2015-2016学年高中数学 2.2 直线、平面平行的判定及其性质课件_图文

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定

2.2.2 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理. (2)通过图形探究平面与平面平行的判定定理. (3)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力. 【过程与方法】 学生通过观察图形,借助已有知识,掌握直线与平面平行、平 面与平面平行的判定定理. 【情感、态度与价值观】 (1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性. (2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想. (3)进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.

2.2.2 │ 重点难点 重点难点
【重点】 直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用. 【难点】 直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用.

2.2.2 │ 教学建议 教学建议
(1)在直线与平面平行、平面与平面平行判定的教学上,注重 平行问题以无公共点为基本特征,抓住这一点,直线与直线平 行、直线与平面平行和平面平行问题就容易解决了. (2)对于空间中的平行问题,在教学中要注意“空间问题平面 化”的转化思想的运用.

2.2.2 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 创设情景、揭示课题 当门扇绕着一边转动时,门扇转动的一边所在直线与门框所在 平面具有什么样的位置关系?将课本平放在桌面上,翻动书的 封面,封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关 系? [解析] 平行;平行.

2.2.2 │ 新课导入

【导入二】 (事例导入) 观察长方体,你能发现长方体ABCD?A′B′C′D′中, 线段A′B所在的直线与长方体ABCD?A′B′C′D′的侧面 C′D′DC所在平面的位置关系吗?

[解析] 线段A′B所在的直线与长方体ABCD?A′B′C′D′的侧 面C′D′DC无公共点,所以平行.

2.2.2 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 直线与平面平行的判定定理 1.文字语言:平面外一条直线与此平面内的一条直线

平行 .该定理常表述为:线线 平行,则该直线与此平面________

平行,则线面平行.
a∥α . 符号语言:若 a?α ,b?α ,且 a∥b,则________

2.2.2 │ 预习探究
2.用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时,必须具备三个条 件:(1)直线 a 不在平面 α 内,即 a?α ;(2)直线 b 在平面 α 内, 即 b?α ;(3)两直线 a,b 平行,即 a∥b.三个条件缺一不可. [思考] 在直线与平面平行的判定定理中,最容易被忽略的 该直线必须在平面外 条件是____________________________________ .

2.2.2 │ 预习探究
? 知识点二 平面与平面平行的判定定理 1.文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 平行 . 行,则这两个平面________

图 221 图形语言:如图 221 所示. 符号语言:若 a?β ,b?β ,a∩b=P,a∥α ,b∥α , 则 β∥α.

2.2.2 │ 预习探究
2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件: (1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面; (2)这两条直线必须相交. [思考] 若两个平面平行,则这两个平面内的直线是否都平 行?

解:若两个平面平行,则这两个平面内的直线没有交点, 所以它们只能是平行或异面.

2.2.2 │ 备课素材 备课素材
1.直线与平面平行判定定理解读 (1)直线与平面平行的判定定理可简述为“若线线平行则面 面平行”,体现转化思想,将“线面平行”问题转化为 “线线平行”问题. (2)线面平行的判定定理包含三个条件:一内一外一平行, 三个条件缺一不可. 2.面面平行判定定理解读 (1)平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行则面 面平行”. (2)面面平行判定定理包含三个条件:一内一交一平行,三 个条件缺一不可.

2.2.2 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 直线与平面平行的判定
例 1 (1)已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点, Q 是 PA 的中点,则直线 PC 与平面 BDQ 的位置关系为( A.平行 C.在平面内 B.相交 D.无法确定 )

2.2.2 │ 考点类析
(2)如图 222 所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,直线 A1B 与平面 ACD1________,直线 A1B1 与平面 ACD1________.

图 222

2.2.2 │ 考点类析

(1)A

(2)平行

相交

[解析] (1)连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OQ,则 OA=OC.又 AQ=PQ,∴OQ∥PC.∵OQ?平面 BDQ,PC?平面 BDQ,∴PC∥ 平面 BDQ.

