考点5 圆锥曲线的综合问题


2010-2015 年高考真题汇编 专题 10 圆锥曲线 考点 5 圆锥曲线的综合问题
1.(2015 年北京 19,12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 1? ,点 P ? 0 , 2 a b 2

n ? ? m ≠ 0 ? 都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M . 和点 A ? m ,
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否存 在点 Q ,使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

2. (2015 年福建 18, 12 分) 已知椭圆 E: (1)求椭圆 E 的方程;

2 x2 y 2 , 且离心率 e = . + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) 2 a b 2

,(m ? R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为 (2)设直线 l : x = my - 1
直径的圆的位置关系,并说明理由.

9 4

3. ( 2015 年 全 国 卷 一 20 , 12 分 ) 在 直 线 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C : y ?

x2 与直线 4

l : y ? kx ? a ? a ? 0? 交于 M , N 两点。
(Ⅰ)当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN ?说明理由。

4.(2015 年天津 19,14 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? 的左焦点为 F ? ?c,0? ,离心率 a 2 b2



b2 3 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x 2 ? y 2 ? 截得的线段的长为 c , 4 3

FM ?

4 3 。 3

(Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP ( O 为原点)的斜 率的取值范围。 5.(2015 年全国卷二 20,12 分)已知椭圆 C: 不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点( ,直线 l 不过原点 O 且

m , m ),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否平行四边行?若能, 3

求此时 l 的斜率,若不能,说明理由. 6.(2015 年陕西 20,12 分)已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? a 2 b2

到经过两点 ? c,0 ? , ? 0, b ? 的直线的距离为 c .

1 2

? ? ? 求椭圆 ? 的离心率; ? ?? ? 如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1?
2 2

?

5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点,求 2

椭圆 ? 的方程. 7.(2015 年浙江 19,15 分) 已知椭圆

1 x2 ? y 2 ? 1上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求 AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

8.(2015 年湖北 21,14 分)一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕

O 转动, 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动, 且 DN ? ON ? 1 ,
MN ? 3 . 当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时, 带动 (D 不动时, N 也不动) , ..N 绕 O 转动一周

M 处的笔尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直
角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

9. (2015 年江苏 18, 16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

的离心率为

2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点, 线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C, 若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

10.(2015 年湖南 20,12 分)已知抛物线 C1 : x ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆
2

C2 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . a 2 b2

(1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A、B 两点,与 C2 相交于 C、D 两点,且 AC 与 BD 同向 (ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率 (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝 角三角形 11.(2015 年全国卷一 5,5 分)已知 M ? x0 , y0 ? 是双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是 2

C 的两焦点,若 MF1 ? MF2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是
A. ? ?

? ? ?

3 3? , ? 3 3 ? ?

B. ? ?

? ? ?

3 3? , ? 6 6 ? ?

C. ? ?

? 2 2 2 2? , ? ? 3 3 ? ? ?

D. ? ?

? 2 3 2 3? , ? ? 3 3 ? ? ?
中, 已知椭圆 :

12. (2015 年山东 20, 13 分) 平面直角坐标系

的离心率为

,左、右焦点分别是

.以

为圆心以 3 为半径的圆与以

为圆心 1 为半

径的圆相交,且交点在椭圆 上. (Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)设椭圆

为椭圆 上任意一点,过点 的直线

交椭圆



两点,射线

交椭圆

于点

.

(i)求

的值;

(ii)求△

面积的最大值.

13.(2015 年四川 20,13 分)如图,椭圆 E :

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 的离心率是

2 ,过点 P(0,1) 的动 2

直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点。 当直线 l 平行于 x 轴时, 直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 。 球 椭 圆 E 的 方 程 ; 在 平 面直 角 坐 标 系 xoy 中 , 是 否 存在 与 点 P 不 同 的 定 点 Q , 使得

QA QB

?

