《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.5.1-1.5.2

§ 1.5
1.5.1 1.5.2
一、基础过关

定积分的概念
曲边梯形的面积 汽车行驶的路程

i-1 i 1. 当 n 很大时,函数 f(x)=x2 在区间[ , ]上的值,可以近似代替为 n n 1 A.f( ) n i C.f( ) n 2 B.f( ) n D.f(0)

(

)

1 2. 在等分区间的情况下 f(x)= (x∈[0,2])及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式 1+x2 正确的是
n 1 2 A.lim ∑ [ ·] i n n→∞i=1 1+? ?2 n n 1 2 B.lim ∑ [ ·] 2i 2 n n→∞i=1 1+ ? ? n n 1 1 C.lim ∑ ( 2·) n→∞i=1 1+i n n 1 D.lim ∑ [ · n] i n→∞i=1 1+? ?2 n

(

)

3. 把区间[a,b] (a<b)n 等分之后,第 i 个小区间是 i-1 i A.[ , ] n n i-1 i B.[ (b-a), (b-a)] n n i-1 i C.[a+ ,a+ ] n n i-1 i D.[a+ (b-a),a+ (b-a)] n n

(

)

4. 一物体沿直线运动,其速度 v(t)=t,这个物体在 t=0 到 t=1 这段时间内所走的路程为 ( )

1 A. 3 C.1 二、能力提升

1 B. 2 3 D. 2

5. 由直线 x=1,y=0,x=0 和曲线 y=x3 所围成的曲边梯形,将区间 4 等分,则曲边梯形 面积的的近似值(取每个区间的右端点)是 1 A. 19 11 C. 27 111 B. 256 25 D. 64 ) ( )

6. 若做变速直线运动的物体 v(t)=t2,在 0≤t≤a 内经过的路程为 9,则 a 的值为 ( A.1
n

B.2

C.3

D.4

7.∑ =

i 1

i =________. n

8. 在求由抛物线 y=x2+6 与直线 x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形的面积时,把区间 [1,2]等分成 n 个小区间,则第 i 个区间为________. 9. 已知某物体运动的速度为 v=t,t∈[0,10],若把区间 10 等分,取每个小区间右端点处 的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为________. 10.求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2 所围成的曲边梯形的面积. 11.已知自由落体的运动速度 v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离. 三、探究与拓展 6 12.某物体做变速运动,设该物体在时间 t 的速度为 v(t)= 2,求物体在 t=1 到 t=2 这段时 t 间内运动的路程 s.

答案
1.C 2.B 3.D 4.B 7. n+1 2 5.D 6.C

n+i-1 n+i 8.[ , ] n n 9.55 10.解 令 f(x)=x2. (1)分割 将区间[0,2]n 等分,分点依次为 2?n-1? 2 4 x0=0,x1= ,x2= ,…,xn-1= ,xn=2. n n n 2i-2 2i 2i 2i-2 2 第 i 个区间为[ , ](i=1,2,…,n),每个区间长度为 Δx= - = . n n n n n (2)近似代替、求和 2i 取 ξi= (i=1,2,…,n), n
n n 2i 2i 2 2 8 n 2 Sn=∑ f ( ) ·Δ x = ∑ ( ) ·= 3∑ i n n i=1 i=1 n i=1 n

8 8 n?n+1??2n+1? = 3(12+22+…+n2)= 3· n n 6 4 3 1 = (2+ + 2). 3 n n (3)取极限 S=li m Sn=li m →∞ →∞
n n

4 3 1 8 (2+ + 2)= , 3 n n 3

8 即所求曲边梯形的面积为 . 3 11.解 (1)分割:将时间区间[0,t]分成 n 等份.

i-1 it 把时间[0,t]分成 n 个小区间,则第 i 个小区间为[ t, ](i=1,2,…,n), n n 每个小区间所表示的时间段 it i-1 t Δt= - t= , n n n 在各个小区间物体下落的距离记作 Δsi(i=1,2,…,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程. i-1 it 在[ t, ]上任取一时刻 ξi(i=1,2,…,n), n n

i-1 可取 ξi 使 v(ξi)=g· t 近似代替第 i 个小区间上的速度, n t 因此在每个小区间上自由落体 Δt= 内所经过的距离可近似表示为 n i-1 t Δsi≈g· t·(i=1,2,…,n). n n (3)求和:
n n i-1 t sn=∑ Δ s = ∑ g· t· i n n i=1 i=1



gt2 [0+1+2+…+(n-1)] n2

1 1 = gt2(1- ). 2 n 1 2 1 1 (4)取极限:s=lim gt (1- )= gt2. n 2 n→∞ 2 1 即在时间区间[0,t]内物体下落的距离为 gt2. 2 12.解 (1)分割:将区间[1,2]等分割成 n 个小区间[1+ i-1 i ,1+ ](i=1,2,…,n),区间长 n n

n 1 度为 Δt= ,每个时间段内行驶的路程记为 Δsi(i=1,2,…,n),则 sn≈ ?Δsi. n i=1

i-1 (2)近似代替:ξi=1+ (i=1,2,…,n), n i-1 n 1 6n Δsi≈v(1+ )·Δt=6· ( )2·= n n+i-1 n ?n+i-1?2 (i=1,2,…,n). (3)求和: sn= ?
n

i=1

6n ?n+i-1?2

≈?

n

i=1

6n ?n+i??n+i-1?

1 1 1 1 1 1 =6n( - + - +…+ - ) n n+1 n+1 n+2 2 2n-1 n 1 1 =6n( - )=3. n 2n (4)取极限: s=lim sn=3. →∞
n


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