2017-2018学年天津市静海县第一中学高三上学期12月学生学业能力调研考试数学(理)试题Word版含解析

静海一中 2017-2018 第一学期高三数学(理 12 月)提高卷 1. 已知中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆 过点 , 离心率为 , , 是椭圆 的长最 新试卷十年寒窗苦,踏上高考路,心态放平和,信心要十足,面对考试卷,下笔如有神,短信送祝福,愿你能高中,马到功自成,金榜定题名。 轴的两个端点( 位于 右侧) , 是椭圆在 轴正半轴上的顶点. (1)求椭圆 的标准方程; (2)是否存在经过点 与 且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 和 ,使得向量 共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由. (2)不存在 【答案】 (1) 【解析】试题分析: (1)依题意得 解得 , . 所以椭圆 的方程为 则因为直线的方程为: .(2)假设存在过点 , 于是联立方程, 且斜率为 的直线适合题意, . 由直线与椭圆 交于不同两点 和 知, 试题解析: (1)设椭圆的方程为 , .依题意得 解得 , . 所以椭圆 的方程为 (2)假设存在过点 . 且斜率为 的直线适合题意,则因为直线的方程为: . ,于是联立方程, 由直线与椭圆 交于不同两点 和 知, , 令 , , , . , , , 由题知 , , 与 . 共线,可得 , ,这与 矛盾. 从而,根据向量 故不存在符合题意的直线. 点睛: 首先要熟悉椭圆得定义及其性质,对于直线和椭圆得综合问题要做到求直 线,联立写韦达定理,然后将题意中的等式化为与韦达定理有关得表达式,然后 将其代入化简求解, 在进行运算时要格外小心认真,对于存在性问题则要先假设 结论成立,通过题意找出矛盾即可 2. 已知函数 ⑴若直线与曲线 ⑵若 (3)若当 ,函数 的导函数为 . 恒相切于同一定点,求的方程; 时, 恒成立; ,求证:当 时, 恒成立,求实数的取值范围. ;(2)详见解析;(3) . 【答案】(1) 解析:⑴ 因为直线与曲线 所以曲线 由 故得曲线 因为 故切线的方程为 ⑵因为 所以令 ,即 , 必恒过定点, ,令 恒过的定点为 恒相切于同一定点, ,得 . , ,所以切线的斜率 . , , ,设 , , 在 上单调递增, 当 时, 即 在 在 , 上恒成立, 上单调递增, ,故当 时, 即 恒成立; , . 因为 ⑶令 则 , ①当 所以 因为当 时,因为 在 , , , 上单调递增,故 时, , 所以 在 上单调递增,故 时, 时,由⑵可得 恒成立. , . 从而,当 ②当 所以 在 上单调递增,故 时, 在 在 ,使得在 时, ,使得 恒成立. 上单调递增, . 从而,当 ③当 所以当 时, 时, 内取得最小值 上 ,即 ,所以 在 在 . 上单调递减, 上单调递减, 故必存在实数 所以当 此时存在 ,不符合题设要求. . 综上①②③所述,得 的取值范围是 说明:③也可以按以下方式解答: 当 时, 时, 时, 在 在 上单调递增, 所以当 当 内取得最小值 ,所以 , , 故存在 ,使得 ,且当 时, , 下同前述③的解答. 点睛:本题主要考查了导数的运用:利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数恒成立问 题,转化为求函数的最值问题,注意运用导数求单调区间和最值,同时考查了转化的思想和 计算的能力,属于难题,因此正确的运用导数的性质是解题的关键.

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