2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 同步精练:1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换 Word版含解析

1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换 课后篇巩固探究 A组 1.在平面直角坐标系中,将 x 轴上的单位长度变为 y 轴上单位长度的 6 倍,则圆 x2+y2=36 进行 伸缩变换后的图形是( ) A.圆 答案: B B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2.已知一椭圆的方程为 圆的形状为( ) =1,如果 x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 2 倍,那么该椭 解析: 如果 x 轴上的单位长度保持不变,y 轴上的单位长度缩小为原来的 ,那么该椭圆的形状 为选项 D 中所示. 答案: D 3.在平面直角坐标系中,如果 x 轴上的单位长度变为 y 轴上单位长度的 倍,那么一条线段经过 变换后的图形是 A.直线 B.射线 C.与原来长度相同的线段 D.比原来长度短的线段 答案: D 4.在同一平面直角坐标系中,将曲线 y= cos 2x 经过伸缩变换 后为( ) ( ) A.y=cos x B.y=3cos x C.y=2cos x D.y= cos 3x 解析: 由 代入 y= cos 2x,得 cos x'. ∴y'=cos x',即曲线 y=cos x. 答案: A 5. 导学号 73144005 若点 P(-2 016,2 017)经过伸缩变换 后所得的点 在曲线 y'= 上,则 k=( A.1 B.-1 解析: ∵P(-2 016,2 017), ∴x=-2 016,y=2 017, ) C.2 016 D.-2 016 ∴ 代入 y'= ,得 k=x'y'=-1. 答案: B 6.将圆 x2+y2=1 经过伸缩变换 后所得的曲线方程为 . 解析: 由 代入 x2+y2=1 中,得 =1. 所以变换后所得的曲线方程为 =1. 答案: =1 7.x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 2 倍的平面直角坐标系中,以原点为圆心,4 为半径的 圆的图形变为 . 解析: 如果 x 轴的单位长度不变,y 轴的单位长度缩小为原来的 ,圆 x2+y2=16 的图形变为中心 在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆. 答案: 椭圆 8.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 的方程并画出图像. 解把 代入 +4y'2=1 中,得 +4× y2=1,即 x2+y2=4.其图像如图所示. 后,曲线 C 变为曲线 +4y'2=1,求曲线 C 9.求 4x2-9y2=1 经过伸缩变换 后的图形所对应的方程. 解 由伸缩变换 将其代入 4x2-9y2=1, 得 4· -9· =1. 整理得 x'2-y'2=1. 故经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x'2-y'2=1. B组 1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.正方形、菱形或矩形 解析: 正方形在平面直角坐标系中进行伸缩变换后 ,图形的形状是由其在平面直角坐标轴上 的位置决定的.若顶点在坐标轴上,则是菱形或正方形;若顶点在象限内,则是矩形或正方形. 答案: D 2.将一个圆作伸缩变换后,所得图形不可能是( ) A.椭圆 B.比原来大的圆 C.比原来小的圆 D.双曲线 解析: 将圆作伸缩变换,若保持一轴不变,另一轴压缩或伸长,则都会出现椭圆的形状,故选项 A 正确;当两轴同时放大或缩小时,会得到比原来大或小的圆,故选项 B,C 正确.故选 D. 答案: D 3.将曲线 F(x,y)=0 上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标缩短到原来的 ,得到的曲线方程 为( A.F ) =0 B.F =0 C.F =0 D.F =0 解 析 : 设 变换 后得 到的 曲线 上 任一 点为 P'(x',y'), 原曲 线 上的 对应 点为 P(x,y), 由 题 意知 代入 F(x,y)=0,得 F 答案: A =0,即 F =0. 4.如图,在 x 轴上的单位长度是 y 轴上单位长度的 2 倍的平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点 分别为 A(0,8),B(-16,0),C(-8,0),则△ABC 的面积为 . 答案: 32 5. 在平面直 角坐标系中 , 在伸 缩变 换 φ: 为 . 的作用下得到点 P'(λx,μy), 的 作用下仍是 其本身的 点 解析: 设点 P(x,y)在伸缩变换 φ: 依题意得 其中 λ>0,μ>0,λ≠1,μ≠1, 故 x=y=0,即 P(0,0)为所求. 答案: (0,0) 6.圆 C:x2+y2=4 沿着 y 轴均匀压缩,压缩系数为 . (1)求压缩后的曲线方程. (2)将过圆 C 上一点 P( )的切线压缩后得到的直线与压缩后的曲线有何关系? 解 设圆上一点 P(x,y),压缩后的点为 P'(x',y'), 则 (1)由 x2+y2=4,得 x'2+4y'2=4, 则压缩后的曲线方程为 x2+4y2=4. (2)∵点 P( )满足( )2+( )2=4, ∴点 P 在圆上. 故过点 P 的切线方程为 压缩后变为 x'+ x+ y=4, , ×2y'=4,即 x'+2y'=2 . 即压缩后的方程为 x+2y=2 联立得 x2-2 故 则 Δ=8-4×2=0, 故直线 x+2y=2 x+2=0, 与曲线 x2+4y2=4 相切. 7. 导学号 73144006 在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下 列曲线的变换,并叙述变换过程. (1)曲线 y=2sin 变换为正弦曲线 y=sin x; (2)圆 x2+y2=1 变换为椭圆 =1. 解 (1)将变换后的曲线的方程 y=sin x 改写成 y'=sin x', 设伸缩变换为 代入 y'=sin x'得 μy=sin λx, 即 y= sin λx,与原曲线方程比较系数得 所以 所以伸缩变换为 即先使曲线 y=2sin 的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的 ,得到曲线 y=2sin =2

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