2018版高中数学苏教版必修五学案:3.2 一元二次不等式(一)

学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的联系.2.掌握图象法解一元二 次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想在不等式中的应用. 知识点一 一元二次不等式的概念 思考 我们知道,方程 x2=1 的解集是{1,-1},解集中的每一个元素均可使等式成立.那 么你能写出不等式 x2>1 的解集吗? 梳理 (1)只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,叫做________________ 不等式. (2)能使不等式成立的未知数 x 的一个值称为不等式的一个解. (3)不等式所有解的________称为解集.解不等式的任务是求解集. 知识点二 “三个二次”的关系 思考 分析二次函数 y=x2-1 与一元二次方程 x2-1=0 和一元二次不等式 x2-1>0 之间的关 系. 梳理 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系,如下表. 判别式 Δ=b2-4ac 方程 ax2+bx+c=0 的根 Δ>0 Δ=0 有两个________实根 x1=x2=- b 2a Δ<0 没有实数根 二次函数 y=ax2+bx +c 的图象 b b (-∞, - )∪(- , 2a 2a +∞) ax2+bx+c<0 的解集 ? ax +bx+c>0 的解集 2 R 知识点三 一元二次不等式的解法 思考 根据上表,试解不等式 x2+2>3x. 梳理 解一元二次不等式的步骤: (1)化为基本形式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(其中 a>0); (2)计算 Δ=b2-4ac,以确定一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有解; (3)有根求根; (4)根据图象写出不等式的解集. 类型一 一元二次不等式的解法 命题角度 1 二次项系数大于 0 例 1 求不等式 4x2-4x+1>0 的解集. 反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先化为一般形式,在具体求解一个 一般形式的一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的 图象. 跟踪训练 1 求不等式 2x2-3x-2≥0 的解集. 命题角度 2 二次项系数小于 0 例 2 解不等式-x2+2x-3>0. 反思与感悟 将-x2+2x-3>0 转化为 x2-2x+3<0 的过程中注意符号的变化, 这是解本题的 关键之处. 跟踪训练 2 求不等式-3x2+6x>2 的解集. 命题角度 3 含参数的二次不等式 例 3 解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0. 反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的 正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论. 跟踪训练 3 解关于 x 的不等式(x-a)(x-a2)<0. 类型二 “三个二次”间对应关系的应用 例 4 已知关于 x 的不等式 x2+ax+b<0 的解集为{x|1<x<2},试求关于 x 的不等式 bx2+ax +1>0 的解集. 反思与感悟 给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与 x 轴 的交点,可以利用代入根或根与系数的关系的方法求待定系数. 跟踪训练 4 已知不等式 ax2-bx+2<0 的解集为{x|1<x<2},求 a,b 的值. 1.不等式 2x2-x-1>0 的解集是______________. 2.不等式-6x2-x+2≤0 的解集是______________. 3.若不等式 ax2+8ax+21<0 的解集是{x|-7<x<-1},那么 a 的值是________. 4.不等式 x2+x+2<0 的解集为______________. 1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等 式的一般步骤: ①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0); ②求方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数 y=ax2+bx+c 图象的简图; ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解. 当 m<n 时,若(x-m)(x-n)>0,则可得 x>n 或 x<m; 若(x-m)(x-n)<0,则可得 m<x<n. 有口诀如下:大于取两边,小于取中间. 2.含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不 漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数 a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 不等式 x2>1 的解集为{x|x<-1 或 x>1}, 该集合中每一个元素都是不等式的解, 而不等 式的每一个解均属于解集. 梳理 (1)一元二次 (3)集合 知识点二 思考 x2-1>0― ― →y=x2-1― ― →x2-1=0. 梳理 有两个相异实根 x1,x2(x1<x2) 相等 (-∞,x1)∪(x2,+∞) (x1,x2) ? 知识点三 思考 先化为 x2-3x+2>0. ∵方程 x2-3x+2=0 的根 x1=1, x2=2, ∴原不等式的解集为{x|x<1 或 x>2}. 题型探究 例 1 解 因为 Δ=(-4)2-4×4×1=0, 1 所以方程 4x2-4x+1=0 的解是 x1=x2= , 2 1? ? 所以原不等式的解集为?x|x≠2?. ? ? y>0 y=0 1 跟踪训练 1 解 ∵2x2-3x-2=0 的两解为 x1=- ,x2=2, 2 且 a=2>0, ∴不等式 2x2-3x-2≥0 的解集是 1 {x|x≤- 或 x≥2}. 2 例 2

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