2015秋高中数学 1.2函数的概念课件 (13)_图文

2.2.2 对数函数及其性质
(第 一 课 时)

材料1(幻灯):马王堆女尸千年不腐之谜:一九七二年,马王堆考古发现震惊世 界,专家发掘西汉辛追遗尸时,形体完整,全身润泽,皮肤仍有弹性,关节还可 以活动,骨质比现在六十岁的正常人还好,是世界上发现的首例历史悠久的湿尸 。大家知道,世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成,譬如沙漠环境, 这类干尸虽然肌肤未腐,是因为干燥不利细菌繁殖,但关节和一般人死后一样, 是僵硬的,而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年,而且关节可以 活动。人们最关注有两个问题,第一:怎么鉴定尸体的年份?第二:是什么环境 使尸体未腐?其中第一个问题与数学有关。

图 4—1
(如图 4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追,日前奇迹般 地“复活”了)

那么,考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡” 近 2200 年?

上面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳 14 的残留量 p, 利用 t ? log
1 5730 2

P 估算尸体出土的年代,不难发现:对每一个碳 14

的含量的取值,通过这个对应关系,生物死亡年数 t 都有唯一的值与 之对应,从而 t 是 P 的函数;

如图 4—2 材料 2(幻灯) :某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个 ??, 如果要求这种细胞经过多少次分裂, 大约可以得到细胞 1 万个, 10 万个 ??, 不难发现: 分裂次数 y 就是要得到的细胞个数 x 的函数,即 y ? log2 x ;

图 4—2

对数函数的定义:

函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量, 函数的定义域是(0,+∞) .
注意:

1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别. ○

x 如: y ? 2 log2 x , y ? log 5 都不是对数函数. 5
2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○

例 1 (1)函数 y=logax 的定义域是___________ (其中 a>0,a≠1) (2) 函数 y=loga(4-x) 的定义域是___________ (其中 a>0,a≠1)

2

探究对数函数的图象: 步骤一: (1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y ? log2 x

y ? log 1 x
2

(2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

y ? log3 x

y ? log1 x
3

步骤二: 观察对数函数 y ? log2 x 、 y ? log3 x 与 y ? log 1 x 、 y ? log1 x 的图象特征 ,
2 3

看看它们有那些异同点。 步骤三:利用计算器或计算机,选取底数 a (a ? 0 ,且 a ? 1) 的若干个不同的值,在同一 平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象,它们有哪些共同特征? 步骤四:规纳出能体现对数函数的代表性图象 步骤五:作指数函数与对数函数图象的比较

学生探究成果:
(1) 如图 4—3、 4—4 较为熟练地用描点法画出下列对数函数 y ? log2 x 、y ? log 1 x 、
2

y ? log3 x 、 y ? log1 x 的图象
3

图 4—3

图 4—4

(2)如图 4—5 学生选取底数 a =1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10,并推荐几位代表 上台演示‘几何画板’ ,得到相应对数函数的图象。由于学生自己动手,加上‘几何 画板’的强大作图功能,学生非常清楚地看到了底数 a 是如何影响函数

y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 图象的变化。

图 4—5

(3)有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验,学生很明确 y = loga x (a>1) 、 y = loga x (0<a<1) 的图象代表对数函数的两种情形。 (图 4—6)

y = loga x (a>1)

y = loga x (0<a<1)

图 4—6

(4)学生相互补充,自主发现了图象的下列特征:①图象都在 y 轴右侧,向 y 轴正负方向 无限延伸;②都过(1、0)点;③当 a>1 时,图象沿 x 轴正向逐步上升;当 0<a<1 时, 图象沿 x 轴正向逐步下降; ④图象关于原点和 y 轴不对称, 并且能从图象的形状、 位置、 升降、定点等角度指出指数函数与对数函数的图象区别;如图 4—7

图 4—7

拓展探究:
(1)对数函数 y ? log2 x 与

y ? log 1 x 、 y ? log3 x 与
2

y ? log1 x 的
3

图象有怎样的对称关系? (2)对数函数 y = loga x (a>1) ,当 a 值增大,图象的上升“程度”怎样?

在学生自主探究、合作交流的的基础上填写如下表格:
函 数 y = loga x (a>1) y = loga x (0<a<1)





定义域 值 单调性 过定点 取值范围 域

R+ R 在(0,+ ? )上是增函数 (1,0)即 x=1,y=0 0<x<1 时,y<0 x>1 时,y>0

R+ R 在(0,+ ? )上是减函数 (1,0)即 x=1,y=0 0<x<1 时,y>0 x>1 时,y<0

问题一: (幻灯) (教材 p79 例 8) 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23.4 , log 28.5 (2)log
0.3

1.8 , log

0.3

2.7

(3)log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , 且 a≠1 )
变式训练:1. 比较下列各题中两个值的大小: ⑴ log106 ⑶ log0.10.5 log108 log0.10.6 ⑵ log0.56 ⑷ log1.50.6 log0.54 log1.50.4

2.已知下列不等式,比较正数 m,n 的大小: (1) log
3

m < log

3

n (0<a<1)

(2) log

0.3

m > log 0.3 n (a>1)

(3) log a m < loga n

(4) log a m > log a n

问题二: (幻灯) (教材 p79 例 9)溶液酸碱度的测量。
? ? H H 溶液酸碱度是通过 pH 刻画的。pH 的计算公式为 pH= —lg[ ],其中 [ ]表示

溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。 (1)根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式,说 明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯静水中氢离子的浓度为 [ H ] = - 10?7 摩尔/升,计算纯静水的 pH
解析:pH=-lg[ ]=lg[ ]=lg1/[ ], 随着[ ]的增大,pH 减小,即溶液中氢离
?

子浓度越大,溶液的酸碱度就越大

(1)怎样的函数称为对数函数? 小 1.议一议: (2)对数函数的图象形状与底数有什么样的关系? 结



(3)对数函数有怎样的性质? 2.看一看:对数函数的图象特征和相关性质 对数函数的图象特征 对数函数的相关性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数 函数的值域为 R

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,0) 自左向右看, 图象逐渐上升 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0 自左向右看, 图象逐渐下降 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0

函数的定义域为(0,+∞)

log1 a ?0
增函数 减函数

x ? 1, loga x ? 0
0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0
x ? 1, loga x ? 0

作业:

1. 必做题:教材 P82 习题 2.2(A 组) 第 7、8、9、12 题. 2. 选做题:教材 P83 习题 2.2(B 组) 第 2 题.


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