2015-2016学年浙江省余姚中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2015-2016 学年浙江省余姚中学高一上学期期中考试 数学试题及解析

一、选择题 1.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是( A. y ?

) . D. y ? loga a x

x2

B. y ?

x2 x

C. y ? a

loga x

(a ? 0且a ? 1)

【答案】D 【解析】试题分析:因为 y ?

x2 ? x , 所 以 解 析 式 不 同 , 故 不 选 A ; 因 为

y?

x2 ? x ( x ? 0) , 所 以 解 析 式 相 同 , 定 义 域 不 同 , 故 不 选 B ; 因 为 x

y ? a l o agx ? x (a ? 0且a ? 1) , ( x ? 0) ,所以解析式相同,定义域不同,故不选 C;
而 y ? loga a x ? x, x ? R 的定义域与解析式均相同,故选 D. 【考点】函数的三要素:解析式、定义域、值域. 2.下列表示图形中的阴影部分的是( ) . A B

C A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) C. ( A ? B) ? ( B ? C ) B. ( A ? B) ? ( A ? C ) D. ( A ? B) ? C

【答案】A 【解析】试题分析:验证法,显然答案 A 正确. 【考点】韦恩图表示集合. 3.函数 f ? x ? ? ln 2 x ? 4 x 2 ?1 的奇偶性是( A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 【答案】A 【 解 析 】 试 题 分

?

?



















R





f ? - x ? ? ln -2 x ? 4 x 2 ? 1 =ln

?

?

(-2 x ? 4 x 2 ? 1)(2 x ? 4 x 2 ? 1) 2x ? 4x ? 1
2

? ln

1 2x ? 4x ? 1
2

? ? ln(2 x ? 4 x 2 ? 1) ? ? f ( x)

,所以函数为奇函数,故选 A.
试卷第 1 页,总 14 页

【考点】判断函数的奇偶性. 4.三个数 0.76, 60.7, log0.7 6 的大小关系为( A. 0.76 ? log0.7 6 ? 60.7 C. log0.7 6 ? 60.7 ? 0.76 【答案】D 【解析】 试题分析: 由指数函数、 对数函数的性质可知,0 ? 0.76 <1, 60.7 >1, log0.7 6 ? 0 , 所以 log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7 .故选 D. 【考点】搭桥法比大小(即引入 0,1 做中间量) . ) .

B. 0.76 ? 60.7 ? log0.7 6 D. log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7

1 ? x 1 ? x2 5.已知 f ( ,则 f ( x) 的解析式为( )? 1 ? x 1 ? x2
A.

) .

x 1? x2

B. ?

2x 1? x2

C.

2x 1? x2

D. ?

x 1? x2

【答案】C 【解析】 试题分析: 设t ? 则 f ( x) ?

2x . 1? x2

2t 1? x 1? t 1 ? x 1 ? x2 , 则x ? . 因为 f ( , 所以 f (t ) ? , )? 2 1 ? t2 1? x 1? t 1? x 1? x

故选 C. 【考点】求解析式. 【方法点睛】求解析式的常用方法: (1)待定系数法,即先设出函数的解析式,然后运 用条件列出关于参数的方程组,求解即可; (2)换元法,即将已知条件中的某部分看作 一个 t,然后将条件中的变量 x 用 t 表示,注意新元 t 的范围,即求出了函数 f(t)的 解析式及定义域,最后用变量 x 替换 t 即可(本题即使用了该法) ; (3)凑配法,实质 是换元法, 只是没有设新元 t 而已; (4) 解方程组法, 例如: 已知 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 2 x ? 5 , 求函数 f ( x ) 的解析式.由已知得, f ( ) ? 2 f ( x ) ? 2 ? 6.已知函数 f ( x) ? ?

1 x

1 x

1 ? 5 ,两式联立求解即可. x

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 满足:对任意实数 x1 , x 2 ,当 x1 ? x2 时,总有 ?log a x, x ? 1
) .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,那么实数 a 的取值范围是(
A. (0, ) 【答案】B

1 3

B. [ , )

1 1 7 3

C. ( , )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

【解析】试题分析:当 x1 ? x2 时,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 R 上单调

3a ? 1 ? 0 ? 1 1 ? 0? a ?1 递减,所以 ? ,解得 ? a ? ,故选 B. 7 3 ?(3a ? 1) ? 1 ? 4a ? log 1 a ?
【考点】分段函数的单调性.

