集合的含义及其表示,子集、全集、补集,交集、并集(学案)机构绝密资料

精锐教育学科教师辅导学案

学员编号: 学员姓名:

年 级:高一 辅导科目:数学

课 时 数: 3 学科教师:

授课类型 授课日期及时段

T 集合的含义及其表示

T 子集、全集、补集 T 交集、并集

教学内容

集合的含义及其表示

[学习目标] 1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法; 2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素
(1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A ; (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A .
2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.
5.常用数集及其记法:自然数集记作 N ,正整数集记作 N * 或 N? ,整数集记作 Z ,有理数集记作 Q ,实数集记作 R .

[例题讲解] 例 1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于 5 的自然数; (2)某班所有高个子的同学;
(3)不等式 2x ?1 ? 7 的整数解;
(4)所有大于 0 的负数; (5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.
1

例 2.已知集合 M ? ?a,b,c? 中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形

一定不是 A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

()

? ? 例 3.设 a ? N,b ? N, a ? b ? 2, A ? ? x, y? ? x ? a?2 ? ? y ? a?2 ? 5b , 若 ?3, 2?? A ,求 a, b 的值.

分析: 某元素属于集合 A,必具有集合 A 中元素的性质 p ,反过来,只要元素具有集合 A 中元素的性质 p ,就一定属于集
合 A.

? ? 例 4.已知 M ? ?2, a,b? , N ? 2a, 2,b2 ,且 M ? N ,求实数 a, b 的值.

[课内练习] 1.下列说法正确的是( )
(A)所有著名的作家可以形成一个集合
(B)0 与 ?0?的意义相同

(C)集合

A

?

??x ?

x

?

1 n

,

n

?

N?

? ? ?

是有限集

(D)方程 x2 ? 2x ? 1 ? 0的解集只有一个元素

2.下列四个集合中,是空集的是
A.{x | x ? 3 ? 3} C.{x | x2 ? 0}
{x? y?2
3.方程组 x? y?0 的解构成的集合是

()
B.{( x, y) | y 2 ? ?x2 , x, y ? R} D.{x | x 2 ? x ? 1 ? 0}
()

A.{(1,1)}

B.{1,1}

C.(1,1)

D.{1} .

4.已知 A ? {?2,?1,0,1}, B ? {y | y ? x x ? A},则 B=

5.若 A ? {?2,2,3,4} , B ? {x | x ? t 2 ,t ? A} ,用列举法表示 B=

.

[归纳反思] 1.本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法,难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确

2

使用; 2.根据元素的特征进行分析,运用集合中元素的三个特性解决问题,叫做元素分析法。这是解决有关集合问题的一 种重要方法; 3.确定的对象才能构成集合.可依据对象的特点或个数的多少来表示集合,如个数较少的有限集合可采用列举法,而其 它的一般采用描述法. 4.要特别注意数学语言、符号的规范使用.

[巩固提高]

1.已知下列条件:①小于 60 的全体有理数;②某校高一年级的所有学生;③与 2 相差很小的数;④方程 x2 =4 的所

有解。其中不可以表示集合的有--------------------(



A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

2.下列关系中表述正确的是-----------------------------------------(



A. ? 0? x2 ? 0? B. 0???0,0?? C. 0?? D. 0? N

3.下列表述中正确的是----------------------------------------------(



A.?0? ? ? B.?1,2? ? ?2,1? C.??? ? ? D. 0? N

? ? 4.已知集合 A= a ? 3, 2a ?1, a2 ?1 ,若 ?3 是集合 A 的一个元素,则 a 的取值是( )

A.0

B.-1

C.1

D.2

?x ? 3? 2y 5.方程组 ??5x ? y ? 4的解的集合是---------------------------------------( )

A.??1, ?1??

B.???1,1??

C.?? x, y? ?1, ?1??

D.??1,1?

?2x ? 4 ? 0 6.用列举法表示不等式组 ??1? x ? 2x ?1的整数解集合为:

7.设

1 2

?

? ? ?

x

x2

? ax ?

5 2

?

0??

?? x

? ,则集合 ?

x2

? 19 2

x?a

?

0?? ? 中所有元素的和为:

8、用列举法表示下列集合:
? ? ⑴ ? x, y? x ? y ? 3, x ? N, y ? N
⑵?y x ? y ? 3, x ? N, y ? N?

