高中数学第4.1.1节《圆的标准方程》课件(1)新人教A版必修_图文

让我们一起来欣赏如 下几幅风景画,我们能 发现什么几何图形?

如设 何此 写圆 出的 此半 圆径 的为 方 程米 ?,

r

P(x,y)

Y

A (-r,0)

O 0

一、建立适当的 直角坐标系,如 右图所示:以圆 B (r,0) X 心O为原点。
二、取圆上任意一点 P(x,y),则:OP=r
即:

( x ? 0) ? ( y ? 0) ? r
2 2

所以此圆的方程为:

即:x 2 ? y 2 ? r 2

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程 设M(x,y)是圆上任意一点, y
r
C O 说明: 特点:明确给出了圆心坐标 和半径。 x P

根据定义,点M到圆心C的 距离等于r,由两点间的距离公 式,点M适合的条件可表示为:
(x-a)
2+

(y-b)

2

=r

把上式两边平方得:

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

于是我们得到:方程

? x ? a? ? ? y ? b?
2

2

? r ? r ? 0?
2

叫做以(ɑ,b)为圆心, r为半径的 圆的标准方程。

如果圆的方程为: 若圆心为( 0,0)时,此方程变为:

x ?y ?r
2 2

2

? r ? 0?

此圆的圆心在原点(0,0),

半径为r。

例题讲解 1、求圆心为(2,-1),半径为3的圆 的方程。

解:以圆的标准方程有: 2、求圆心为(2,-3),且过原点的圆 2 2 2 C的方程。 所求圆的方程为:? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 3 解:因为圆C过原点,故圆C的半径
r ? 2 ? ? ?3? ? 13
2 2

因此,所求圆C的方程为: 2 2 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 13

练习:1、写出下列各圆的方程:

(1)圆心在点C(3, 4 ),半径是
(2) 经过点P(5,1),圆心在C(8,-3)

5 (x-3)2+(y-4)2=5 (x-8)2+(y+3)2=25

补充练习:写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2
(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|

1、求以点C(2,1)为圆心,并且与 Y轴相切的圆的方程。 解:依图知:圆C的半径 Y 为2,则所求圆的标准方 2 2 程: ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4

问:若此圆C的圆心为(2,
1),且与X轴相切,它的 方程是什么??
0

C( 2,1) C(2, 1)

X

? x ? 2?

2

? ? y ? 1? ? 1
2

X

4?6 9?3 B(6、3) 则a ? ? 5, b ? ? 6. 0 2 2 X AB ? (6 ? 4) 2 ?? (3 ) 2( ? 2 610 设圆的方程为 (x 5? )29? y? )2 ? r 2 , 把点B(6,3)代入得r 2 .

解: 设AB的中点为(a, b)

练习:已知两点A(4,9),B(6,3),求以 AB为直径的圆的方程. Y

A(4、9)

故所求圆的方程为 ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10
2 2

2、已知点A(-4,-1),B(6,-1), 求以线段AB为直径的圆的方程。 (分析:线段AB为直径,则圆心为线段 AB的中点,半径为线段AB的一半。) 解:以中点坐标公式有:圆心坐标 为(1,-1),又以两点距离公式 有:AB ? ? 6 ? 4 ?2 ? ? ?1 ? 1?2 ? 10 所以圆的半径为5 2 2 故圆的方程为: x ? 1 ? y ? 1 ? 25

?

? ?

?

下列方程分别表示什么 图形 ? (1) x 2 ? y 2 ? 0; (3) y ? 1 ? x 2 (2)(x ? 1) 2 ? 8 ? ( y ? 2) 2 (4) x ? 1 ? y 2

1 2 5 2 圆( x ? ) ? ( y ? 1) ? 关于直线 y ? x对称的圆的方程是什么 ? 2 4

1 2 5 ( x ? 1) ? ( y ? ) ? 2 4
2

练习4:已知圆的方程是x2+y2=1,求:
(1)斜率等于1的切线的方程; 解:设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离

等于半径1,得:
|b| 12+(-1)2 所以切线方程为:y = x± 2

=1 解得b=± 2

(2)在y轴上截距是 2 的切线方程。
y = ± x+ 2

2 2 2 已知圆的方程是 x ? y ? r , 求经过圆上一点 例2 M ( x0 , y0 )的切线方程 .

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 解: 如图, 设切线方程为
半径OM的斜率为kOM

x0 因OM垂直于圆的切线 , 所以k ? ? y 0 x0 切线方程为y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) y0

y0 ? x0 ,

Y

M ( x0 , y0 )

整理得, x0 x ? y0 y ? x ? y
2 0

2 0

0

?x ? y ? r ,
2 0 2 0 2

X

?所求圆的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r

2

2 2 2 x ? y ? r 圆的方程是 ,经过圆上一点 2 x x +y y = r 的切线的方程 M ( x0 , y0 ) 0 0

过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0 ,y0)的切线方程为:

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

例:已知隧道的截面是半径为4米的半圆, 车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆 宽为2.7米,高为3米的货车能不能驶入 这个隧道? 解:(如右图)建立直角坐 标系,则半圆的方程为:
4 Y

x ? y ? 16 ? y ? 0?
2 2
2

x ? 2.7 车宽为2.7米即:

A

0

2.7

B X

y ? 16 ? 2.7 ? 8.71 ? 3 则:
车高于隧道高度,故货车不能驶入此隧道。

例3:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长 y 度(精确到0.01m)
解:建立如图所示的坐标 系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。

x

把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 2=14.52 解得: b= -10.5 r 2 2 2 10 +(0-b) =r 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

点A(1,1)在圆( x ? a) ? ( y ? a) ? 4的内部,
2 2

求a的取值范围。


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