2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题一 第4讲 转化与化归思想(共36张PPT)_图文

第四讲

转化与化归思想

1.转化与化归思想的含义 转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时, 采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的 一种数学方法. 一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题, 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题 通过变换转化为已解决的问题.

2.转化与化归的常见方法 (1)直接转化法: 把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或 基本图形问题. (2)换元法: 运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本 问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式 (图形)关系,通过互相变换获得转化途径.

(4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价问题, 以达到化归的目的. (5)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明 特殊化后的问题的结论适合原问题. (6)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于 解决的问题. (7)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转 化方法的一个重要途径. (8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于探求.

(9)参数法:引进参数,使原问题转化为熟悉的问题进行 解决. (10)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题的 结果看作集合 A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全 集 U,通过解决全集 U 及补集?UA 使原问题获得解决,体现了 正难则反的原则.

特殊与一般的转化
[例 1] x2 y2 若椭圆 C 的方程为 5 +m=1,焦点在 x 轴上,与直线

y=kx+1 总有公共点,那么 m 的取值范围为________.

[思维流程]

[解析]

由椭圆 C 的方程及焦点在 x 轴上,知 0<m<5.

又直线与椭圆总有公共点,直线恒过点(0,1), 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上. 02 12 则 5 +m≤1,即 m≥1. 故 m 的取值范围为[1,5).
[答案] [1,5)

总结 ——————————规律· —————————————

特殊与一般的转化步骤 特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进 行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法. 这类转 化法一般的解题步骤是: 第一步:确立需转化的目标问题:一般将要解决的问题作为 转化目标. 第二步:寻找“特殊元素”与“一般元素”:把一般问题转 化为特殊问题时,寻找“特殊元素”;把特殊问题转化为一般问 题时,寻找“一般元素”.

第三步:确立新目标问题:根据新确立的“特殊元素”或者“一般 元素”,明确其与需要解决问题的关系,确立新的需要解决的问题. 第四步:解决新目标问题:在新的板块知识背景下用特定的知识解 决新目标问题. 第五步:回归目标问题. 第六步:回顾反思:常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、 特殊图形、特殊角、特殊位置等.对于选择题,当题设在普通条件下都 成立时,用特殊值进行探求,可快捷地得到答案;对于填空题,当填空 题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题 中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.

x2 y2 1.已知双曲线 C:a2-b2=1 的右支上存在一点 P,使得点 P 到 a2 双曲线右焦点的距离等于它到直线 x=- c (其中 c2=a2+b2) 的距离,则双曲线 C 离心率的取值范围是 A.(1, C.(1, 2 ] 2+1] B.[ 2,+∞) D.[ 2+1,+∞) ( )

y2 解析:若离心率 e=2,设双曲线为 x2- 3 =1,P(x,y),则右
? 1?2 1 焦点为(2,0),直线为 x=-2,依题意有?x+2? =(x-2)2+y2, ? ?

联立双曲线方程, 消去 y, 12x2-20x+3=0, 得 该方程有实根, 所以离心率可以取 2,排除 A,D. y2 若离心率 e=3,设双曲线为 x2- 8 =1,同理,可得离心率不 可以取 3,排除 B.
答案:C

等与不等的转化
[例 2] (1)设 x,y 为正实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________. (2)若关于 x 的方程 9x+(4+a)·x+4=0 有解,则实数 a 的 3 取值范围是________. [思维流程] (1)

(2)

[解析]

(1)∵4x2+y2+xy=1,

3 3 ?2x+y?2 ? +1, ∴(2x+y)2=3xy+1=2×2xy+1≤2×? ? 2 ? 8 ∴(2x+y)2≤5, 2 10 ∴2x+y 的最大值为 5 . (2)设 t=3x,则原命题等价于关于 t 的方程 t2+(4+a)t+4=0 有正解. 4? 分离变量 a,得 a+4=- t+ t ?, ? ? ? 4? ? ∵t>0,∴-?t+ t ?≤-4, ? ? ? ∴a≤-8,即实数 a 的取值范围是(-∞,-8]. 2 10 [答案] (1) 5 (2)(-∞,-8]
? ? ? ?