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7 .定义在 ?? 1,1? 上的函数 f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? ;当 x ? ? ?1, 0?时f ? x? ? 0. 若 ? ?

? x? y ?

?1? P ? f ? ?? ?5?
A.R ? Q ? P 【答案】B

?1? ?1? f ? ? , Q ? f ? ? , R ? f ? 0 ? ;则 P, Q, R 的大小关系为( ? 11 ? ?2?
B.R ? P ? Q C.P ? R ? Q

) .

D.Q ? P ? R

【解析】试题分析:令 x ? y ? 0 ,则可得 f (0) ? 0 ,令 x ? 0 ,则 ? f ( y) ? f (? y) ,



f ( x) 为 奇 函 数 , 令 1 ? x ? y ? 0 , 则

x? y ?0 , 所 以 1 ? xy

? x? y ? f ? x? ? f ? y? ? f ? ? ? 0 ,即 x ? ? 0,1?时f ? x ? 递减, ? 1 ? xy ?

? 1 1 ? ? 5 ? 11 ? 2 2 1 ?1? ?1? ?1? ? 1? 又 P ? f ? ?? f ? ? ? f ? ?? f ?? ? ? f ? ? f ( ) ,因 ? ,所以 ? 7 2 7 ?5? ? 11 ? ?5? ? 11 ? ? 1? 1 ? 1 ? ? 5 11 ? 2 1 f ( ) ? f ( ) ,即 0 ? P ? Q ,故选 B. 7 2
【考点】抽象函数比大小. 【方法点睛】抽象函数问题的解法突破: (1)赋值法,利用题目中的等量关系得到特殊 变量对应的函数值,从而得到函数的奇偶性; (2)利用题目中的不等关系,判断出函数 的单调性; (3)利用奇偶性及单调性比大小,同时也可以解不等式.如本题:①通过等 量关系

? x? y ? f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? 赋 值 得 到 f (0) ? 0 , 同 时 令 x ? 0 , 则 ? ?

,即 ? f ( y ) ? f (? y ) f ( x) 为奇函数;②通过不等关系 x ? ? ?1,0?时f ? x ? ? 0. 得到函 数 x ? ? 0,1?时f ? x ? 递减,从而利用单调性比大小.
2 8 .已知 f ( x) 是定义在 [?4, 4] 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 4 x ,则不等式

f [ f ( x)] ? f ( x ) 的解集为(
A. (?3, 0) U ?3, 4? B. (?4, ? 3) U (1, 2) U (2,3)

) .

(2,3) C. (?1, 0) U (1, 2) U
D. (?4, ? 3) U (?1, 0) U (1, 3) 【答案】D

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【解析】试题分析:当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,所以 f ( f ( x)) ? ? f 2 ( x) ? 4 f ( x) ? f ( x) , 解得 f ( x ) ? 3 ,所以 x ? (1,3) ; 当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,所以 f ( f ( x)) ? f 2 ( x) ? 4 f ( x) ? f ( x) ,解得 f ( x ) ? ?3 ,所 以 x ? ( ?4,?3) ? ( ?1,0) 综上,不等式的解集为 x ? (?4, ? 3) U (?1, 0) U (1, 3) .故选 D. 【考点】解分段函数不等式. 【思路点睛】 本题应先通过函数的奇偶性求出 x ? 0 时的解析式, 然后判断各段的值域, 以确定将 f ( x ) 代入哪一段的解析式中, 从而确定不等式 f [ f ( x)] ? f ( x) , 然后求解. 本 题 的 一 个 难 点 是 , 将 f ( x) 代 入 时 , 要 先 将 f ( x) 看 作 一 个 整 体 即 得 到

f ( f ( x) ? ) ? 2f ( x ? )

,不要急 4f (x? ) f(或 (x )f ( f ( x)) ? f 2 ( x ) ? 4 f ( x )? f ( x ))

于用其表达式代换,这样先解关于 f ( x ) 的不等式,然后再去求关于 x 的不等式,求解 过程比较简单快捷. 二、填空题 9 .已知集合 M ? {x | x2 ? 4x ? 3 ? 0}, N ? {x | log2 x ? 1} ,则 M ? N ? ,

M ?N ?