3

9.已知 A={1,2,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},如果 A={1,2,3},2 ∈B,求实数 a 的值.
? ? ? ? 10.设集合 A ? n n ? Z, n ? 3 ,集合 B ? y y ? x2 ?1, x ? A , ? ? C ? ? x, y? y ? x2 ?1, x ? A 集合,试用列举法分别写出集合 A、B、C.
子集、全集、补集
[学习目标] 1.了解集合之间包含关系的意义. 2.理解子集、真子集的概念.
4

3.了解全集的意义,理解补集的概念.

[知识要点]

1.子集的概念:如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素(若 a ? A ,则 a ? B ),那么称集合 A 为集合 B 的

子集(subset),记作 A ? B 或 B ? A,. A ? B 还可以用 Venn 图表示.

BA

我们规定: ? ? A.即空集是任何集合的子集.

根据子集的定义,容易得到:

⑴任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A .

⑵子集具有传递性,即若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C .

2.真子集:如果 A ? B 且 A ? B ,这时集合 A 称为集合 B 的真子集(proper subset).

记作:A B

⑴规定:空集是任何非空集合的真子集.

⑵如果 A B, B C ,那么 A C

3.两个集合相等:如果 A ? B 与 B ? A 同时成立,那么 A, B 中的元素是一样的,即 A ? B .
4.全集:如果集合 S 包含有我们所要研究的各个集合,这时 S 可以看作一个全集(Universal set),全集通常记作 U.
5.补集:设 A ? S ,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集

(complementary set), 记作: ?S A (读作 A 在 S 中的补集),即

?S A ?{x x ?S,且x ? A}.
补集的 Venn 图表示:

S A
?S A

U A
CUA

[例题讲解] 例 1.判断以下关系是否正确:

⑴?a? ? ?a?;

⑵?1, 2,3? ? ?3, 2,1?;

⑷ 0??0?;

⑸ ???0? ;

⑶ ? ? ?0? ; ⑹ ? ? ?0? ;

5

? ? 例 2.设 A ? x ?1 ? x ? 3, x ? Z ,写出 A 的所有子集.
? ? 例 3.已知集合 M ? ?a, a ? d, a ? 2d?, N ? a, aq, aq2 ,其中 a ? 0 且 M ? N ,求 q 和 d 的值(用 a 表示).

? ? ? ? 例 4.设全集U ? 2,3, a2 ? 2a ? 3 , A ? 2a ?1 , 2 , CU A ? ?5?,求实数 a 的值.

例 5.已知 A ? ?x x ? 3?, B ? ?x x ? a?.
⑴若 B ? A ,求 a 的取值范围; ⑵若 A ? B ,求 a 的取值范围;
⑶若 CR A CR B ,求 a 的取值范围.

[课内练习]

1. 下列关系中正确的个数为( )

①0∈{0},②Φ {0},③{0,1} ? {(0,1)},④{(a,b)}={(b,a)}

A)1

(B)2

(C)3

(D)4

2.集合?2,4,6,8?的真子集的个数是( )

(A)16

(B)15

(C)14

(D) 13

3.集合 A ? ?正方形?, B ? ?矩形?, C ? ?平行四边形 ?, D ? ?梯形?,则下面包含关系中不正确的是( )

(A) A ? B

(B) B ? C

(C) C ? D

4.若集合 ,则 b ? _____ .

5.已知 M={x| ?2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a?1}.

(D) A ? C

6

(Ⅰ)若 M ? N,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 M ? N,求实数 a 的取值范围.

[归纳反思] 1. 这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关
知识,学会数轴表示数集. 2. 深刻理解用集合语言叙述的数学命题,并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言,抓住集合语言向文字
语言或图形语言转化是打开解题大门的钥匙,解决集合问题时要注意充分运用数轴和韦恩图,发挥数形结合的思 想方法的巨大威力。

[巩固提高]
1.四个关系式:① ? ? {0} ;②0?{0};③ ? ?{0};④ ? ? {0} .其中表述正确的是[ ]

A.①,②

B.①,③

C. ①,④

D. ②,④

C 2.若 U={x∣x 是三角形},P={ x∣x 是直角三角形},则 P ? ----------------------[ U

]

A.{x∣x 是直角三角形} C.{x∣x 是钝角三角形}

B.{x∣x 是锐角三角形} D.{x∣x 是锐角三角形或钝角三角形}

3.下列四个命题:① ? ? ?0? ;②空集没有子集;③任何一个集合必有两个子集;④空集是任何一个集合的子集.其

中正确的有---------------------------------------------------[ ]

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

4.满足关系?1, 2? ? A ?1, 2,3, 4,5?的集合A的个数是--------------------------[ ]

A.5

B.6

C.7

D.8

? ? 5.若 x, y ? R , A ?