2.2.2 │ 考点类析
(2)∵A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四边形 A1BCD1 为平行四边形, ∴A1B∥D1C.又 D1C?平面 ACD1,A1B?平面 ACD1,根据直线与平 面平行的判定定理得 A1B∥平面 ACD1.如图所示, 延长 C1D1 到点 E, 使 ED1=D1C1,延长 B1A1 到点 F,使 FA1=A1B1,连接 EF,FD1, FA,则 FD1∥AC,∴F,D1,C,A 四点共面,而 A,C,D1 是平 面 ACD1 内的不共线的三点, 故 F∈平面 ACD1, 又 F∈A1B1, ∴A1B1 与平面 ACD1 相交.

2.2.2 │ 考点类析
【变式】 在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E,F 分别为 棱 BC,C1D1 的中点.求证:EF∥平面 BB1D1D.

证明:连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE,则 OE∥DC, 1 OE = DC. ∵ DC ∥ D1C1 , DC = D1C1 , F 为 D1C1 的中点, 2 ∴OE∥D1F,OE=D1F,∴四边形 D1FEO 为平行四边形, ∴EF∥D1O.又∵EF?平面 BB1D1D,D1O?平面 BB1D1D, ∴EF∥平面 BB1D1D.

2.2.2 │ 考点类析
? 考点二 平面与平面平行的判定

例 2 (1)已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E,F,G 分别 为 B1C1,A1D1,A1B1 的中点,则平面 EBD 与平面 FGA 的位置 关系为________. (2)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平 面,有下列说法: ①若 m?α , n∥α , 则 m∥n; ②若 m∥α, m∥β , 则 α∥β; ③若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0

2.2.2 │ 考点类析
(1)平行 (2)D [解析] (1)略.(2)①中,两直线平行 或异面,故①错误;②中,当直线 m 平行于两平面的交线 时,两平面相交,故②错误;③中,直线 n 可能在平面 α 内,故③错误.

2.2.2 │ 考点类析
【变式】 已知四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形. 点 M, N, Q 分别在 PA, BD, PD 上, 且 PM∶MA=BN∶ ND=PQ∶QD. 求证:平面 MNQ∥平面 PBC.

2.2.2 │ 考点类析
证明: ∵PM∶MA = BN∶ND = PQ∶QD ,∴MQ∥AD , NQ∥BP, 而 BP?平面 PBC, NQ?平面 PBC, ∴NQ∥平面 PBC. 又∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC, 而 BC?平面 PBC,MQ?平面 PBC,∴MQ∥平面 PBC.易知 MQ∩NQ = Q ,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面 MNQ∥平面 PBC.

2.2.2 │ 考点类析

?

考点三 线面平行、面面平行的综合应用 [导入] 证明面面平行问题的一般思路是什么?

解:证明面面平行可转化成证明线面平行,进而转化成证 明线线平行.

2.2.2 │ 考点类析
例 3 如图 223 所示,P 是△ABC 所在平面外的一点, A′,B′,C′分别是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.

图 223 (1)求证:平面 ABC∥平面 A′B′C′; (2)求△A′B′C′与△ABC 的面积之比.

2.2.2 │ 考点类析
解:(1)证明:连接 PA′,PB′,PC′并延长交 BC,AC,AB 于点 D, E, F, 连接 DE, EF, DF.∵A′, C′分别是△PBC, △PAB 2 2 的重心, ∴PA′=3PD, PC′=3PF, ∴A′C′∥DF.∵A′C′?平面 ABC, DF?平面 ABC,∴A′C′∥平面 ABC.同理,A′B′∥平面 ABC.又 A′C′∩A′B′=A′,A′C′ ,A′B′? 平面 A′B′C′ ,∴平面 ABC∥平面 A′B′C′. 2 1 1 (2)由(1)知 A′C′綊3DF,又 DF 綊2AC,∴A′C′綊3AC.同理, 1 1 A′B′綊3AB,B′C′綊3BC,∴△A′B′C′∽△ABC,∴S△A′B′C′∶S△ABC =1∶9.

2.2.2 │ 考点类析
【变式】 如图 224 所示,已知正方体 ABCD A1B1C1D1. (1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C. (2)若 E,F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1 ∥平面 FBD.

