第2章 §3 计算导数

§3 计算导数
学习目标 1.理解导函数的定义.2.能根据导数的定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=1x,y= x 的导数.3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数.

知识点一 导函数的概念 思考 1 已知函数 f(x)=12x2,求 f′(2),f′(1),f′(-2). 答案 f′(2)=2,f′(1)=1,f′(-2)=-2. 思考 2 对思考 1 中的函数 f(x),试求 f′(x0). 答案 f′(x0)=Δlixm→0f?x0+ΔΔxx?-f?x0? =Δlixm→012?x0+ΔΔxx?2-12x20=x0.
梳理 导函数的定义

若一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数值记为 f′(x):f′(x)= lim Δx→0

f?x+Δx?-f?x?

Δx

,则 f′(x)是关于 x 的函数,称 f′(x)为 f(x)的导函数,简称为导数.

知识点二 函数的导数公式

函数

导函数

函数

导函数

y=c(c 是常数) y=xα(α 是实数)

y′=0 y′=αxα-1

y=ax(a>0,a≠1) y′=axln a 特别地(ex)′=ex

y=logax(a>0,a≠1) y′=xln1 a特别地(ln x)′=1x

y=sin x y=cos x y=tan x y=cot x

y′=cos x y′=-sin x y′=co1s2x y′=-sin12x

1.函数在一点处的导数 f′(x0)是一个常数.( √ ) 2.函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x=x0 处的函数值.( √ ) 3.若 f′(x)=sin x,则 f(x)=cos x.( × )

类型一 求函数的导数
命题角度1 利用导函数定义求导数 例 1 (1)利用导函数的定义求函数 f(x)=(2x+1)(3x-1)的导数,并求 x=0 和 x=2 处的导数 值. (2)已知 f(3)=2,f′(3)=-2,求lxi→m32xx--33f?x?的值. 考点 求函数的导数 题点 利用导函数定义求导数 解 (1)∵f(x)=(2x+1)(3x-1)=6x2+x-1,

f?x+Δx?-f?x?

∴f′(x)= lim Δx→0

Δx

6?x+Δx?2+?x+Δx?-1-6x2-x+1

= lim Δx→0

Δx

= lim (12x+6Δx+1)=12x+1, Δx→0
∴f′(0)=1,f′(2)=12×2+1=25.

2x-6+6-3f?x?

f?x?-f?3?

(2)原式=lim

=2-3lim

=2-3f′(3)=8.

x→3

x-3

x→3 x-3

反思与感悟 由导数的定义知,计算函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤如下:

(1)通过自变量在 x0 处的改变量 Δx 确定函数 y=f(x)在 x0 处的改变量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);

(2)确定函数 y=f(x)在 x0 处的平均变化率:

ΔΔyx=f?x0+ΔΔxx?-f?x0?; (3)当 Δx 趋于 0 时,得到导数:f′(x0)=Δlixm→0ΔΔyx.

上述求导方法可简记为:一差,二比,三极限.

跟踪训练 1 求函数 y=f(x)=1x+x 的导数 f′(x),并利用 f′(x)求 f′(-1),f′(2),f′(3). 考点 求函数的导数 题点 利用导函数的定义求导数



1

1

1

1 Δx?x2+xΔx-1? Δy

Δy=f(x+Δx)-f(x)=x+Δx+(x+Δx)-x-x=x+Δx+Δx-x= x2+xΔx ,则Δx=

x2+xΔx-1 x2+xΔx .

当 Δx 趋于 0 时,有

f′(x)=Δlixm→0ΔΔyx=Δlixm→0x2x+2+xΔxxΔ-x 1=x2x-2 1=1-x12. 则 f′(-1)=1-11=0,f′(2)=1-14=34,f′(3)=89. 命题角度2 利用导数公式求导

例 2 求下列函数的导数.

(1)y=sin

π6;(2)y=??12??x;(3)y=lg

x;(4)y=

x2 ; x

(5)y=2cos22x-1.

