人教A版高中数学必修一2.1.1(1)指数与指数幂的运算_图文

2.1.1 指数与指数幂的运算 教学目标: 知识与技能:理解根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算。 过程与方法:通过与初中所学的知识进行类比,理解掌握根式。 情感与价值观:通过运算训练,培养学生严谨治学一丝不苟的学习习惯。 教学重点:根式概念的理解与运算。 教学难点:根式概念的理解与运算。 教学过程 一、创设情景,引入新课 师: 你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的 吗? 生:对生物体化石的研究. 师:那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们 知道吗? 问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确 定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来的一半, 这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物 体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系,这个关系式 应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题: 当生物死亡了 5730,2×5730,3×5730,…年后, 它体内碳 14 的含量 P 分别为原来的多少? 生: , )2, )3,…. ( ( 师:当生物体死亡了 6000 年,10000 年,100000 年后, 它体内碳 14 的含量 P 分别为原来的多少? 生: ) 5730 , ) ( (
1 2
6000

设计意图 通过考古的问题引 发学生的学习兴 趣。同时让学生体 会其中的函数模型 并且激发学生探究 分数指数幂、无理 数指数幂的兴趣, 为学习新知做出铺 垫。

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1 2

1 2

10000 5730

, ) (

1 2

100000 5730

.

师:由以上的实例来推断关系式应该是什么?
1 生:P=( ) 5830 . 2
t

通过与初中的知识 师:考古学家根据上式可以知道,生物死亡 t 年后,体内 比较回顾中学所学 习的指数是整数指 6000 10000 1 5730 1 5730 1 碳 14 含量 P 的值.那么这些数 ( ) , ) ( , ) 数幂的,同时让学 ( 2 2 2 生认识到分数指数 100000 幂存在的必要性。 5730 的意义究竟是什么呢?它和我们初中所学的指数有 什么区别? 生:这里的指数是分数的形式. 师:指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗? 我们对于数的认识规律是怎样的?

生:自然数——整数——分数(有理数)——实数. 师:指数能否取分数(有理数) 、无理数呢? 二、讲解新课 (一)探求 n 次方根的概念 师:32=9,那么,在这个等式中 3 对于 9 来说,扮演着什 么角色?9 对于 3 来说又扮演着什么角色呢? 生:9 叫做 3 的平方数,3 叫做 9 的平方根. 师:若 53=125,那么 125 对于 5 来说,扮演着什么角色? 5 对于 125 来说又扮演着什么角色呢? 生:125 是 5 的立方数,5 是 125 的立方根. 师:如果 x2=a,那么 x 对于 a 来说扮演着什么角色? 生:x 是 a 的平方根. 师:现在请同学们回顾一下平方根与立方根的概念。 生:如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方 根。即:如果 x2=a,则 x 为 a 的平方根 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方 根。即:如果 x3=a,则 x 为 a 的立方根 师:如果 x4=a,x5=a,又能得到什么样的结论呢? 生:如果一个数的四次方等于 a,那么这个数叫做 a 的四 次方根;如果一个数的五次方等于 a,那么这个数叫做 a 的五次方根. 师: ①如果 x2=a, 那么 x 叫做 a 的平方根; ②如果 x3=a, 那么 x 叫做 a 的立方根;③如果 x4=a,那么 x 叫做 a 的 4 次方根.你能否据此得到一个一般性的结论? 生:一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. 师:上述结论中的 n 的取值有没有什么限制呢? 师板书如下定义: 一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n> 1,且 n∈N* (二)概念理解 课堂训练: 试根据 n 次方根的定义分别求出下列各数的 n 次方根. (1)25 的平方根是________; (2)27 的三次方根是________; (3)-32 的五次方根是________; (4)16 的四次方根是________; (5)a6 的三次方根是________; (6)0 的七次方根是________. 方法引导: n 次方根的概念中,关键的是数 a 的 n 次方 在 n 根 x 满足 x =a, 因此求一个数 a 的 n 次方根,就是求出哪 个数的 n 次方等于 a. (三)n 次方根的性质 师: 请同学们再次观察上述各数的方根,大家能得到什么 样的结论?

通过实例让学生回 顾平方根与立方根 的概念,同时引发 学生思考,总结归 纳出 n 次方根的概 念。

学生探索,完善 n 次方根的定义,并 强调 n 的取值范 围。

(多媒体显示,生 完成)通过习题训 练加深学生对 n 次 方根的理解和记 忆。

生:第(1) 、第(4)的答案有两个,第(2) 、第(3) 、 第(5) 、第(6)的答案只有一个;第(1)题的答案中的 两个值互为相反数.0 的方根还是 0. 师: 通过上述各题我们能不能得到有关 n 次方根性质的一 般性结论呢?. 生: 一个数的奇次方根只有一个,一个数的偶次方根有两 个,且互为相反数。 师:任何数都有偶次方根吗?为什么? 生:负数没有偶次方根。因为任何数的偶次方都是整数。 师:对于 0 我们应该如何规定它的 n 次方根呢? 生:0 的任何次方根都是 0.因为 0 的任何次方都等于 0。 总结:n 次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推 广, 因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性 质: (1)当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数 的 n 次方根是一个负数. 这时, 的 n 次方根用符号 n a 表 a 示. (2)当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数 互为相反数.这时, 正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示, 负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成± n a (a>0). 注:①负数没有偶次方根; ②0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 =0; (四)根式的概念 师: 我们在学习平方根和立方根的概念时了解过根式,并 且知道 a 叫做被开发数, 那么在 n 次方根中有没有根式的 概念? 生:式子 n a 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开 方数. 例如 5 6 叫做根式,其中 5 叫做根指数,6 叫做被 开方数. 师:根据 n 次方根的意义我们知道( n a )n (五)n 次方根的运算性质 求下列各式的值: (1) 5 )2; ( (2) 3 (?2) 3 ; (3) 4 (?2) 4 ; (4) (3 ? a ) 2 (a>3). 解 : 1) ( ( 5 ) 2 = 5 ; 2 ) 3 (?2) 3 = - 2 ; ( 4 4 ( 3 ) (?2) = | - 2 | = 2 ; ( 4 ) (3 ? a ) 2 = | 3 - a | = a - 3 . 师:在上述例子中主要涉及了( n a )n 与 n a n 的问题.请 同学们思考: (1) n a )n 的含义是什么?其化简结果是什么呢? ( (2) n a n 的含义是什么?其化简结果是什么呢? 师:引导学生归纳出结论

引导学生自行思 考,培养学生观察 及归纳的能力。 提供一个比较发散 的问题,给学生提 供广阔的思维空 间,培养学生理性 思维能力和数学的 分析问题、解决问 题的能力

说明 n 次方根的性 质是平方根和立方 根性质的推广,使 学生更加容易理解 n 次方根的性质。

(生板演,师组织 学生评析) 练习的同时检测学 生的接受情况并针 对出现的问题及时 更正。 组织学生结合例题 及其解答,进行分 析讨论、归纳出结 论

(1) n a ) =a.例如, 3 27 ) =27, 5 ? 32 ) =-32. ( ( ( (2)当 n 是奇数时, n a n =a;当 n 是偶数时, n a n =|a| (六)例题讲解
【例 1】 求下列各式的值: (1) 3 ? 8 )3; ( (2) (?10) 2 ; (3) 4 (3 ? π ) 4 ; (4) (a ? b) 2 (a>b). 解: ( 3 ? 8 )3=-8; (1) (2) (?10) 2 =10; (3) 4 (3 ? π ) 4 =π -3; (4) (a ? b) 2 =|a-b|=a-b.

n

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生板演,师组织学 生进行课堂评价


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