总结 ——————————规律· —————————————
函数、方程与不等式间的转化 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不 等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式 的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以 将问题化繁为简, 一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题, 从而求出参变量的范围.

1 3 2.已知函数 f(x)=3ax +bx2+x+3,其中 a≠0. (1)当 a,b 满足什么条件时,f(x)能取得极值? (2)已知 a>0,且 f(x)在区间(0,1]上单调递增,试用 a 表示 出 b 的取值范围.

解:(1)f′(x)=ax2+2bx+1. 当(2b)2-4a≤0,即 b2<a 时无极值. 当(2b)2-4a>0,即 b2>a 时, f′(x)=ax2+2bx+1=0 有两个不同的根,

即 x1=

-b-

b2-a -b+ b2-a ,x2= , a a

因此 f′(x)=a(x-x1)(x-x2). ①当 a>0 时,f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:

x
f′(x) f(x)

(-∞,x1)


x1

(x1,x2)

x2

(x2,+∞)

0
极大值



0
极小值



?

?

?

由此表可知 f(x)在点 x1,x2 处分别取得极大值和极小值.

②当 a<0 时,f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:

x
f′(x) f(x)

(-∞,x2)


x2

(x2,x1)

x1
0
极大值

(x1,+∞)

0
极小值





?

?

?

由此表可知 f(x)在点 x1,x2 处分别取得极大值和极小值. 综上所述,当 a 和 b 满足 b2>a 时,f(x)能取得极值.

(2)法一:由题意 f′(x)=ax2+2bx+1≥0 在区间(0,1]上恒成立, ax 1 即 b≥- 2 -2x,x∈(0,1]. ax 1 设 g(x)=- 2 -2x,x∈(0,1]. 1 ①当 ∈(0,1],即 a≥1 时, a
?ax 1? g(x)=-? 2 +2x?≤-2 ? ?

a 4=- a,等号成立的条件为

? 1 ? 1 x= ∈(0,1],[g(x)]最大值=g? ?=- a, ? a? a ? ?

因此 b≥- a.

1 ②当 >1,即 0<a<1 时, a a 1 1-ax a 1 g′(x)=-2+2x2= 2x2 >0,[g(x)]最大值=g(1)=-2-2= a+1 - 2 , a+1 因此 b≥- 2 . 综上所述,当 a≥1 时,b≥- a; a+1 当 0<a<1 时,b≥- 2 .
2

法二:由题意 f′(x)=ax2+2bx+1≥0 在区间(0,1]上恒成立, ax 1 所以 b≥- 2 -2x,x∈(0,1]. ax 1 设 g(x)=- 2 -2x,x∈(0,1], a 1 则 g′(x)=-2+2x2. 1 1 令 g′(x)=0,得 x1= 或 x2=- (舍去). a a 1 当 ∈(0,1),即 a>1 时, a

由于
? x∈? ? ?

? x∈?0, ? ?

1? ? 时,g′(x)>0; a? ?

? 1 ,1?时,g′(x)<0, ? a ? ? 1 ? 1? ? ? 上单调递增,在? ,1?上单调递减, ? a? ? ? a ?



? g(x)在?0, ? ?

? 所以[g(x)]最大值=g? ? ?

1? ? =- a, a? ?

因此 b≥- a. 1 当 ∈[1,+∞ ),即 a∈(0,1]时, a

由于 x∈(0,1]时, g′(x)≥0, g(x)在(0,1]上单调递增, 即 a+1 所以[g(x)]最大值=g(1)=- 2 , a+1 因此 b≥- 2 . 综上所述,当 a>1 时,b≥- a; a+1 当 0<a≤1 时,b≥- 2 .

正与反的转化
[例 3] 若对于任意 t∈[1,2],函数 g(x)=x
[思维流程]
3

?m ? 2 +? 2 +2?x -2x ? ?



区间(t,3)上总不为单调函数,则实数 m 的取值范围是________.