考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

解 (1)y′=0.

(2)y′=??12??xln12=-??12??xln 2.
(3)y′=xln110.

(4)∵y=

x2 = x

x

3 2

,∴y′=

? ? ?

x

3 2

? ? ?

?

=32

x

1 2

=32

x.

(5)∵y=2cos22x-1=cos x,∴y′=(cos x)′=-sin x. 反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.

(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简

或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导.



1 y=x4可以写成

y=x-4,y= 5

x3可以写成

y=

x

3 5

等,这样就可以直接使用幂函数的求导公

式求导,以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.

跟踪训练 2 下列结论:

①(sin

x)′=cos

x;②

? ?

x

5 3

? ?

?



x

2 3



??

③(log3x)′=3l1n x;④(ln x)′=1x.

其中正确的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

考点 求函数的导数

题点 利用导数公式求导

答案 C

解析

∵②

? ? ?

x

5 3

? ? ?

?

=53

x

2 3

;③(log3x)′=xln1

3,

∴②③错误,故选 C. 类型二 利用导数公式研究切线问题

命题角度1 求切线方程或切线斜率 例 3 已知曲线 y=f(x)= x,y=g(x)=1x,过两条曲线交点作两条曲线的切线,求两切线与 x 轴所围成的三角形面积. 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用

??y= x, ??x=1,

解 由???y=1x,

得?

得两曲线的交点坐标为(1,1).

??y=1,

两条曲线切线的斜率分别为 f′(1)=12,g′(1)=-1. 易得两切线方程分别为 y-1=12(x-1),

y-1=-(x-1),

即 y=12x+12与 y=-x+2.

其与 x 轴的交点坐标分别为(-1,0),(2,0),

所以两切线与 x 轴所围成的三角形面积为12×1×|2-(-1)|=32.

反思与感悟 解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切

点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决.

跟踪训练 3 已知直线 y=kx 是曲线 y=ln x 的一条切线,则 k=

.

考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用

答案

1 e

解析 设切点坐标为(x0,y0), 由题意得 y′=x10=k,① 又 y0=kx0,②

而且 y0=ln x0,③ 由①②③可得 x0=e,y0=1,则 k=1e. 命题角度2 求切点坐标问题 例 4 求抛物线 y=x2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离. 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 设切点坐标为(x0,x02),依题意知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线的切点到

直线 x-y-2=0 的距离最短.

∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0=12,

∴切点坐标为??12,14??,

∴所求的最短距离

d=??12-14-2??=7
2

8

2 .

反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式,可求其图像在某一点 P(x0,y0)处的切线方程,

可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都与函数图像的切线有关.解题时 可先利用图像分析取最值时的位置情况,再利用导数的几何意义准确计算. 跟踪训练 4 已知直线 l: 2x-y+4=0 与抛物线 y=x2 相交于 A,B 两点,O 是坐标原点,试 求与直线 l 平行的抛物线的切线方程,并在弧 AOB 上求一点 P,使△ABP 的面积最大. 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 设 P(x0,y0)为切点,过点 P 与 AB 平行的直线斜率 k=y′=2x0,∴k=2x0=2,∴x0=1, y0 =1. 故可得 P(1,1),∴切线方程为 2x-y-1=0. 由于直线 l: 2x-y+4=0 与抛物线 y=x2 相交于 A,B 两点,∴|AB|为定值,要使△ABP 的面 积最大,只要点 P 到 AB 的距离最大,故 P(1,1)点即为所求弧 AOB 上的点,使△ABP 的面积 最大.
1.下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=xln1 2;③?ln 1x?′=x;④若 f(x)=x12,则 f′(3)=-227. A.1 B.2 C.3 D.4 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 C 解析 ①中(3x)′=3xln 3,②③④均正确. 2.函数 f(x)=x3 的斜率等于 1 的切线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.不确定 考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数的导数 答案 B

解析 设切点坐标为(x0,y0),∵f′(x0)=3x02=1,

∴x0=±

3 3 .故斜率等于

1

的切线有

2

条.

