最新人教版高中数学选修2.1.2演绎推理 (3)ppt课件_图文

2.1.2 演绎推理 教学过程: 一、复习:合情推理 归纳推理 : 从特殊到一般 从具体问题出发――观察、分析 想――归纳。 类比推理: 从特殊到特殊 比较、联 类比――提出猜想 二、新授课: 我们先看一个简单的例子。 命题:等腰三角形的两底角相等。 已知:如图,在△ABC中,AB=AC, 求证:∠B=∠C。 证明:作∠A的角平分线AD, 则∠BAD=∠CAD, 又因为AB=AC,AD=AD, 所以△ABD≌△ACD(SAS), 因此∠B=∠C。 A B D C 一、演绎推理 分析上述推理过程,可以看出,推理的每一个步骤都 是根据一般性命题(如“全等三角形对应角相等”)推 出特殊性命题(如“∠B=∠C”)。 这类根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性 命题为真的推理,叫做演绎推理。 演绎推理的特征是: 当前提为真时,结论必然为真。 例如,由真命题a,b遵循演绎推理规则得出命题q,则 q必然为真。 演绎推理是由一般到特殊的推理 案例分析 1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 一般性的原理 特殊情况 结论 一般性的原理 特殊情况 结论 大前提 小前提 结论 二、三段论 1、“三段论”是演绎推理的一般模式;包括 (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——据一般原理,对特殊情况做 判断. 出的 三段论的基本格式 M—P(M是P) (大前提) S—M(S是M) (小前提) S—P(S是P) (结论) 2、三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的 一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P。 例2.已知空间四边形ABCD中,点E、F分别是AB、AD的 中点,求证:EF//平面BCD. 证明:连接BD,因为点E、F分别是AB、 AD的中点, 所以 EF//BD, 又因为EF BD 平面 ? BCD, B E A F D C ? BCD, 平面 所以 EF//平面BCD。 在此证明中,第一步实际上暗含着一个一般性原理: 三角形的中位线平行于第三边。这是大前提。 而对特殊的△ABD,EF是中位线,这是小前提。 把一般性原理用于特殊情况,便得到了结论EF//BD。 第二步,同样暗含这一个一般性原理: 如果不在一 个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这 条直线和这个平面平行。这是大前提。 而EF//BD,EF 前提, 平面 BCD,BD 平面BCD,这是小 ? ? 把一般性原理用于特殊情况,便得到了结论EF//平面 BCD。 用符号表示,这两步都遵循如下推理规则: “如果b?c, 由a?b,则a?c.”这种推理规则,叫做三段论推理。 例3.设a,b,c为正数,求证: 1 1 1 ( a ? b ? c)( ? ? ) ≥ 9 a b c a?b 证明:首先,我们知道 ≥ 2 ab 1 1 1 ( a ? b ? c )( ? ? ) a b c 1 1 1 1 1 1 ? ( a ? b)( ? ) ? ( a ? b) ? ? c ? ( ? ) ? c ? a b c a b c ( a ? b) 1 c ? ? (a ? b)( ? ) ?1 ab c ab 2 1 c ≥ 4 ? (a ? b) ? 2 ? ?1 c ab 2(a ? b) ? 5? ≥5? 4 ? 9 ab 在这个证明过程中,关键步骤是: (1)原式≥ 2( a ? b) (2) 5 ? 2( a ? b) ≥ 5 ? 4 5? ab ab 所以 原式≥9. 这里用到的推理规则是“如果aRb, bRc,则aRc”,其中 “R”表示具有传递性的关系。这种推理规则叫做传递性 关系推理。 又如由a//b,b//c,推出a//c,也是传递性关系推理。 三.完全归纳推理 完全归纳推理是这样一种归纳推理:根据对某类事物 的全部个别对象的考察,已知它们都具有某种性质,由 此得出结论说:该类事物都具有某种性质。 例4.证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒为正数。 证明:当x<0时,f(x)的各项都为正数,因此,当x<0时, f(x)为正数; 当0≤x≤1时, f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x)>0; 当x>1时,f(x)=x3(x2-1)+x(x-1)+1>0, 综上所述,函数f(x)的值恒为正数。 在这个证明中,对x的所有可能的取值都给出了f(x)为 正数的证明,所以断定f(x)恒为正数。 这种把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全 归纳推理。 又如对所有的n (3≤n≤10),证明n边形的内角和为(n- 2)π,就是完全归纳证明。 四、回顾小结: 1、演绎推理概念; 演绎推理的一般模式——三段论. 2、 合情推理与演绎推理的区别与联系. 3、演绎推理错误的主要原因是: ①、大前提不成立;②、小前提不符合大前提的条件;③推理形 式错误 4、 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过 程.但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理.因 此,我们不仅要学会证明,也要学会猜想. 谢谢观看! 作业:活页

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