图 224

2.2.2 │ 考点类析

证明:(1)∵B1B∥DD1,B1B=D1D,∴四边形 BB1D1D 是平行四边 形,∴B1D1∥BD,又 BD?平面 B1D1C,B1D1?平面 B1D1C,∴BD∥平 面 B1D1C.同理,A1D∥平面 B1D1C.又∵A1D∩BD=D,A1D,BD?平面 A1BD,∴平面 A1BD∥平面 B1D1C. (2)由 BD∥B1D1,BD?平面 EB1D1,B1D1?平面 EB1D1,得 BD∥ 平面 EB1D1.取 BB1 的中点 G,连接 AG,FG,易得 AE 綊 B1G,∴四边 形 AEB1G 是平行四边形,∴B1E∥AG.同理,GF∥AD.又∵GF=AD, ∴四边形 ADFG 是平行四边形,∴AG∥DF,∴B1E∥DF.

2.2.2 │ 考点类析
又 B1E?平面 EB1D1,DF?平面 EB1D1,∴DF∥平面 EB1D1. 又∵BD∩DF=D,∴平面 EB1D1∥平面 FBD. [小结] 面面平行问题常常转化为线面平行问题,而线面平 行问题又可以转化为线线平行问题,所以需注意转化思想的运 用.

2.2.2 │ 备课素材 备课素材
1.证明线面平行,关键是在平面内找与已知直线平行的直 线.在具体的题目中,通常需要作辅助线,利用题中已有的 平行关系构造平行四边形.有中点时,考虑构造中位线. [例]四棱锥A?DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F 为AE的中点. 求证:AB∥平面DCF.

2.2.2 │ 备课素材

解:连接FO, ∵O为正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点, ∴BO=OE,AF=FE, ∴FO为△ABE的中位线, ∴AB∥OF. 又OF?平面DCF,AB?平面DCF, ∴AB∥平面DCF. 2.要证明面面平行,依据判定定理只需要找出一个平面内 的两条相交直线分别平行于另一个平面即可.常进行如下转 化:线线平行?线面平行?面面平行.

2.2.2 │ 备课素材
[例]如图,在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中,E,F,G分 别为棱AA1,A1B1,A1D1的中点.

证明:如图2?2?11,连接B1D1,∴B1D1∥BD. ∵E,F,G分别为A1A,A1B1,A1D1的中点, ∴FG∥B1D1,则FG∥BD, ∴FG∥平面BC1D. 同理EF∥DC1,∴EF∥平面BC1D. 又∵EF∩FG=F,则平面EFG∥平面BC1D.

2.2.2 │ 当堂自测 当堂自测
1. 在空间四边形 ABCD 中, E, F 分别是 AB, BC 上的点, 若 AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则直角线 AC 和平面 DEF 的位 置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定

A [解析] ∵AE∶EB∶CF∶FB∶1∶3,∴AC∥EF.∵AC? 平面 DEF,EF?平面 DEF,∴AC∥平面 DEF.

2.2.2 │ 当堂自测
2.设直线 l,m,平面α ,β ,下列条件中能推出α ∥β 的有( ) ①l?α ,m?α ,且 l∥β,m∥β ;②l?α ,m?β ,且 l∥m;③l∥α,m∥β ,且 l∥m. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个

D [解析] 由面面平行的判定定理可得三个条件都不能 推出 α∥β.

2.2.2 │ 当堂自测

3.如图 225 所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,O 为 底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,若 Q 是 CC1 的中点.证 明:平面 D1BQ∥平面 PAO.

图 225

2.2.2 │ 当堂自测
证明: ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,∴QB∥PA. ∵P,O 分别为 DD1,DB 的中点, ∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面 PAO,PO?平面 PAO,QB?平面 PAO,PA ?平面 PAO, ∴D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB=B,D1B,QB?平面 D1BQ, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO.

2.2.2 │ 备课素材 备课素材
一、归纳感悟 1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已 知直线平行,即要证直线与平面平行,先证直线与直线平 行.即由立体向平面转化,由高维向低维转化,同时要注意 直线在平面外的条件需强化. 2.证明面面平行时,“线线平行”“线面平行”是关 键.当题目中有多个平面平行时,要注意平行平面的传递 性.在两平面平行的判定定理的条件中,直线相交很重要, 而且在解题中常常被忽略. 二、下节课预习问题: 1.预习直线与平面平行的性质及三种语言表述. 2.预习平面与平面平行的性质及三种语言表述.