3.已知 f(x)=x2,g(x)=ln x,若 f′(x)-g′(x)=1,则 x=

.

考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点 指数函数、对数函数的导数

答案 1

解析 f′(x)=2x,g′(x)=1x,

f′(x)-g′(x)=1,即 2x-1x=1,

1 解得 x=1 或-2.因为 x>0,所以 x=1.

4.过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为

,切线的斜率为



考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用

答案 (1,e) e

解析 设切点坐标为(x0,y0),

切线的斜率为 y 在 x=x0 处的导数 ex0 ,

则 ex0 =y0-0,①
x0-0
又 y0= ex0 ,②

由①②可得 x0=1,

∴切点坐标为(1,e),切线的斜率为 e.
5.求过曲线 y=sin x 上一点 P??π6,12??且与在这一点处的切线垂直的直线方程.
考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用
解 曲线 y=sin x 在点 P??π6,12??处切线的斜率为
k=cos π6= 23,

则与切线垂直的直线的斜率为-23 3,

∴所求直线方程为

12 y-2=-

3

3??x-π6??,

即 12 3x+18y-2 3π-9=0.

1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公 式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y=1-2sin22x的导数.因为 y=1-2sin22x=cos x, 所以 y′=(cos x)′=-sin x. 3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化.

一、选择题

1.下列各式中正确的个数是( )

①(x7)′=7x6;②(x-1)′=x-2;③??

1x??′=-12

?3
x2

;④( 5

x2)′=25

?3
x5

;⑤(cos

x)′=-sin

x;

⑥(cos 2)′=-sin 2.

A.3 B.4 C.5 D.6

考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

答案 B

解析 ∵②(x-1)′=-x-2;

⑥(cos 2)′=0.

∴②⑥不正确,故选 B. 2.已知函数 f(x)=xa,若 f′(-1)=-4,则 a 的值等于( )

A.4

B.-4

C.5

D.-5

考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点 常数、幂函数的导数

答案 A

解析 ∵f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4,

∴a=4.

3.质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s=5 t,则质点在 t=4 时的速度为( )

1 A.
25 23

1 B.
10 5 23

2 C.5

5

23

1 D.10

5

23

考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点 常数、幂函数的导数

答案 B

解析

∵s′=15

?4
t5

.∴当

t=4

时,

s′=15·5

1= 44 10

1
5

23

.

4.正弦曲线 y=sin x 上切线的斜率等于12的点为( )

A.??π3,

3? 2?

B.??-π3,-

23??或??π3,

3? 2?

C.??2kπ+π3, 23??(k∈Z)

D.??2kπ+3π, 23??或??2kπ-3π,- 23??(k∈Z)

考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用

答案 D

解析

设斜率等于12的切线与曲线的切点为

P(x0,y0),∵y



x=x0

处的导数为

cos

1 x0=2,

∴x0=2kπ+π3或

2kπ-π3,∴y0=

23或-

3 2.

5.直线 y=12x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则实数 b 的值为( )

A.2

B.ln 2+1

C.ln 2-1

D.ln 2

考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用

答案 C 解析 ∵y=ln x 的导数 y′=1x, ∴令1x=12,得 x=2,∴切点坐标为(2,ln 2). 代入直线 y=12x+b,得 b=ln 2-1. 6.下列曲线的所有切线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )

A.f(x)=ex

B.f(x)=x3

C.f(x)=ln x

D.f(x)=sin x

考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用

答案 D

解析 若直线垂直且斜率存在,则其斜率之积为-1.

因为 A 项中,(ex)′=ex>0,B 项中,(x3)′=3x2≥0,C 项中,x>0,即(ln x)′=1x>0,所以

不会使切线斜率之积为-1,故选 D.

