)写出 f A (1) 和 fB (1) 的值,并用列举法写出集合 A?B ;

(Ⅱ)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 的最小值;

(Ⅲ)有多少个集合对(P,Q),满足 P,Q ? A B ,且 (P?A)?(Q?B) ? A?B ?

【答案】解:(Ⅰ) fA (1)=1, fB (1)= -1 , A?B ? {1, 6,10,16}. ……………3 分 ( Ⅱ ) 根 据 题 意 可 知 : 对 于 集 合 C, X , ① 若 a ? C 且 a ? X , 则

C a r( d? (C X{ }? a) C ?a( r d? );C 1X② 若 a ? C 且 a ? X , 则

C a( ?r (d C { ? X} ) a?. (C? a )r d1 C X

所以 要使 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,10,16

是否属于 X 不影响 Card(X ?A) ? Card(X ?B) 的值;集合 X 不能含有 A B 之外的元素.

所以 当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card(X ?A) ? Card(X ?B) 取到

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最小值 4.

………………………………………8 分

(Ⅲ)因为 A?B ?{x fA(x)? fB(x) ? ?1}, 所以 A?B ? B?A.

由定义可知: fA?B (x) ? fA (x) ? fB (x) .

所以 对任意元素 x , f( A?B)?C (x) ? f A?B (x) ? fC (x) ? f A (x) ? fB (x) ? fC (x) ,

f A?(B?C) (x) ? f A (x) ? fB?C (x) ? f A (x) ? fB (x) ? fC (x) .

所以 f( A?B)?C (x) ? f A?(B?C) (x) .

所以 (A?B)?C ? A?(B?C) .

由 (P?A)?(Q?B) ? A?B 知: (P?Q)?(A?B) ? A?B .

所以 (P?Q)?(A?B)?(A?B) ? (A?B)?( A?B) .

所以 P?Q?? ? ? .

所以 P?Q ? ? ,即 P = Q .

因为 P,Q ? A B ,

所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为 27 ? 128 .

【 2012 北 京 市 丰 台 区 一 模 理 】 7 . 已 知 a ? b , 函 数 f ( x)? s i nx ,g (x?) c oxs命 题.

p : f ( a)? f ( b?) ,0 命题 q : g(x)在(a,b) 内有最值,则命题 p 是命题 q 成立的

() A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【2012 北京市东城区一模理】(2)若集合 A ? {0 , m2 } , B ? {1, 2} ,则“ m ? 1 ”是

“ A ? B ? {0 ,1, 2} ”的

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

【答案】A

【2012

北京市东城区一模理】(9)命题“ ?x0

? (0,

?), 2

tan

x0

?

sin

x0

”的否定是

.

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【答案】 ?x ? (0, ?), tan x ? sin x 2
【2012 北京市丰台区一模理】8.已知定义在 R 上的函数 y ? f (x) 满足 f (x ? 2) ? f (x) ,当

?1? x ?1时, f (x) ? x3 ,若函数 g(x) ? f (x) ? loga | x | 至少有 6 个零点,则 a

()
A. a ? 5或a ? 1 5
C. a ?[1 , 1] [5, 7] 75
【答案】D

B. a ? (0, 1) ?5, ???
5 D. a ?[1 , 1] [5, 7]
75

【2012

北京市海淀区一模理】(7)已知函数

f

(x)

?

??x2 ?

?

ax,

x

? 1,

?ax ?1, x ?1,

若 ?x1, x2 ? R, x1 ? x2 ,使

得 f (x1) ? f (x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是

(A) a < 2

(B) a > 2

(C)- 2 < a < 2

(D) a > 2或 a < - 2

【答案】A
【2012 年北京市西城区高三一模理】6.若 a ? log 23 ,b ? log3 2 ,c ? log4 6 ,则下列结论

正确的是( )

(A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a

【答案】D

【解析】 0 ? log 3 2 ? 1, log 2 3 ? log 4 9 ? log 4 6 ? 1所以 b ? c ? a ,选 D。

【 2012 年北 京市 西城 区高 三 一模 理】13.

