2014-2015学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期第二次阶段考试数学试题

2014-2015 学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期第二 次阶段考试数学试题
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 设 P ? {x | x ? 4}, Q ? {x | x 2 ? 4}, 则 ( A. P ? Q B. Q ? P C. P ? C R Q ) D. Q ? C R P )

2. 过两点 (?11) , 和 (0,3) 的直线在 x 轴上的截距为 ( A. ?

3 2

B.

3 2

C.3

D. ?3 )

3. 若 f ( x) ?

1 log 0.5 (2 x ? 1)
B. (0,??)

,则函数 f ( x) 的定义域为 (

A. (?

1 ,??) 2

C. ( ?

1 ,0) 2

D. ( ?

1 ,0] 2

4. 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用右 图所示的茎叶图表示,若甲运动员的中位数为 a ,乙运动员的众数为 b ,则 a ? b ? ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 )

5. 设 m、n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ? 6. 如果实数 x、y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3 ,那么
2 2

y 的最大值是( x
D. 3



A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

x 7. 若函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 为增函数,那么 g ( x) ? log 1

a

1 的图象是( x ?1



8. 如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 图 (左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( A. 18 3 B. 12 3 C. 9 3 D. 6 3 ).

侧视

9. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 6, 则判断框内 m 的取值范围是( A. (12,20] B. (20,30] ). C. (30,42] D. (12,42)

10. 已知直线 l1 与直线 l2 : 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 平行 且与圆: x ? y ? 2 y ? 0 相切,则直线 l1 的方程是(
2 2



A. 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 C. 3 x ? 4 y ? 9 ? 0

B. 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 D. 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3 x ? 4 y ? 9 ? 0

11. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为 2 、 3 、 6 ,这个长方 体对角线的长是( D. 6
x ?1 ? ? 1, x ? 0 ?5 12. 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) ? ? , 若 关 于 x 的 方 程 2 ? x ? 4 x ? 4 , x ? 0 , ?

) A. 2 3

B. 3

2

C.6

f 2 ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m 2 ? 0 有 7 个不同的实数解,则 m ? (
A. m ? 6 B. m ? 2 C. m ? 6或2



D. m ? ?6

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 直线 y ? mx ? (2m ? 1) ( m ? R )恒过一定点,则此点是 .

14. 如果不等式 4 x ? x 2 ? (a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么实数 a 的取 值范围是 . ?? x 2 ? ax ? 5, ( x ? 1) ? 15. 已知函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数, D ? ( x>1) ?x 则 a 的取值范围是 .
P4

16. 如图,四面体 ABCD 中, DA ? DB ? DC ? 1 ,且 DA、DB、DC 两两互相垂直,在该四面体表面上与点 A 距离是 线,这条曲线的长度是 .

A
P2

P1

P3

C

2 3 的点形成一条曲 3

B

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)设关于 x 的不等式 x( x ? a ? 1) ? 0(a ? R ) 的解集为 M ,不等式

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 N .(Ⅰ)当 a ? 1 时,求集合 M ;
(Ⅱ)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围. 18.(本题满分 12 分) 某班 n 位学生一次考试数 学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区 间 是 [40,50) ,

[50,60) ,

[60,70)

,

[70,80) , [80,90) , [90,100) . 若成绩在区间

[70,90) 的人数为 34 人.
(1) 求图中 x 的值及 n ; (2) 由频率分布直方图,求此次考试成绩平均数 的估计值.

19.(本题满分 12 分)如图,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD // AB , AB ? 4 ,

AD ? CD ? 2 , 将 ?ADC 沿 AC 折起, 使平面 ADC ? 平面ABC , 得到 三棱锥D - ABC ,
如图 2 所示.(1)求证: BC ? 平ACD ; (2)求 三棱锥D - ABC 的体积.

20. (本题满分 12 分)关于 x, y 的方程 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 (1)若方程 C 表示
2 2

圆,求实数 m 的取值范围; (2)在方程 C 表示圆时,若该圆与直线

l : x ? 2 y ? 4 ? 0相交于M,N两点, 且 MN ?

4 5 ,求实数 m 的值. 5

21.(本题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
AA1 ? 平面 ABC , D 、 E 分别为 A1 B1 、 AA1 的中点,

点 F 在棱 AB 上,且 AF ?

1 AB . 4

(Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将

15 ,若存在, 三棱柱分割成的两部分体积之比为 1:
指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.

22.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x x ? a (1)讨论 f ( x) 的奇偶性,并说明理由;

(a ? R )

a2 (2)当 x ? [0,1] 时, f ( x) 的最大值为 ,求实数 a 的取值范围. 4

2014-2015 学年度上学期高一年级第一次阶段性考试 数学科 试卷
一、选择题 BACCD DCCBD DB

二、填空题 13. (?2, 1) 14. a ? ?2,?? ? 15. ?3 ≤ a ≤ ?2 16.

3? . 2
三、解答题 17.

19. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2, 从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC,----------(2 分) 取 AC 的中点 O,连接 DO, 则 DO⊥AC,又平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,DO?平面 ADC, 从而 DO⊥平面 ABC, ∴DO⊥BC,---------(6 分) 又 AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面 ACD.---------(8 分)

(2)解

1 由(1)可知, BC 为三棱锥 BACD 的高, BC=2 2, S△ ACD=2, ∴VBACD= S△ ACD· BC 3

1 4 2 = × 2× 2 2= , 3 3 4 2 由等体积性可知,几何体 DABC 的体积为 . 3 20. 解: (1)方程 C 可化为: ? x ? 1? ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m
2

----------

(12 分)

要使该方程表示圆,只需 5-m>0.即 m<5. 所以方程 C 表示圆时,实数 m 的取值范围是 ?? ?,5? 。 (2)由(1)知,当方程 C 表示圆时,圆心为 C(1,2) , 半径为 5 ? m 。过圆心 C 作直线 L 的垂线 CD,D 为垂足。 则 CD ? …… 4 分

1? 2? 2 ? 4 12 ? 2 2

?

5 5
…… 8 分

y

又由 MN ? 因为 CM
2

4 5 2 5 知 MD ? 5 5
2 2

M
2

C N x A

? CD ? MD 。

所以

?

5?m

?

2

? 5? ?2 5? ? ? ? ?? ? 5 ? ?? 5 ? , ? ? ? ?
…… 12 分

2

O

解得 m=4.

21.

所以符合要求的点 G 不存在. 22.

……12 分

解: (1) a ? 0, f ( x) ? x | x |, ?x ? R, f (? x) ? ? f ( x) , f ( x) 为奇函数;

a ? 0, f ( x) ? x | x ? a |, f (1) ?| a ? 1 |, f (?1) ? ? | a ? 1 |, f (1) ? f (?1) ? 0
f ( x) 为非奇非偶函数
……4 分

? x 2 ? ax x ? a ? (2) f ( x) ? x x ? a ? ? 2 ? ?ax ? x x ? a
① a ? 0 f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a ? ② a ? 0 [:] (i)

a2 ? a ? ?2 ? 2 2 4

a a2 ? 1 ? f ( x) max ? f (1) ? ? a ?? 2 4

a 1? 2 a a2 a ? f ( x) max ? f ( ) ? ? a ? [2 2 ? 2, 2] (ii) ? 1 ? 2 2 2 4

1? 2 a2 a ? f ( x) max ? f (1) ? ? a ?? (iii) 1 ? 2 4
综上: a ? [2

2 ? 2, 2] ? {?2 2 ? 2}

……12 分


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