7.设曲线 y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 x1·x2·…·xn 的值

为( )

1

1

A.n

B.n+1

n C.n+1

D.1

考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用

答案 B

解析 对 y=xn+1(n∈N+)求导得 y′=(n+1)·xn.

令 x=1,得在点(1,1)处的切线的斜率 k=n+1,

∴在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(xn-1). n
令 y=0,得 xn=n+1,

∴x1·x2·…·xn=12×23×34×…×n-n 1×n+n 1=n+1 1,故选 B.

二、填空题

8.若曲线

y=

?1
x2

在点(a,

?1
a2

)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为

18,则

a



.

考点 几个常用函数的导数

题点 几个常用函数导数的应用

答案 64

解析

∵y=

?1
x2

,∴y′=-12

x

?

3 2



∴曲线在点(a,

?1
a2

)处的切线斜率

k=-12

?3
a2



∴切线方程为

y-

?1
a2

=-12

?3
a2

(x-a).



x=0,得

y=32

?1
a2

;令

y=0,得

x=3a,

∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

S=12·3a·32

?1
a2

=94

a

1 2

=18,

∴a=64.

9.设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y=1x(x>0)在点 P 处的切线垂直,则点 P 的坐标





考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用

答案 (1,1)

解析 y=ex 的导数为 y′=ex,曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率为 k1=e0=1.

设 P(m,n),y=1x(x>0)的导数为 y′=-x12 (x>0),

1

1

曲线 y=x (x>0)在点 P 处的切线的斜率为 k2=-m2 (m>0).因为两切线垂直,所以 k1k2=-1,

所以 m=1,n=1,则点 P 的坐标为(1,1).

10.若曲线 y= x在点 P(a, a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,则实数 a 的

值是



考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用

答案 4

解析 ∵y′= 1 ,∴切线方程为 y- a= 1 (x-a),

2x

2a

a 令 x=0,得 y= 2 ,令 y=0,得 x=-a,

由题意知12·2a·a=2,∴a=4.

11.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则 f2 017(x)=

.

考点 正弦、余弦函数的导数

题点 正弦、余弦函数的运算法则

答案 cos x

解析 由已知 f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…依次

类推可得,f2 017(x)=f1(x)=cos x.

12.设正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角 α 的取

值范围是



考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用
答案 ??0,π4??∪??34π,π??

解析 ∵(sin x)′=cos x,∴kl=cos x,

∴-1≤kl≤1,∴α∈??0,π4??∪??34π,π??.
三、解答题

13.点 P 是曲线 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离. 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 解 如图,当曲线 y=ex 在点 P(x0,y0)处的切线与直线 y=x 平行时,点 P 到直线 y=x 的距
离最近.

则曲线 y=ex 在点 P(x0,y0)处的切线斜率为 1,又 y′=(ex)′=ex,

所以 ex0 =1,得 x0=0,

代入 y=ex,得 y0=1,即 P(0,1).

利用点到直线的距离公式得最小距离为

2 2.

四、探究与拓展

14.函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2k)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈N+,

若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是



考点 导数公式的综合应用

题点 导数公式的综合应用

答案 21

解析 ∵y′=2x,∴y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2k)处的切线方程为 y-a2k=2ak(x-ak).

又该切线与 x 轴的交点坐标为(ak+1,0), ∴ak+1=12ak,即数列{ak}是首项为 a1=16,公比为 q=12的等比数列, ∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 15.求证:双曲线 xy=a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常 数. 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用

证明 设 P(x0,y0)为双曲线 xy=a2 上任一点.

∵y′=??ax2??′=-ax22.

∴过点

P

的切线方程为

a2 y-y0=-x20(x-x0).

令 x=0,得 y=2xa02;令 y=0,得 x=2x0.

则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=12·??2xa02??·|2x0|=2a2.
即双曲线 xy=a2 上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数 2a2.


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