2016高中数学探究导学课型第一章集合与函数的概念1.2习题课——函数及其表示课件新人教版必修1_图文

习题课——函数及其表示 类型一:函数值域的求解 【典例1】(1)(2016·黄石高一检测)二次函数 y=x2-4x+3在区间(1,4]上的值域是 ( ) A.[-1,+∞) C.[-1,3] B.(0,3] D.(-1,3] (2)求下列函数的值域: 1? x2 ①y ? 2x ? 1 ? 2x;②y ? . 2 1? x 【解题指南】(1)对二次函数y=x2-4x+3配方,根据x的 范围,从而确定y的取值范围. (2)①换元,令 =t,转化为二次函数,根据t的 2x ? 1 范围,确定y的取值范围. ②对y= 分离出常数,再求取值范围. 1? x 2 1? x 2 【解析】(1)选C.y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 因为1<x≤4,故-1<x-2≤2, 所以0≤(x-2)2≤4,所以-1≤(x-2)2-1≤3, 故y=x2-4x+3在区间(1,4]上的值域为[-1,3]. 2 t (2)①令t= ≥0,则x= ? 1 , 2x ? 1 2 所以原函数可化为y=t2+t-1(t≥0)= 1 2 5 (t ? ) ? . 2 4 因为t≥0,所以 ≥ ,故y≥-1, 1 2 1 (t ? ) 所以函数的值域为{y|y≥ 2 4-1}. 2 ②因为y= 1 ? x 2 ? -1 ? , 2 2 1? x 1? x 又函数的定义域为R,所以x2+1≥1,所以0< 2 ≤2, 2 1 ? x 则y∈(-1,1].所以所求函数的值域为(-1,1]. 【规律总结】求函数值域的原则及常用方法 (1)原则:定义域优先. (2)常用方法: ①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过 观察法得到; ②配方法:是求“二次函数”类值域的基本方法; ③换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确 定的函数,从而求得原函数的值域; ④分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有 理分式转化为“反比例函数”的形式,便于求值域. 【巩固训练】求函数y= 2x ? 1 的值域. x ?3 【解析】y= 2x ? 1 2 ? x ? 3? ? 7 7 ? ? 2? , x ?3 x ?3 x ?3 显然 ≠0,所以y≠2. 7 x ?3 故函数的值域为 (-≦,2)∪(2,+≦). 类型二:形如f(g(x))的函数的定义域问题 【典例2】(2016·漳州高一检测)已知f(x)的定义域为 [-2,3],求f(x-1)的定义域. 【解题指南】f(x-1)的定义域即x的取值集合,由x-1 ∈[-2,3],可得x的范围. 【解析】因为f(x)的定义域为[-2,3], 令-2≤x-1≤3,解得-1≤x≤4. 故f(x-1)的定义域为{x|-1≤x≤4}. 【延伸探究】 1.(变换条件、改变问法)若本例条件改为:已知f(x-1) 的定义域为[-2,3],则f(x)的定义域是什么? 【解析】因为f(x-1)的定义域为[-2,3], 所以-2≤x≤3,所以-3≤x-1≤2, 故f(x)的定义域为{x|-3≤x≤2}. 2.(变换条件)若把本例中条件“f(x)的定义域为[-2, 3]”改为“f(x+1)的定义域为[-2,3]”,则f(x-1)的 定义域是什么? 【解析】由f(x+1)的定义域为[-2,3], 得-2≤x≤3,所以-1≤x+1≤4, 因此f(x)的定义域为{x|-1≤x≤4}. 由-1≤x-1≤4,得0≤x≤5. 所以f(x-1)的定义域为{x|0≤x≤5}. 【规律总结】求形如f(g(x))的函数定义域的方法 (1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定 义域,其解法为:由a≤g(x)≤b,得x的取值集合即为 函数f(g(x))的定义域. (2)已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],求函数f(x) 的定义域,其解法为:由y=g(x),x∈[a,b],得函数 g(x)值域即为函数f(x)的定义域. 【巩固训练】(2016·济宁高一检测)已知函数f(x)的 定义域为(-1,0),则函数f(2x-1)的定义域为( ) A.(-1,1) C.(-1,0) B. 1 (0, ) D. 2 1 ( , 1) 2 【解析】选B.因为原函数的定义域为(-1,0), 所以-1<2x-1<0, 即 ?2x ? 1<0, 1 解得0<x< . ? 所以函数 f(2x-1) ? 1, 的定义域为 2 ??1<2x . 1 (0, ) 2 类型三:函数的图象及应用 【典例3】作出下列函数的图象: (1)y=2x2-4x-3(0≤x<3).(2)y= ? 1 ? ,0<x<1, ?x ? ? x, x ? 1. 【解题指南】(1)先作出y=2x2-4x-3的图象,然后在限 定区间上截取即可. (2)在同一坐标系中分别作出y= 与y=x的图象,然后 1 分段截取即可. x 【解析】(1)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物 线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段.(如图所示) (2)这个函数的图象由两部分组成:当0<x<1时,为双 曲线y= 1 的一部分;当x≥1时,为直线y=x的一部分. x ) (如图所示 【规律总结】 1.描点法作函数图象的基本步骤 求函数定义域→化简解析式→在定义域内选择关键点 列表→在坐标系中描出这些关键点→用光滑曲线连接 这些关键点→得函数图象. 2.作图象时要注意的一些关键点 与坐标轴的交点;图象上的最高点、最低点;还要分 清这些关键点是实心点还是空心点. 【巩固训练】画出下列函数的图象: (1)y=2x+1,x∈[0,2]. (2)y=x2-2x(-1≤x<2). 【解析】(1)当x=0时,y=1;当x=2时,y=5. 所画图象如图①所示. (2)y=x2-2x=(x-1)2-1,当x=-1时,y=3. 当x=0时,y=0.当x=1时,y=-

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