已知函数

f

(

x)

?

?? ?

x

1 2

,

0 ? x ? c,

??x2 ? x, ? 2 ? x ? 0,

其中

c ? 0 .那么 f (x) 的零点是_____;若 f (x) 的值域是[? 1 , 2],则 c 的取值范围是_____. 4

【答案】 ?1和 0 , (0, 4]

1
【解析】当 0 ? x ? c 时,由 x 2 ? 0 得,x ? 0。当 ? 2 ? x ? 0 时,由 x2 ? x ? 0 ,得 x ? ?1,

1
所以函数零点为 ?1和 0 。当 0 ? x ? c 时, f (x) ? x 2 ,所以 0 ? f (x) ? c ,当 ? 2 ? x ? 0 ,

f (x) ? x2 ? x ? (x ? 1)2 ? 1 ,所以此时 ? 1 ? f (x) ? 2 。若 f (x) 的值域是[? 1 , 2],则有,

24

4

4

c ? 2 ,即 0 ? c ? 4 ,即 c 的取值范围是 (0,4] 。

【2012 北京市门头沟区一模理】14.给出定义:若 m ? 1 ? x ? m ? 1 (其中 m 为整数),则 m

2

2

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叫离实数 x 最近的整数,记作?x? ? m,已知 f (x) ? ?x? ? x ,下列四个命题:

①函数

f

(x)

的定义域为

R

,值域为

???0,

1? 2 ??



③函数 f (x) 是周期函数,最小正周期为 1;

②函数 f (x) 是 R 上的增函数; ④函数 f (x) 是偶函数,

其中正确的命题是



【答案】①③④

【2012 北京市朝阳区一模理】6.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ? R ,

都有 f (x ? 2) ? f (x) .当 0 ? x ?1时, f (x) ? x2 .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f (x) 的图

象在[0, 2] 内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是

A. 0
【答案】D

B. 0 或 ? 1 2

C. ? 1 或 ? 1 42

D. 0 或 ? 1 4

【2012 北京市朝阳区一模理】7. 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第

一年免收管理费,因此第一

年 A 种产品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始,商场对 A 种产品

征收销售额的 x% 的管理费(即销售 100 元要征收 x 元),于是该产品定价每件比第一年

增加了 70 ? x% 元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的 1? x%
管理费不少于 14 万元,则 x 的取值范围是

A. 2

B. 6.5

C. 8.8

D. 10

【答案】D

【 2012

北 京 市 朝 阳 区 一 模 理 】 13. 已 知 函 数

f

(x)

?

??( 1 ) x ?2

?

3 4

,

?? log2 x,

x ? 2, 若 函 数 0 ? x ? 2.

g(x) ? f (x) ? k 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是

.

【答案】 ( 3 ,1) 4

【2012

北京市东城区一模理】(8)已知函数

f

(x)

?

? ?

2? x

?1,

? f (x ?1),

且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是

x ? 0, 若方程 f (x) ? x ? a 有 x ? 0.

(A) ???,1?

(B) ???,1?

(C) ?0,1?

(D)?0,? ??

【答案】A

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【2012

北京市石景山区一模理】12.设函数

f

(x)

?

????x ? a, x ? ?

? ??

log2

x,

x

?

1, 2 1 2

的最小值为 ?1,则实数 a

的取值范围是



【答案】 a ? ? 1 2

【解析】因为当

x

?

1 2

时, log 2

x

?

?1 ,所以要使函数的最小值

?1,则必须有当

x

?

1 2

时,

f (x) ? ?x ? a ? ?1 , 又 函 数 f (x) ? ?x ? a 单 调 递 减 , 所 以 f (x) ? ? 1 ? a 所 以 由 2

? 1 ? a ? ?1得 a ? ? 1 。

2

2

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