, CR M ?



【答案】 (0,3) , (1, 2) , ( ??,1] ? [3, ??) .

M? ( 1, 3) N? (0, 2) M ? N ? (1, 2) , 【解析】 试题分析: 解得, , , 所以 M ? N ? (0,3) ,

CR M ? ( ??,1] ? [3, ??) .
【考点】集合的交集、并集、补集运算. 10.函数 y ? log 1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的单调增区间为
2

,值域为



【答案】 (?1,1),[?2, ??) .

(- 3, 1) 【解析】试题分析:可得函数的定义域为 ,易知二次函数 y ? 3 ? 2 x ? x 在区间

2

(- 1, 1) ( - 3, - 1) 上单调递减,在区间 上单调递增,而函数 y ? log1 x 在 (0,??) 上单调递
2

(- 1, 1). 可 知 , 减,所以依据复合函数的单调性知,函数的单调递增区间为

3 ? 2 x ? x2 ? (0, 4],所以函数 y ? log 1 (3 ? 2 x ? x2 ) 的值域为 [?2, ??) .
2

【考点】求复合函数的单调性和值域. 11 .已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,3) ,值域是 [?1, 2) ,则 f ( x ? 2) 的值域 是 , f (log2 x) 的定义域是 .

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【答案】 [ ?1, 2),[ , 4) 【解析】试题分析:函数 f ( x ? 2) 的图像可看作是函数 y ? f ( x ? 1) 的图像向左平移 3 个单位而得到,所以值域没有改变,故 f ( x ? 2) 的值域是 [?1, 2) .因为 x ? [?2,3) ,所 以 x ? 1?[?3,2) , 即 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 x ? [?3,2) . 由 ? 3 ? l o g 2 x ? 2 得,

1 8

【考点】复合函数的定义域与值域问题.

1 1 4) ? x ? 4 所以函数 f (log2 x) 的定义域是 [ , . 8 8

?2? x , x ? 0 ? 12 .已知 f ( x) ? ?| log x |, x ? 0 ,则 f ( f (? 1)) ? 1 ? ? 2
是 .

,方程 f ( x ) ? 4 的解

【答案】 1, ?2,16,

1 . 16

【解析】试题分析:可得 f ( ?1) ? 2 , f (2) ? 1 ,所以 f ( f (?1)) ? 1 .当 x ? 0 时,方 程为 2
?x

? 4, 解得 x ? ?2 ; 当 x ? 0 时, 方程为 log1 x ? 4 , 解得 x ? 16 或 x ?
2

1 . 综 16

上,方程的解为 x ? ?2 或 x ? 16 或 x ? 【考点】①分段函数求值;②解方程.

1 . 16

13 .已知幂函数 f ( x) 过点 (2, 2),则满足 f (2 ? a) ? f (a ? 1) 的实数 a 的取值范围 是 .

【答案】 [1, ) 【解析】 试题分析: 可得幂函数 f ( x) ? x 2 , 且函数在其定义域 [0, 上单调递增. 因 ? ?)
1

3 2

? 2-a ? 0 3 ? 为 f (2 ? a) ? f (a ? 1) ,所以 ? a ? 1 ? 0 ,解得 1 ? a ? ,所以实数 a 的取值范围 2 ?2 ? a ? a ? 1 ?
是 [1, ) . 【考点】解幂函数不等式.

3 2

1 ? ?x ? , x ? 0 14. 已知函数 f ( x) ? ? , 若关于 x 的方程 f ( x2 ? 2 x) ? a 有 6 个不同的实根, x 3 ? ? x ? 9, x ? 0
则实数 a 的取值范围是 【答案】 (8,9] .