2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质

2.2.4 │ 三维目标 三维目标
【知识与技能】 (1)探究直线与平面平行的性质定理. (2)通过图形探究平面与平面平行性质定理. 【过程与方法】 (1)体会直线与平面平行的性质定理的应用. (2)熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用. 【情感、态度与价值观】 (1)通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣. (2)进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.

2.2.4 │ 重点难点 重点难点
【重点】 通过直观感知、提出猜想进而操作确认,获得直线与平面 平行、平面与平面平行的性质定理. 【难点】 综合应用线面平行的性质定理进行线线平行、线面平行及面面 平行的相互转化.

2.2.4 │ 教学建议 教学建议
教学中以教材中的“思考”为切入点,引出直线和平面平 行的性质定理及平面和平面平行的性质定理.然后以长方体为 载体,对这两个问题进行探究、证明.最后可通过题组训练, 采用师生互动、讲练结合的方式,帮助学生突出重点、化解难 点.

2.2.4 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 (情境导入) 教室内日光灯管所在的直线与地面平行,是不是地面内的所有 直线都与日光灯管所在的直线平行?

[解析] 不是的,应是平行或异面.

2.2.4 │ 新课导入

【导入二】 (事例导入) 观察长方体,可以发现长方体ABCD?A′B′C′D′中,线段 A′B所在的直线与长方体ABCD?A′B′C′D′的侧面C′D′DC 所在平面平行,你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与 A′B平行吗?

[解析] CD′∥A′B,可由平行四边形的性质得到.

2.2.4 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 直线和平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线 与一个平面
平行, ____ 则过这

巧记方法

条直线的任 一平面与此 平面的交线 与 该 直 线 ____ 平行

α∩β=b? 线面平 ? a∥α ??a∥b 行 ? 线线平行 ________ a?β ? ?

2.2.4 │ 预习探究
[思考] 如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和 这个平面内的直线有怎样的位置关系?
解:平行或异面,如图所示:

2.2.4 │ 预习探究
? 知识点二 文字语言 两个平面平行的性质定理 图形语言 符号语言

巧记方法

如果两 平行 个 ______ 平面同时 和第三个 平面相交, 那么它们 的 交 线 平行 ______

α∥β ? 面面平行 ? α ∩γ =a?a∥b ?线线平行 _______ β ∩γ =b? ?

2.2.4 │ 预习探究
[探究] 若两个平面平行, 则一个平面内的直线 a 与另一 个平面内的直线有怎样的位置关系?
解:平行或异面,如图所示:

2.2.4 │ 备课素材 备课素材
1.线面平行性质定理解读 (1)线面平行性质定理可简记为“若线面平行,则线线平 行”. (2)线面平行性质定理包含三个条件“一内一交一平行”,关 键条件是过直线作平面得到与平行平面的交线. 2.平面与平面平行的性质定理解读 (1)平面与平面平行的性质定理可简记为“若面面平行,则线 线平行”. (2)夹在两个平行平面间的平行线段相等. (3)经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行. (4)若两个平面平行于第三个平面,则这两个平面互相平行.

2.2.4 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 证明直线与直线平行
例 1 如图 226 所示,已知 P 是 ABCD 所在平面外的 一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过点 G 和 AP 作 平面交平面 BDM 于 GH.求证:PA∥GH.

图 226

2.2.4 │ 考点类析
证明:如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点, 又M 是 PC 的中点,∴AP∥OM. 又∵PA?平面 BDM,OM?平面 BDM,∴PA∥平面 BDM. ∵平面 PAHG∩平面 BDM=GH,∴PA∥GH.

2.2.4 │ 考点类析

【变式】已知 α∩β=l,a∥α,a∥β,求证:a∥l.
证明:如图所示,过 a 作平面 γ 交 α 于 b. ∵a∥α ,a?γ ,γ∩α=b,∴a∥b. 同理,过 a 作平面 Ω 交 β 于 c.∵a∥β,a?Ω ,Ω∩β=c, ∴a∥c,∴b∥c.又∵b?β ,且 c?β ,∴b∥β.又 b?α ,α∩β=l, ∴b∥l,∴a∥l.

