高中数学第二章变化率与导数2.3计算导数教案2北师大版选修2_2

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计算导数(二)

一、教学目标:掌握初等函数的求导公式,并能熟练运用。 二、教学重难点:用定义推导常见函数的导数公式. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习
1、导数的定义;2、导数的几何意义;3、导函数的定义;4、求函数的导数的流程图。

(1)求函数的改变量 ?y ? f (x ? ?x) ? f (x)

(2)求平均变化率 ?y ? f (x ? ?x) ? f (x)

?x

?x

(3)取极限,得导数 y / = f ?(x) ? lim ?y ?x?0 ?x

本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。

(1)、y=x (2)、y=x2 (3)、y=x3

问题: y ? x ?1, y ? x ?2 , y ? x ?3 呢?

问题:从对上面几个幂函数求导,我们能发现有什么规律吗? (二)、新课探析 1、基本初等函数的求导公式:

⑴ (kx ? b)? ? k (k,b 为常数)

⑵ (C)? ? 0 (C 为常数)

⑶ (x)? ? 1 ⑸ (x3 )? ? 3x2 ⑺ ( x )? ? 1
2x

⑷ (x2 )? ? 2x



(

1 x

)?

?

?

1 x2

由⑶~⑹你能发现什么规律?

-1-

⑻ (x? )? ? ? x? ?1 (? 为常数)

⑼ (ax )? ? ax ln a (a ? 0,a ? 1)



(loga x)?

?

1 x

logae

?

1 xlna

(a ? 0,且a ? 1)

⑾ (e x )? ? ex ⑿ (lnx)? ? 1 ⒀ (sinx)? ? cosx x

⒁ (cosx)? ? -sinx

从上面这一组公式来看,我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

2、例题探析

例 1、求下列函数导数。

(1) y ? x ?5 (2) y ? 4 x (3) y ? x x x

(4) y ? log 3 x

(5)y=sin( ? +x) 2

(6) y=sin ? 3

(7)y=cos(2π -x) (8)y= f ?(1)

例 2、已知点 P 在函数 y=cosx 上,(0≤x≤2π ),在 P 处的切线斜率大于 0,求点 P 的横坐标 的取值范围。
例 3、若直线 y ? ?x ? b 为函数 y ? 1 图象的切线,求 b 的值和切点坐标. x
变式 1、求曲线 y=x2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题:找切点 求导数 得斜率 变式 2、求曲线 y=x2 过点(0,-1)的切线方程 变式 3、求曲线 y=x3 过点(1,1)的切线方程

变式 4、已知直线 y ? x ?1,点 P 为 y=x2 上任意一点,求 P 在什么位置时到直线距离最短.

(三)、课堂小结:(1)基本初等函数公式的求导公式(2)公式的应用 导数公式表

函数

导函数

函数

导函数

y ? c (c 是常数) y ? x? (α 是常数) y ? a x (a ? 0, a ? 1)

y? ? 0 y? ? ?x? ?1 y? ? a x ln a

y ? sin x y ? cosx y ? tan x

y? ? cosx

y? ? ?sin x

y?

?

1 cos2

x

-2-

特别地 (e x )? ? e x

y ? log a x(a ? 0, a ? 1)

y? ? 1 x ln a
特别地 (ln x)? ? 1 x

y ? cot x

y? ? ? 1 sin 2 x

(四)、课堂练习:假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ,物价 p (单位:元)与

时间 t (单位:年)有如下函数关系 p(t) ? p0 (1? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种 商品的 p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?
解:根据基本初等函数导数公式表,有 p' (t) ? 1.05t ln1.05

所以 p' (10) ? 1.0510 ln1.05 ? 0.08(元/年)

因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨。

(五)、作业布置:见练习册 P34 页 3、4、6、7















-3-


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