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【解析】试题分析:函数 f ( x ) 的图像如下图(1) ,函数 y ? x 2 ? 2 x 的图像如下图(2) , 且其值域为 [-1 . , ? ?) 设 t ? x 2 ? 2 x ,则 f (t ) ? a . 当 a ? 9 时, 由图 (1) 知,f (t ) ? a 有两解 t1 , t2 , 且 0 ? t1 ? 1 ? t2 . 由图 (2) 知, 当 0 ? t1 ? 1 时, x2 ? 2 x ? t1 有两解;当 1 ? t2 时, x 2 ? 2 x ? t2 有两解,所以当 a ? 9 时,方程 不符合题意, 舍去. 同理, 当 8 ? a ? 9 时, f (t ) ? a f ( x2 ? 2 x) ? a 有 4 个不同的实根, 有三解 t1, t2 , t3 ,且 ? 1 ? t1 ? 0 ? t2 ? 1 ? t3 .由图(2)知,当 ? 1 ? t1 ? 0 、 0 ? t2 ? 1 、

1 ? t3 时,方程 ti ? x2 ? 2 x(i ? 1,2,3) 分别有两解,所以此时方程 f ( x2 ? 2 x) ? a 有 6
个 不 同 的 实 根 . 当 2 ? a ? 8 时 , 由 图 ( 1 ) 知 , f (t ) ? a 有 三 解 t1, t2 , t3 , 且
2 由图 (2) 知, 方程 x ? 2 x ? t1 无解, 方程 ti ? x 2 ? 2 x(i ? 2,3) t1 ? ?1 ? 0 ? t2 ? 1 ? t3 .

各有两解,所以此时,方程 f ( x ? 2 x) ? a 有 4 个不同的实根,不符合题意,舍去.同
2 2 理 , 当 a ? 2 时 , 方 程 f ( x ? 2 x) ? a 有 2 个 实 数 根 , 舍 去 . 当 a ? 2 时 , 方 程

f ( x2 ? 2 x) ? a 无实数根,舍去.综上, 8 ? a ? 9 .

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【考点】由方程的解的个数求参数范围.

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【方法点睛】方程解的个数问题解法:研究程 g ( x ) ? 0 的实根常将参数移到一边转化 为值域问题. (1)已知含参数方程 g ( x ) ? 0 有解,求参数范围问题.一般可作为代数 问题求解,即对 g ( x ) ? 0 进行参变分离,得到 a ? f ( x ) 的形式,则所求 a 的范围就是 (2)当研究程 g ( x ) ? 0 的实根个数问题,即方程 g ( x ) ? 0 的实数根个数 f ( x ) 的值域. 问题时,也常要进行参变分离,得到 a ? f ( x ) 的形式,然后借助数形结合(几何法) 思想求解.本题就是使用该法,但因本题是复合函数,所以难度更大,不过道理一样.

? 1 1 3 ( x ? 1), (x ? a ) f (t1 ) ? , f (t 2 ) ? ? ?a ?1 t ,t 2 2 ,则 15 .设函数 f ( x) ? ? 若存在 1 2 使得 1 ? ( x ? 2),( x ? a) ? ?a ? 2

t1 ? t2 的取值范围是
【答案】 ( ??, ? ) ? ( , ??)



1 2

1 2

【解析】试题分析:易知 a ? 1 且 a ? 2 .结合分段函数的单调性知,当 a ? 1 时,

3 1 ? 1 ? ? a ? 2 ( t2 ? 2 ) ? 2 ? t1 ? 2 (a ? 1) ? 1 3 1 ,解得 ? ,则 t1 ? t2 ? ? a ? ? ;当 1 ? a ? 2 时, ? 1 3 1 2 2 ?t2 ? (a ? 2) ? 1 ? (t1 ? 1) ? ? 2 2 ? a ?1 3 ? 1 ? a ? 1 (t2 ? 1) ? 2 1 ,解 f ( x ) ? 1 ,所以不存在 t1 使 f (t1 ) ? ,故舍去;当 a ? 2 时, ? 1 1 2 ? (t1 ? 2) ? 2 ?a ? 2 1 ? ?t1 ? 2 (a ? 2) ? 2 3 1 得? ,则 t1 ? t2 ? ? a ? ? ? . 3 2 2 ? t2 ? ( a ? 1) ? 1 ? 2 1 1 综上, t1 ? t2 的取值范围是 ( ??, ? ) ? ( , ??) . 2 2
【考点】含参数的分段函数的综合问题. 【思路点睛】本题主要考查分段函数的单调性及函数求值问题,但因含有参数,所以需 对参数讨论方可列出关于 t1 , t2 的方程进而解出 t1 , t2 ,从而求出 t1 ? t2 关于参数 a 的函数 并求值域即可.在求解 t1 , t2 的过程中,一定要作出函数的草图结合单调性求解,以免出 错.应在解题过程中锻炼严谨的数学思维能力. 三、解答题 16.计算: (1) ( 2 ? 1) ? (
0 4 ? 16 ? 1 ) 2 ? ( 8) 3 ; 9

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(2) 2

1 log2 4

? 8 ? ?? ? ? 27 ?