2.2.4 │ 考点类析
? 考点二 证明直线与平面平行

例 2 如图 227 所示,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,若 D 是 AB 的中点.则直线 AC1 与平面 CDB1 的关系为( ) A.AC1∥平面 CDB1 B.AC1 在平面 CDB1 中 C.AC1 与平面 CDB1 相交 D.无法判断关系

图 227

[答案]A

2.2.4 │ 考点类析
【变式】 如图 228 所示,平行四边形 EFGH 的顶点分别 在空间四边形 ABCD 的各边上,求证:BD∥平面 EFGH.

图 228

2.2.4 │ 考点类析
证明:∵EH∥FG,EH?平面 BCD,FG?平面 BCD,∴EH ∥平面 BCD. 又 ∵EH ? 平 面 ABD , 平 面 BCD∩ 平 面 ABD = BD , ∴EH∥BD. ∵EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH,∴BD∥平面 EFGH. [小结] 线面平行的性质和判定经常交替使用,也就是通过 线线平行得到线面平行,再通过线面平行得到线线平行.利用 线面平行的性质定理解题的具体步骤: (1)确定(或寻找)一条直 线平行于一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行 平面相交的平面;(3)确定交线;(4)由性质定理得出线线平行的 结论.

2.2.4 │ 考点类析
[拓展] 已知:a,b 是异面直线. 求证:过 b 有且只有一个平面与 a 平行.
证明:(1)存在性.如图所示,

在直线 b 上任取一点 A,显然 A?a. 过点 A 与直线 a 作平面 β, 在平面 β 内过点 A 作直线 a′∥a, 则 a′与 b 是相交直线,它们可以确定一个平面 α, ∵b?α ,a 与 b 异面,∴a?α . 又∵a∥a′,a′?α ,∴a∥α. ∴过 b 有一个平面 α 与 a 平行.

2.2.4 │ 考点类析
(2)唯一性. 假设平面 γ 是过 b 且与 a 平行的另一个平面,则 b?γ . ∵A∈b,∴A∈γ. 又∵A∈β,∴γ 与 β 相交,设交线为 a″,则 A∈a″. ∵a∥γ ,a?β ,γ∩β=a″,∴a∥a″.又 a∥a′,∴a′∥a″, 这与 a′∩a″=A 矛盾. ∴假设错误,故过 b 且与 a 平行的平面只有一个. 综上所述,过 b 有且只有一个平面与 a 平行.

2.2.4 │ 考点类析
? 考点三 平行性质定理的应用

例 3 下列说法中正确的个数是( ) ①两平面平行, 夹在两平面间的平行线段相等; ②两平面平行, 夹在两平面间的相等的线段平行; ③如果一条直线和两个平行平面 中的一个平行,那么它和另一个平面也平行;④两平行直线被三个 平行平面所截得的线段成比例. A.1 B.2 C.3 D.4

[答案]B

2.2.4 │ 考点类析

【变式】 如图 229 所示,CD,AB 均与平面 EFGH 平行,E, F,G,H 分别在 BD,BC,AC,AD 上,且 CD⊥AB. 求证:四边形 EFGH 是矩形.

图 229

2.2.4 │ 考点类析

证明:∵CD∥平面 EFGH,而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF.同理,HG∥CD,∴EF∥HG.同理,HE∥GF. ∴四边形 EFGH 为平行四边形,∴CD∥EF,HE∥AB. 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF.∴平行四边形 EFGH 为矩形.

2.2.4 │ 备课素材 备课素材
1.线面平行的性质和判定经常交替使用,也就是通过线线平 行得到线面平行,再通过线面平行得线线平行.利用线面平 行的性质定理解题的具体步骤:(1)确定(或寻找)一条直线平 行于一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平 面相交的平面;(3)确定交线;(4)由性质定理得出线线平行 的结论. [例]如图2?2?32,直三棱柱ABC?A′B′C′中,点M,N分别为 A′B和B′C′的中点.证明:MN∥平面A′ACC′.