[解析]

g′(x)=3x2+(m+4)x-2,若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则①

g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立. 2 由①得 3x2+(m+4)x-2≥0,即 m+4≥x-3x 当 x∈(t,3)时恒成立, 2 ∴m+4≥ t -3t 恒成立,则 m+4≥-1, 即 m≥-5; 2 2 37 由②得 m+4≤x-3x 当 x∈(t,3)时恒成立,则 m+4≤3-9,即 m≤- 3 . 37 ∴函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为- 3 <m<-5.
[答案]
? ? ? ? ? 37 - 3 ,-5? ? ?

总结 ——————————规律· —————————————
正与反的转化法 正难则反,利用补集求得其解,这就是补集思想,一种充 分体现对立统一、相互转化的思想方法.一般地,题目若出现 多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简 单,因此,间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中.

3.若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]内至 少存在一个值 c,使得 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_______.

解析:若在[-1,1]内不存在 c 满足 f(c)>0, 1 ? ?f?-1?≤0, ?p≤-2或p≥1, ? 则? 即? ?f?1?≤0, ? ?p≤-3或p≥3. 2 ? 3 3 解得 p≤-3 或 p≥ ,取补集得-3<p< , 2 2 ? 3? 即满足题意的实数 p 的取值范围是?-3,2?. ? ? ? 3? 答案:?-3,2? ? ?

主与次的转化
[例 4] 已知函数 f(x)=x3+3ax-1, g(x)=f′(x)-ax-5,

其中 f′(x)是 f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1 的一切 a 的值, 都有 g(x)<0,则实数 x 的取值范围为________.
[思维流程]

[解析]

由题意,知 g(x)=3x2-ax+3a-5,令

φ(a)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1. 对-1≤a≤1,恒有 g(x)<0,即 φ(a)<0,
?φ?1?<0, ? ∴? ?φ?-1?<0, ? ?3x2-x-2<0, ? 即? 2 ?3x +x-8<0, ?

2 解得-3<x<1. 的一切 a 的值,都

故当 有 g(x)<0.

? 2 ? x∈?-3,1?时,对满足-1≤a≤1 ? ?

[答案]

? 2 ? ?- ,1? ? 3 ?

—————————规律· 总结—————————————
主与次的转化法 合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在, 通过变换主元,起到了化繁为简的作用.在不等式中出现了两 个字母:x 及 a,关键在于该把哪个字母看成变量,哪个看成常 数.显然可将 a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-1,1] 内关于 a 的一次函数小于 0 恒成立的问题.

4.设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数,若 f(1-ax-x2)≤f(2-a) 对任意 a∈[-1,1]恒成立,求 x 的取值范围.
解:∵f(x)是 R 上的增函数, ∴1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1]. (*)

(*)式可化为(x-1)a+x2+1≥0,对 a∈[-1,1]恒成立. 令 g(a)=(x-1)a+x2+1.
?g?-1?=x2-x+2≥0, ? 则? ?g?1?=x2+x≥0, ?

解得 x≥0 或 x≤-1,

即实数 x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).

“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等,应用时还应遵循以下五条原则: 1.熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于运用熟知的知识和 经验来解答问题. 2.简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题,通过对简单问题的解决, 达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.

3.和谐化原则 转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部 所表示的和谐统一的形式,或者转化命题,使其推演有利于运 用某种数学方法或符合人们的思维规律. 4.直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.

5.正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的反面, 设法从问题的反面去探求,使问题获得解决,或证明问题的 可能性. 总之,化归与转化是高中数学的一种重要思想方法,掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素和原 则对我们学习数学是非常有帮助的.

数学思想专练(四)


相关文档

2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题一 第2讲 数形结合思想(共30张PPT)
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题一 第1讲 函数与方程思想(共44张PPT)
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 第1讲 选择题解题5技法(共40张PPT)
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题一 第3讲 分类讨论思想(共30张PPT)
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 第2讲 填空题解题4技法(共31张PPT)
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 考前基础回扣精准灵(共136张PPT)
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题六 第4讲 高考中的概率解答题型
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题五 第1讲 直 线 与 圆选择、填空题型
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题七 第2讲 不等式选讲(选修4-5)
2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题三 第2讲 高考中的数列解答题型
电脑版