?

2 3

? lg

1 ? ( 2 ? 1)lg1 ? 2 lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 100

【答案】 (1)原式=2; (2)原式=-2 【解析】试题分析: (1)根据指数运算律即可求解; (2)根据指数运算律、对数运算律 及换底公式易求解. 试题解析: (1) ( 2 ? 1) ? (
0 4 ? 16 ? 1 ) 2 ? ( 8) 3 9

3 4 2 -1 2 2 3 ? 1 ?( [ )] ? (2 ) 3 4 -1 -2 ? 1? ( ) ?2 3 3 1 ? 1? ? 4 4 ?2
1 log 2 4

4

2

? 8 ? ?? ? ? 27 ?
?

?

2 3

? lg
2

1 ? ( 2 ? 1)lg1 ? 2 lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 100

1 2 3 -3 -( [ ) ] - 2 ? 1 ? lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 2 4 3 1 9 ? ? ? 2 ? 1 ? lg(6 ? 2 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 4 4 ? ?3 ? lg 10 ? ?3 ? 1 ? ?2
【考点】指数、对数运算律. 17 . 设 全 集

U? ,R

?A {

2

| x ? x ?2 x0?

0

}? B , , x {?

x | ?|

2

C ? {x | x2 ? 3mx ? 2m2 ? 0} .
(1)若 C ? ( A ? B) ,求 m 的取值范围; (2)若 (CU A) ? (CU B) ? C ,求 m 的取值范围. 【答案】 (1) m ? 0或1 ? m ? 2 ; (2) ?5 ? m ? ?3 . 【解析】试题分析:通过解一元二次不等式及绝对值不等式得到集合 A、B. (1)求出 集合 A ? B ,然后由子集关系求参数范围,但注意集合 C 为空集和非空集合两种情况考 虑; (2)先求出 (CU A) ? (CU B) ,然后由子集关系求参数范围即可求解. 试题解析:? A ? {x | ?5 ? x ? 4}, B ? {x | x ? ?6, 或x ? 1}

? x2 ? 3mx ? 2m2 ? ( x ? m)( x ? 2m) ? 0
(1) A ? B ? {x |1 ? x ? 4}
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? C ? ( A ? B)
当 m ? 0时,C=? ,满足题意 当 m ? 0 时,不合题意 当 m ? 0 时, C ? x m ? x ? 2m , 则有 ?

?

?

? m ?1 ,解得 1 ? m ? 2 . ? 2m ? 4

综上, m ? 0或1 ? m ? 2 (2) (CU A) ? (CU B) ? [?6, ?5]

? (CU A) ? (CU B) ? C
当 m ? 0 时,不合题意

?C ? ?

当 m ? 0 时, C ? {x | 2m ? x ? m}

?2m ? ?6 ?? ? m ? ?5
??5 ? m ? ?3
【考点】由子集关系求参数范围. 18.已知函数 f ( x) ?

3x ? 2 ? x . 3x ? 2 ? x

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)判断并证明 f ( x) 的单调性,写出 f ( x) 的值域. 【答案】 (1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 在 R 上是增函数,值域为 (?1,1) . 【解析】试题分析: (1)先求出函数的定义域,看是否关于原点对称,若对称,则判断 (2)按照单 f ( x ) 与 f ( ? x ) 的关系,经推理得 f ( ? x) ? ? f ( x) ,所以函数为奇函数; 调性的定义,设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,然后作差比较得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数为增 函数,然后按照反比例函数的模型求值域即可. 试题解析: (1)易知函数的定义域为 R,因为 f ( x) ?