2.2.4 │ 备课素材

证明:取A′B′的中点P.连接MP,NP. 因为点M,N分别为A′B′与B′C′的中点, 所以MP∥AA′,PN∥A′C′. 所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.又MP∩PN=P, 因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN, 因此MN∥平面A′ACC′.

2.2.4 │ 备课素材
2.利用面面平行的性质定理解题的步骤:(1)先找两个平面,使这 两个平面分别经过这两条直线中的一条; (2)判定这两个平面平行(此条件 有时题目会直接给出); (3)再找一个平面, 使这两条直线都在这个平面上; (4)由定理得出结论. [例]已知平面α ∥β ,P?α 且 P?β ,过点 P 的直线 m 与 α,β 分别 交于 A,C,过点 P 的直线 n 与 α,β 分别交于 B,D,且 PA=6,AC =9,PD=8,则 BD 的长为________. 24 [答案] 5 或 24

图 2234

2.2.4 │ 备课素材
[解析] 如图 2234,∵AC∩BD=P, ∴经过直线 AC 与 BD 可确定平面 PCD. ∵α ∥β ,α ∩平面 PCD=AB,β ∩平面 PCD=CD, PA PB 6 8-BD 24 ∴AB∥CD.∴AC=BD,即9= BD .∴BD= 5 .

图 2235 如图 2235,同理可证 AB∥CD. PA PB 6 BD-8 ∴PC=PD,即3= 8 .∴BD=24. 24 综上所述,BD= 5 或 24.

2.2.4 │ 当堂自测 当堂自测
1.已知直线 a,b,平面 α,则以下三个命题: ①若 a∥b,b?α ,则 a∥α;②若 a∥b,a∥α ,则 b∥α; ③若 a∥α,b∥α ,则 a∥b. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

2.2.4 │ 当堂自测
A [解析] 对于命题①,若 a∥b,b?α,则 a∥α 或 a?α , 所以①是假命题; 对于命题②,若 a∥b,a∥α,则 b∥α 或 b?α ,因此②是假 命题; 对于命题③,若 a∥α,b∥α,则应有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面,因此③是假命题.

2.2.4 │ 当堂自测
2.如图 2210 所示,在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 边 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别 为 BC,CD 的中点,则( ) A.BD∥平面 EFGH,且四边形 EFGH 是矩形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是菱形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是平行四边形

图 2210

2.2.4 │ 当堂自测
1 B [解析] 由 AE∶EB=AF∶FD=1∶4 知 EF 綊5BD, ∴EF∥平面 BCD.又 H,G 分别为 BC,CD 的中心, 1 ∴HG 綊 BD,∴EF∥HG 且 EF≠HG,故 B 正确. 2 有三个相异点到平面 α 的距离相等, 则 l 与 α 可以平行, l?α 时也成立.

2.2.4 │ 当堂自测
3.平面 α∥平面 β,a?α ,b?β,则直线 a,b 的位置关系 是________.

平行或异面 异面.

[解析] 由 α∥β 可知, a, b 的位置关系是平行或

2.2.4 │ 当堂自测
4. 如图 22?11 所示, 四边形 ABCD 是梯形, AB∥CD, 且 AB∥ 平面 α,AD,BC 与平面 α 分别交于点 M,N,且 M 是 AD 的中心 点,AB=4,CD=6,则 MN=________.

图 2211
5 [解析] 因为 AB∥平面 α,AB?平面 ABCD,平面 ABCD∩ 平面 α=MN,所以 AB∥MN.又 M 是 AD 的中点,所以 MN 是梯形 ABCD 的中位线,故 MN=5.

2.2.4 │ 备课素材 备课素材
一、归纳感悟 1.直线与平面平行的性质定理是证明线线平行的常用方法之 一,其实质是将线面平行转化为线线平行.与线面平行的判 定定理完成了相互转化:线线平行?线面平行. 2.已知两个平面平行,常用的结论有两点:(1)两个平行平 面同时与第三个平面相交,则交线互相平行;(2)两个平面平 行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. 二、下节课预习问题: 1.直线与平面垂直的概念. 2.直线与平面垂直的判定定理及三种语言的转换.


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