2019届高三数学人教版一轮训练:第三篇第4节 三角函数的图象与性质 Word版含解析

第 4 节 三角函数的图象与性质

【选题明细表】

知识点、方法

题号

三角函数的定义域、值域、最值

3,5,8

三角函数的单调性、单调区间

6,9,11

奇偶性、周期性、对称性

1,2,4,7

综合应用

10,12,13,14,15

基础巩固(时间:30 分钟)

1.(2017·南开区模拟)函数 y=cos(2x-)的最小正周期是( B )

(A) (B)π (C)2π (D)4π

解析:函数 y=cos(2x-)的最小正周期 T= =π . 故选 B. 2.(2017·江西模拟)函数 y=sin 2x-cos 2x 的图象的一条对称轴方程 为( B )

(A)x= (B)x=(C)x= (D)x=-

解析:因为 y=sin 2x-cos 2x=2(sin 2x- cos 2x)=2sin(2x-), 所以 2x-=kπ +,k∈Z,

可得 x= + ,k∈Z,

当 k=-1 时,x=- 是函数的一条对称轴, 故选 B. 3.(2017 ·德州市月考 )x∈[0,2π ], y= + (C) (A)[0,)(B)(,π ]

的定义域为

(C)[π , ) (D)( ,2π ]

解析:法一 由题意, 故选 C.

所以函数的定义域为[π , ).

法二 x=π 时,函数有意义,排除 A,D;x=π 时,函数有意义,排除 B.故

选 C.

4.(2017·山东枣庄一模)函数 y=1-2sin2(x- )是( A ) (A)最小正周期为π 的奇函数 (B)最小正周期为π 的偶函数 (C)最小正周期为的奇函数 (D)最小正周期为的偶函数

解析:y=1-2sin2(x- )=cos(2x- )=cos( -2x)=-sin 2x, 故函数 y 是最小正周期为π 的奇函数, 故选 A. 5.(2017·河北衡水一模)已知函数 y=2sin x 的定义域为[a,b],值域 为[-2,1],则 b-a 的值不可能是( C )

(A) (B)π (C)2π (D) 解析:函数 y=2sin x 在 R 上有-2≤y≤2, 函数的周期 T=2π , 值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域[a,b]小于一个周期, b-a<2π . 故选 C. 6.(2017·江西模拟)已知函数 f(x)=2sin(-2x),则函数 f(x)的单调 递减区间为( D )
(A)[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)
(B)[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z)
(C)[ +kπ , +kπ ](k∈Z)
(D)[- +kπ , +kπ ](k∈Z) 解析:因为函数 f(x)=2sin(-2x)=-2sin(2x-),令 2kπ -≤2x-≤2kπ +,
求得 kπ -≤x≤kπ + ,k∈Z,
可得函数的减区间为[kπ -,kπ + ],k∈Z, 故选 D. 7.(2017· 岳 阳 二 模 ) 已 知 点 P(4,-3) 在 角 的 终 边 上 , 函 数 f(x)=sin(ω x+)(ω >0)图象上与 y 轴最近的两个对称中心间的距离 为,则 f()的值为( C )

(A) (B)- (C) (D)解析:因为点 P(4,-3)在角的终边上, 所以 sin =-,cos =, 由函数 f(x)图象上与 y 轴最近的两个对称中心间的距离为, 得 T=2×=π ,

所以ω = =2, 所以 f()=sin(2×+) =sincos +cossin

= ×+ ×(-)

=. 故选 C.

8.(2017·全国Ⅱ卷)函数 f(x)=sin2x+cos x- (x∈ 是. 解析:由题意得 f(x)=sin2x+cos x=-cos2x+cos x+

)的最大值

=-(cos x- )2+1. 因为 x∈[0,],所以 cos x∈[0,1].