3x ? 2 ? x 2 x ? 3x ? 1 6 x ? 1 ? ? , 3x ? 2 ? x 2 x ? 3x ? 1 6 x ? 1

6? x ? 1 1 ? 6 x ? ? ? f ( x), x ? R , 所以 f (? x) ? ? x 6 ? 1 1 ? 6x
则 f ( x) 是奇函数.

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6 x ? 1 (6 x ? 1) ? 2 2 (2) f ( x) ? x 在 R 上是增函数, ? ? 1? x x 6 ?1 6 ?1 6 ?1
证明如下:任意取 x1 , x2 ,使得: x1 ? x2 ? 6 x1 ? 6 x2 ? 0 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 2 2(6 x1 ? 6 x2 ) ? ? ?0 6 x2 ? 1 6 x1 ? 1 (6 x1 ? 1)(6 x2 ? 1)

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在 R 上是增函数.

?0 ?

2 2 ? 2 ? f ( x) ? 1 ? x ? (?1,1) ,则 f ( x) 的值域为 (?1,1) 6 ?1 6 ?1
x

【考点】①证明函数的奇偶性;②判断函数的单调性;③求值域. 19.已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ?1 ( a 为实常数) . (1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x) 在区间 [1, 2] 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式;

f ( x) ,若函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x 1 1 1 1 【答案】 (1)单调增区间为 ( ? , 0), ( , ?? ) ,单调减区间为 ( ??, ? ), (0, ) ; 2 2 2 2
(3)设 h( x ) ?

1 ? ? 6a ? 3,0 ? a ? 4 ? 1 1 1 1 ? ? 1, ? a ? ; (2) g ( a ) ? ? 2a ? (3) a ? [ ? ,1] . 4a 4 2 2 ? 1 ? 3a ? 2, a ? ? 2 ?
【解析】试题分析: (1)去绝对值,将函数化为分段函数的形式,然后借助二次函数的 图像易知其单调性; (2)对于含参数的二次函数的最值计算,应对称轴与区间端点的位 置关系进行讨论分别求解,然后总结结论即可; (3)按照单调性的定义,将函数在区间

[1, 2] 上是增函数转化为 ax1x2 ? 2a ? 1 ( x1 ? x2 )恒成立,从而转化为最值问题求解.
2 试题解析: (1) a ? 1 时, f ( x) ? x ? | x | ?1 ? ?

? x 2 ? x ? 1, x ? 0
2 ? x ? x ? 1, x ? 0

1 1 f ( x) 的单调增区间为 ( ? , 0), ( , ??) 2 2 1 1 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ), (0, ) 2 2
(2)当 a ? 0 , x ? [1, 2] 时

f ( x) ? ax 2 ? x ? 2a ? 1 ? a ( x ?
当0 ?

1 2 1 ) ? 2a ? ?1 2a 4a

1 1 ? 1, 即a ? 时, g (a) ? f (1) ? 3a ? 2 2a 2
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1 1 1 1 1 ? 2, 即 ? a ? 时, g (a) ? f ( ) ? 2a ? ?1 2a 4 2 2a 4a 1 1 ? 2, 即0 ? a ? 时, g (a) ? f (2) ? 6a ? 3 当 2a 4
当1 ?

1 ? ? 6a ? 3, 0 ? a ? 4 ? 1 1 1 ? ? g ( a ) ? ? 2a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 ? 3a ? 2, a ? ? 2 ?
(3) h( x) ? ax ?

2a ? 1 ? 1 在区间 [1, 2] 任取 x1 , x2 , x1 ? x2 x

h( x2 ) ? h( x1 ) ? ( x2 ? x1 )(a ?

2a ? 1 ) x1 x2

? 函数 h( x) 在区间 [1, 2] 上是增函数

h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 恒成立

? ax1 x2 ? 2a ? 1 恒成立
当 a ? 0 时.显然成立 当 a ? 0 时, x1 x2 ?

2a ? 1 恒成立 a

?1 ? x1 x2 ? 4

?

2a ? 1 ?1 a

?0 ? a ? 1
2a ? 1 恒成立 a 1 ?? ? a ? 0 2

当 a ? 0 时, x1 x2 ?

?1 ? x1 x2 ? 4

?

2a ? 1 ?4 a

综上所述, a ? [ ?