PA PB

恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。

14. (2014 浙江,15 分)如图,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),动直线 l 与椭圆 C 只有一个公 共点 P,且点 P 在第一象限.

x2 y2 a b

(1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b. 15. (2014 北京,14 分)已知椭圆 C:x +2y =4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x +y =2 的位置关系,并证明你的结论.
2 2 2 2

x2 y2 16. (2014 湖南,13 分)如图,O 为坐标原点,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 a b
为 F1,F2,离心率为 e1;双曲线 C2: 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F3,F4,离心率为 e2.已知

x2 y2 a b

e1e2=

3 ,且|F2F4|= 3-1. 2

(1)求 C1,C2 的的方程; (2)过 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB, M 为 AB 的中点, 当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时, 求四边形 APBQ 面积的最小值.

x2 y2 17. (2014 四川,13 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长 a b

轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于 点 P,Q. ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标. |PQ| 18. (2014 福建, 13 分) 已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线分别为 l1: y=2x,

x2 y2 a b

l2:y=-2x.
(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点 (A , 总 方

B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在
与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的 程;若不存在,说明理由.

x2 2 19. (2014 江西,13 分)如图,已知双曲线 C: 2-y =1(a>0)的右焦 a F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).



(1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l:

x0x -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x a2

3 |MF| = 相交于点 N,证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. 2 |NF| 20. (2013 安徽,5 分)已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C, 使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 21. (2013 浙江,4 分)设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物 线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点.若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于________. 22. (2013 新课标全国Ⅱ,12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1 (a>b>0) 1 右焦点的直线 x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C, D 为 M 上的两点, 若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB, 求四边形 ACBD 面积的最大值.
2 2

x2 y2 a b

22. (2013 浙江,15 分)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点,C1 的 长轴是圆 C2: x +y =4 的直径. l1, l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线, 其中 l1 交圆 C2 于 A,
2 2

x2 y2 a b

B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.

x y 3 1 23. (2013 江西,13 分)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P(1, ),离心率 e= ,直 a b 2 2
线 l 的方程为 x=4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P), 设直 线

2

2

AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分别为 k2,k3.

k1 ,

问:是否存在常数 λ ,使得 k1+k2=λ k3?若存在,求 λ 的值;若不存在,说明理由.

24. (2013 福建,13 分)如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为(10,0),点

C 的坐标为(0,10).分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1,A2,…,A9 和 B1,B2,…, B9 连接 OBi,过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi(i∈N*,1≤i≤9).
(1)求证:点 Pi(i∈N 1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M, N, 若△OCM 与△OCN 的面积比为 4∶1, 求直线 l 的方程.
*,

25. (2012 辽宁,5 分)已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2, 过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( A.1 C.-4 B.3 D.-8
2

2

)

26. (2012 北京,5 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与该抛 物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为 ________. 27. (2012 新课标全国,12 分)设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上 一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点.
2

(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐 标原点到 m,n 距离的比值. 28. (2012 广东,14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率

x2 y2 a b

e=

2 ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交
2 2

于不同的两点 A、 B, 且△OAB 的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积; 若不存在,请说明理由. 29. (2012 安徽, 13 分)如图, 点 F1(-c,0), F2(c,0)分别是椭圆 C:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C a2 b2
的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 30. (2012 福建,13 分)如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 1 为 F1,右焦点为 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且 2 △ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q. 试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 31. (2011 江苏,16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 的顶 4 2 点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第一象限,过

a2 c

x2 y2 a b

x2 y2

P 作 x 轴的垂线,垂足为 C.连接 AC,并延长交椭圆于点 B.设直线 PA
的斜率为 k. (1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB.


相关文档

考点25 圆锥曲线的综合问题
考点28 圆锥曲线的综合问题
高考数学考点5圆锥曲线的综合问题
2019高考数学考点突破——圆锥曲线:圆锥曲线的综合问题学案
考点42 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
考点46 圆锥曲线的综合问题
考点5圆锥曲线中的探索性问题
电脑版