? x, y? y ? x

, B ? ??? x, y?
?

y x

?

1?? ?

,则

A,

B

的关系是---[

]

A.A B

B.A

B

C. A ? B

D. A ? B

? ? C 6.设 A= x x ? 5, x ? N ,B={x∣1< x <6,x? N},则 B ? A

7.U={x∣ x 2 ? 8x ? 15 ? 0, x ? R},则 U 的所有子集是

8.已知集合 A ? {x | a ? x ? 5}, B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

7

9.已知集合 P={x∣ x 2 ? x ? 6 ? 0, x ? R},S={x∣ ax ?1 ? 0, x ? R}, 若 S ? P,求实数 a 的取值集合.

10.已知 M={x∣x ? 0, x ? R },N={x∣x ? a, x ? R }

(1)若 M ? N ,求 a 得取值范围; (2)若 M ? N ,求 a 得取值范围;

C (3)若 M R

C N ,求 a 得取值范围. R

交集、并集
[自学目标] 1.理解交集、并集的概念和意义 2.掌握了解区间的概念和表示方法 3.掌握有关集合的术语和符号 [知识要点] 1.交集定义:A∩B={x|x∈A 且 x∈B}
运算性质:(1)A∩B?A,A∩B?B (2) A∩A=A,A∩φ =φ (3) A∩B= B∩A (4) A? B ? A∩B=A
8

2.并集定义:A∪B={x| x∈A 或 x∈B }

运算性质:(1) A ? (A∪B),B ? (A∪B) (2) A∪A=A,A∪φ =A

(3) A∪B= B∪A

(4) A? B ? A∪B=B

[例题讲解] 1.设 A={x|x>—2},B={x|x<3},求 A∩B 和 A∪B

2.已知全集 U={x|x 取不大于 30 的质数},A、B 是 U 的两个子集,且 A∩CUB= {5,13,23},CUA∩B={11,19,29},CUA∩CUB={3,7},求 A,B.

3.设集合 A={|a+1|,3,5},集合 B={2a+1,a2+2a,a2+2a—1}当 A∩B={2,3}时, 求 A∪B

[课内练习]
1.设 A= ??1,3? ,B= ?2,4? ,求 A∩B

2.设 A= ?0,1?,B={0},求 A∪B

3.在平面内,设 A、B、O 为定点,P 为动点,则下列集合表示什么图形

(1){P|PA=PB}

(2) {P|PO=1}

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4.设 A={(x,y)|y=—4x+b},B={(x,y)|y=5x—3 },求 A∩B 5.设 A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k—1,k∈Z},C= {x|x=2k,k∈Z},
求 A∩B,A∪C,A∪B
[归纳反思] 1.集合的交、并、补运算,可以借助数轴,还可以借助文氏图,它们都是数形结合思想的体现 2.分类讨论是一种重要的数学思想法,明确分类讨论思想,掌握分类讨论思想方法。
[巩固提高] 1. 设全集 U={a,b,c,d,e},N={b,d,e}集合 M={a,c,d},则 CU(M∪N) 等于 2.设 A={ x|x<2},B={x|x>1},求 A∩B 和 A∪B
3.已知集合 A= ?1,4? , B= ?? ?, a? ,若 A ≠?B,求实数 a 的取值范围
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4.求满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合 A
5.设 A={x|x2—x—2=0},B= ?? 2,2?,求 A∩B

6、设 A={(x,y)| 4x+m y =6},B={(x,y)|y=nx—3 }且 A∩B={(1,2)},

则 m=

n=

7、已知 A={2,—1,x2—x+1},B={2y,—4,x+4},C={—1,7}且 A∩B=C,求 x,y 的值

8、设集合 A={x|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中 p,q,x∈R,且 A∩B={ 1 }时,求 p 的值和 A∪B 2
9、某车间有 120 人,其中乘电车上班的 84 人,乘汽车上班的 32 人,两车都乘的 18 人,求:⑴只乘电车的人数 ⑵ 不乘电车的人数 ⑶乘车的人数 ⑷只乘一种车的人数
10、设集合 A={x|x2+2(a+1)x+a2—1=0},B={x|x2+4x=0} ⑴若 A∩B=A,求 a 的值 ⑵若 A∪B=A,求 a 的值

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