1 ,1] 2
2

【考点】①求函数的单调区间;②含参数的最值计算;③由单调性求参数范围. 【方法点睛】含参数的一元二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在区间[m,n]上的最值问 题,常分两个题型(1)对称轴确定,区间变; (2)区间确定,对称轴变.解法突破: 不管是哪种题型均按照对称轴与区间端点的位置关系分类讨论求解,即当对称轴 x 0 在 区间端点 m 的左侧( x0 ? m ) ,在区间端点 m 与 n 之间( m ? x0 ? n ) ,在端点 n 的右 侧( x0 ? n ) .同时注意求最值时,可能还要考虑对称轴在区间中点的左则还是右侧. 20.已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ? (2
x 2 ?x

? a)2 , x ?[?1,1] .

(1)求 f ( x ) 的最小值(用 a 表示) ;
2 (2)关于 x 的方程 f ( x ) ? 2a 有解,求实数 a 的取值范围.

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【答案】 ( 1 )当 a ? ?

3 时, f ? x ? min ? y 2

t ??

3 2

? 2a 2 ? 3a ?

3 3 17 ; 当 ? ? a ? 时, 2 2 4

f ? x ?min ? y
当a ?

t ?a

? a2 ? 2 ;
? 2a 2 ? 3a ? 17 ;(2) (??, ?2 2] ? [2 2, ??) . 4

3 时, f ? x ? min ? y 2

3 t? 2

【 解 析 】 试 题 分 析 :( 1 ) 显 然 使 用 换 元 法 , 将 题 目 转 化 为 函 数
2 ? 3 3? y ? t 2 ? 2at ? 2a 2 ? 2 ? ? t ? a ? ? a 2 ? 2 在 t ? ? ? , ? 时的最值问题,然后讨论对称 ? 2 2?

轴与区间端点的位置关系,分别求解即可; (2)有解问题求参数,常将参数移到一边, 然后转化为最值问题求解. 试 题 解 析 : ( 1 )

f ? x ? ? 22 x ? 2?2 x ? 2a ? 2 x ? 2? x ? ? 2a 2 ? ? 2 x ? 2? x ? ? 2a ? 2 x ? 2? x ? ? 2a 2 ? 2
2
x ?x 设t ? 2 ?2 ∴ t ? ??

? 3 3? , ? 2 2? ?
2

2 2 2 此时 y ? t ? 2at ? 2a ? 2 ? ? t ? a ? ? a ? 2

当a ? ? 当?

3 时, f ? x ? min ? y 2

3 t ?? 2

? 2a 2 ? 3a ?

17 4

3 3 ? a ? 时, f ? x ?min ? y 2 2
3 时, f ? x ? min ? y 2
2
3 t? 2

t ?a

? a2 ? 2
17 . 4
? 3 3? , 上有解,而 t ? 0 ? 2 2? ?

当a ?

? 2a 2 ? 3a ?

2 (2)方程 f ? x ? ? 2a 有解,即方程 t ? 2at ? 2 ? 0 在 ? ?

∴ 2a ? t ?

2 2 3 ,可证明 t ? 在 0, 2 上单调递减, ( 2, ) 上单调递增 t t 2 2 2 3 2 t? ?2 2 f ? t ? ? t ? 为奇函数,∴当 t ? ( ? , 0) 时 t ? ? ?2 2 t t 2 t

?

?

∴ a 的取值范围是 (??, ?2 2] ? [2 2, ??) . 【考点】①换元法求最值;②由有解求参数范围. 【方法点睛】 (1)方程有解条件下,求参数范围问题的解法突破:若函数 g ( x ) ? 0 在 区间 D 上有解,常将参数移到一边如 a ? f ( x ) 在区间 D 上有解,则 a 的范围等价于求 函数 f ( x ) 的值域,然后按照求值域的方法求函数值域即可. (2)含参数的一元二次函 数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在区间[m,n]上的最值问题,常按照对称轴与区间端点的位
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置关系分类讨论求解,即当对称轴 x 0 在区间端点 m 的左侧( x0 ? m ) ,在区间端点 m 与 n 之间( m ? x0 ? n ) ,在端点 n 的右侧( x0 ? n ) .同时注意求最值时,可能还要考 虑对称轴在区间中点的左则还是右侧.

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