所以当 cos x= 时,f(x)max=1. 答案:1

9.导学号 38486085 若函数 f(x)=2sin(2x+)(0<<)的图象过点(0,), 则函数 f(x)在[0,π ]上的单调增区间是. 解析:函数 f(x)=2sin(2x+)(0<<)的图象过点(0,),所以 f(0)=2sin =,
所以 sin = . 又因为 0<<,所以=,所以 f(x)=2sin(2x+). -+2kπ ≤2x+≤+2kπ ,k∈Z,
得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z,
令 k=0,得函数 f(x)在[0,π ]上的增区间为[0, ],
令 k=1,得函数 f(x)在[0,π ]上的增区间为[ ,π ].
答案:[0, ]和[ ,π ] 能力提升(时间:15 分钟)
10.(2017·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是 (D) (A)f(x)的一个周期为-2π
(B)y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 (C)f(x+π )的一个零点为 x= (D)f(x)在(,π )单调递减
解析:y=cos(x+)中,x∈(,π ),x+∈( , ),则 y=cos(x+)不是单调函 数.故选 D.

11.导学号 38486086 若函数 f(x)=sin ω x(ω >0)在区间[0,]上单调 递增,在区间[,]上单调递减,则ω 等于( B ) (A) (B) (C)2 (D)3 解析:因为 f(x)=sin ω x(ω >0)过原点,
所以当 0≤ω x≤,即 0≤x≤ 时,y=sin ω x 是增函数;
当≤ω x≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ω x 是减函数. 由 f(x)=sin ω x(ω >0)在[0,]上单调递增,
在[,]上单调递减知, =,所以ω =.故选 B. 12.(2017·郴州二模)已知函数 f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x,给出下 列四个命题: ①函数 f(x)的图象关于直线 x=对称; ②函数 f(x)在区间[-,]上单调递增; ③函数 f(x)的最小正周期为π ; ④函数 f(x)的值域为[-2,2]. 其中是真命题的序号是.(将你认为是真命题的序号都填上) 解析:对于函数 f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x,
由于 f(-)=-2,f( )=0,所以 f(-)≠f( ), 故 f(x)的图象不关于直线 x=对称,故排除①. 在区间[-,]上,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=2sin 2x,2x∈[-,]单调 递增,故②正确.

函数 f()=,f( )=0,所以 f()≠f( ),故函数 f(x)的最小正周期不是 π ,故③错误. 当 cos x≥0 时,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=2sin xcos x+sin 2x=2sin 2x,故它的最大值为 2,最小值为-2; 当 cos x<0 时,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=-2sin xcos x+sin 2x=0, 综合可得,函数 f(x)的最大值为 2,最小值为-2,故④正确. 答案:②④ 13.(2017·丰台区二模)已知函数 f(x)=sin xsin(-x)+cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解:(1)因为 f(x)=sin xsin(-x)+cos2x
=sin 2x+×
=sin(2x+)+ ,
所以 f(x)的最小正周期 T= =π .
(2)因为 f(x)=sin(2x+)+ , 所以令 2kπ -≤2x+≤2kπ +,k∈Z,
解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z,
所以可得 f(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ],k∈Z. 14.(2017·北京卷)已知函数 f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求证:当 x∈[-,]时,f(x)≥-.
(1)解:f(x)= cos 2x+sin 2x-sin 2x
=sin 2x+ cos 2x =sin(2x+),
所以 f(x)的最小正周期 T= =π . (2)证明:因为-≤x≤,
所以-≤2x+≤ , 所以 sin(2x+)≥sin(-)=-, 所以当 x∈[-,]时,f(x)≥-. 15.(2017·河东区二模)已知函数 f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+). (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(2)讨论函数 f(x)在区间[- ,]上的单调性并求出值域. 解:(1)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)sin(x+)
=cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)
=cos 2x+ sin 2x+sin2x-cos2x=cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin(2x-).
所以 f(x)的最小正周期 T= =π .
由 2x-=kπ + (k∈Z),得 x= + (k∈Z).

所以函数图象的对称轴方程为 x= + (k∈Z). (2)令-≤2x-≤,则-≤x≤. 令≤2x-≤π ,则≤x≤π . 因为- ≤x≤,
所以 f(x)=sin(2x-)在区间[- ,]上单调递增,在区间[,]上单调递 减. 当 x=时,f(x)取最大值 1.
因为 f(- )=- <f()=,
所以 x=- 时,f(x)min=- .
所以值域为[- ,1].


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