2.2.4 对数函数及其性质(二)

基 础 梳 理 1.函数 y=logaf(x)(a>0,且 a≠1)的定义域是不等式________ 的解集. 例如:函数 y=loga(3-x)(a>0,且 a≠1)的定义域是________. 2.求函数 y=logaf(x)(a>0,且 a≠1)的值域要先求定义域,再 求 t=f(x)的取值范围,最后确定 y=logaf(x)(a>0,且 a≠1)的值域. 例如:函数 y=log2(x-x2)的值域是________. 3.函数 y=logaf(x)(a>0,且 a≠1)在定义域上的单调性由 y= logat(a > 0 , 且 a≠1) 与 t = f(x) 的 单 调 性 确 定 , 规 律 是 “________________________”. 例如:函数 y=log1(x2-2x)的递增区间是________,递减区间是 2 ________. 基础梳理 1.f(x)>0 (-∞,3) 2.(-∞,-2] 3.同增异减 (-∞,0) (2,+∞) ,思 考 应 用
?1? 1.对数函数 y=log2x 与 y=log2?x?的图象关于什么对称? ? ?

关于 x 轴对称 2.对数函数 y=log2x 与 y=log2(-x)的图象关于什么对称? 关于 y 轴对称 自 测 自 评 1.函数 y=log1(x2-5x+6)的单调增区间为( 2 )

?5 ? A.?2,+∞? ? ? ? 5? C.?-∞,2? ? ?

B.(3,+∞) D.(-∞,2) 2.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区

1 间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,则 a 等于( ) 2 A. 2 B.2 C.2 2 D.4 1-x 3.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于( 1+x 1 1 A. B.- C.-b D.b b b

)

自测自评 1.D 2.D 3.C ?基础达标 1.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象过定点( ) A.(1,0) B.(0,1) ? 2? ?2 ? C.?0,3? D.?3,0? ? ? ? ? 1.A 2.(2014· 深圳高三检测)若函数 y=ax+b 的部分图象如图所示, 则( ) A.0<a<1,-1<b<0 B.0<a<1,0<b<1 C.a>1,-1<b<0 D.a>1,0<b<1

2.A 3. 若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的反函数且 f(2)=1, 则 f(x)=( ) 1 A.log2x B. x 2 C.log1x D.2x-2 2 3.解析:由题意 f(x)=logax,∵f(2)=1,∴loga2=1,∴a=2, ∴f(x)=log2x.故选 A. 答案:A 4. 函数 y=( 2)x 的反函数是________; 函数 y=ln x 的反函数是 ______. 4.y=log 2x y=ex

5. (2014· 重庆卷)函数 f(x)=log2 x· log 2(2x)的最小值为______. 1 5 . 解 析 : ∵f(x) = log2x · [2(log2x + 1)] = (log2x)2 + log2x = 2 ? 1?2 1 1 2 1 ?log2x+ ? - ,∴当 log2x=- ,即 x= 时,f(x)取得最小值- . 2? 4 2 2 4 ? 1 答案:- 4 6.已知函数 y=f(2x)的定义域是[-1,1],则函数 f(log2x)的定义 域为( ) ?1 ? A.[-1,1] B.?2,2? ? ? C.[1,2] D.[ 2,4] ?1 ? 1 6.解析:∵-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2,∴f(x)的定义域为?2,2?. 2 ? ? 1 令 ≤log2x≤2,得 2≤x≤4,∴函数 f(log2x)的定义域为[ 2,4].故 2 选 D. 答案:D ?巩固提高 4 3 7.图中曲线是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 取 3, , , 3 5 1 四个值,则相应于 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为( 10 )

4 3 1 4 1 3 A. , 3, , B. 3, , , 3 5 10 3 10 5 4 3 1 4 1 3 C. 3, , , D. , 3, , 3 5 10 3 10 5 7.A

8.已知函数 y=log3(kx+1)的值域为 R,则实数 k 的取值范围是 ________________. 8.解析:令 u=kx+1,则 y=log3u,∵y=log3(kx+1)的值域为 R,∴y=log3u 中 u 取遍所有大于 0 的数,∴k≠0.∴k 的取值范围是 (-∞,0)∪(0,+∞). 答案:(-∞,0)∪(0,+∞) 9.作 y=|lg x|和 y=lg|x|的图象. 9.分析:由图象的对称变换可得函数 y=|lg x|与 y=lg |x|的图象

. 解析:分别作出 y=lg|x|和 y=|lg x|的图象,如图(1)和图(2)所示. 点评:y=lg|x|为偶函数,从而图象关于 y 轴对称. y=|lg x|的值域为[0,+∞),从而把 y=lg x,x 轴下方的图象翻 折到 x 轴上方. 10.已知:f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)在其定义域内的单调性; (3)若 f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较 a-b 与 1 的大小. ?a?x 10.解析:(1)由 ax-bx>0,得?b? >1, ? ? a ∵ >1,∴x>0.∴定义域为(0,+∞). b (2)设 x2>x1>0,a>1>b>0, 则 ax2>ax1,bx1>bx2,-bx2>-bx1, ax2-bx2 ∴ax2-bx2>ax1-bx1>0,∴ >1. ax1-bx1

∴f(x2)-f(x1)=lg(ax2-bx2)-lg(ax1-bx1)= ax2-bx2 lg >0,∴f(x2)>f(x1). ax1-bx1 ∴f(x)在(0,+∞)是增函数. (3)当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),要使 f(x)>0, 须 f(1)≥0,则 a-b≥1.

1.处理与反函数有关的问题时,只需清楚指数函数 y=ax 与对 数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y= x 对称. 2.在指定区间上研究对数函数的性质时,一定要结合相应函数 的图象. 3.处理含对数式的复合函数时,应弄清它是由哪些基本函数复 合而成的. 4.对数函数的性质是一般函数性质的具体化,研究与对数函数 相关的函数性质时,要注意底数和真数的限制条件. 5.紧紧抓住函数的图象以及函数图象的变换是处理较复杂函数 的最好方法.


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