【浙江专用】2018年高考数学总复习学案:第4章 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2.能利用两角差的余 弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的 正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在 联系;4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半 角公式,但对这三组公式不要求记忆). 知识梳理 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=sin__α cos__β ±cos__α sin__β . cos(α?β )=cos__α cos__β ±sin__α sin__β . tan(α±β)=t1a?ntaαn ±tan α tan β β . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α =2sin__α cos__α . cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α . tan 2α =12-tatnanα2α . 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α ±tan β =tan(α±β)(1?tan__α tan__β ). (2)cos2α =1+co2s 2α ,sin2α =1-co2s 2α . (3)1+sin 2α =(sin α +cos α )2,1-sin 2α =(sin α -cos α )2, sin α ±cos α = 2sin???α ±π4 ???. 4.函数 f(α)=asin α +bcos α (a,b 为常数),可以化为 f(α)= a2+b2sin(α+ φ)???其中tan φ =ba???或 f(α)= a2+b2·cos(α-φ)???其中tan φ =ab???. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.( ) (2)存在实数 α,β ,使等式 sin(α+β)=sin α +sin β 成立.( ) (3)公式 tan(α+β)= tan α +tan β 1-tan α tan β 可以变形为 tan α +tan β =tan(α+β)(1-tan α tan β ),且对任意角 α,β 都成立.( ) (4)存在实数 α,使 tan 2α =2tan α .( ) 解析 (3)变形可以,但不是对任意的 α,β都成立,α,β,α+β≠π2 +kπ, k∈Z. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(2016·全国Ⅲ卷)若 tan θ =-13,则 cos 2θ =( ) A.-45 B.-15 1 C.5 4 D.5 解析 cos 2θ=cos2θ-sin2θ=ccooss22θθ-+ssiinn22θθ=11-+ttaann22θθ=45. 答案 D 3.(2015·重庆卷)若 tan α =13,tan(α+β)=12,则 tan β 等于( ) 1 1 5 5 A.7 B.6 C.7 D.6 解析 tan β=tan[(α+β)-α]=1t+ant(anα(+αβ+)β-)t·atannαα=1+12-12×13 13=17,故选 A. 答案 A 4.(2017·广州调研)已知 sin α +cos α =13,则 sin2???π4 -α???=( ) 1 17 8 2 A.18 B.18 C.9 D. 9 解析 由 sin α+cos α=13两边平方得 1+sin 2α=19,解得 sin 2α=-89,所以 sin2???π4 -α???=1-cos???2π2 -2α???=1-si2n 2α=1+2 89=1178,故选 B. 答案 B 5.(必修 4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°+sin 77°·cos 58°=________. 解析 sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58° =sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58° =(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58° =sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77° =sin(58°+77°)=sin 135°= 2 2. 答案 2 2 6.(2017·宁波调研)已知 cos???θ +π4 ???=-13,θ 为锐角,则 sin 2θ =________, sin???2θ +π3 ???=________. 解析 由题意得,cos???θ+π4 ???=-13? 2 2 (cos θ-sin θ)=-13?12(1-2sin θcos θ)=19?sin 2θ=79,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=196?sin θ+cos θ=43 ?cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)·(cos θ-sin θ)=- 32·43=- 4 9 2,∴sin???2θ+π3 ???=sin 2θcosπ3 +cos 2θsinπ3 =79×12+???-4 9 2???× 3 2 = 7-4 6 18 . 答案 7 9 7-4 6 18 考点一 三角函数式的化简 【例 1】 (1)(2017·杭州模拟)cos(α+β)cos β +sin(α+β)sin β =( ) A.sin(α+2β) B.sin α C.cos(α+2β) D.cos α (1+sin (2)化简: α +cos α )·???cosα2 2+2cos α -sinα2 ???(0<α<π )=________. 解析 (1)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=c

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