2014届高考数学一轮轻松突破复习 1.1.3函数的定义域和值域 文

1.1.3 函数的定义域和值域 文
一、选择题 1.函数 y= 1 ? lg( x ? 2) 的定义域为( A.(0,8] C.(-2,8] B.(2,8] D.[8,+∞)
?x+2≤10, ? ? ?x+2>0,

)

解析:由题意可知,1-lg(x+2)≥0,整理得:lg(x+2)≤lg10,∴? <x≤8,故函数 y= 1-lg? 答案:C

解得-2

x+2? 的定义域为(-2,8],选 C.

2.若函数 y=f(x)的定义域为[0,2],则函数 g(x)= A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)
?0≤2x≤2, ? 解析:由? ? ?x-1≠0,

f (2 x) 的定义域是( x ?1

)

得 0≤x<1,选 B.

答案:B 2+x ?x? ?2? 3.设 f(x)=lg ,则 f? ?+f? ?的定义域为( 2-x ?2? ?x? A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4) 2+x 解析:由 >0,得 f(x)的定义域为-2<x<2. 2-x )

?-2<x<2, ? 2 故? 2 ?-2<x<2. ?

解得 x∈(-4,-1)∪(1,4).

?x? ?2? 故 f? ?+f? ?的定义域为(-4,-1)∪(1,4).故应选 B. ?2? ?x?
答案:B 4.函数 y=log2x+logx(2x)的值域为( ) A.(-∞,-1] B.[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 解析:y=log2x+logx2+1.故 log2x+logx2≥2 或 log2x+logx2≤-2.所以 y≥3 或 y≤-1. 答案:D

1 ?1 ? 5.(2013·浙江联考)函数 f(x)的值域是? ,3?,则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( ?2 ? f ( x)

)

-1-

?5 10? A.? , ? ?2 3 ?

? 10? B.?0, ? 3? ?

? 10? C.?2, ? 3? ?

? 5? D.?2, ? ? 2?

1 解析:令 t=f(x),则 ≤t≤3. 2 1 ?1 ? 易知函数 g(t)=t+ 在区间? ,1?上是减函数,在[1,3]上是增函数. t ?2 ? 10 ?1? 5 又∵g? ?= ,g(1)=2,g(3)= . 2? 2 3 ? 可知函数 F(x)=f(x)+
2

1

f? x?

? 10? 的值域为?2, ?. 3? ?

答案:C

6.设 f(x)=?

? ?x ,|x|≥1, ?x,|x|<1, ?

g(x)是二次函数,若 f[g(x)]的值域是[0,+∞),则 g(x)的值

域是( ) A.(-∞,-1]∪[1,+∞)

B.(-∞,-1]∪[0,+∞)

C.[0,+∞) D.[1,+∞)

解析:f(x)的图象如图所示:f(x)的值域为(-1,+∞)若 f[g(x)]的值域为[0,+∞),只需 g(x)∈(-∞,-1]∪ [0,+∞),而 g(x)为二次函数,所以 g(x)∈[0,+∞),故选 C 项. 答案:C 二、填空题 2 7.已知函数 f(x)=ln(mx -4mx+m+3)的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是__________. 解析:∵f(x)定义域为 R, 2 ∴mx -4mx+m+3>0 恒成立. ①m=0 时,3>0 恒成立. ②m≠0 时,要使 f(x)定义域为 R,只需?
?m>0, ? ? ?Δ =?

-4m?

2

-4m? m+3? <0

?0<m<1.

综上所述:m 的取值范围是 0≤m<1. 答案:0≤m<1

?4? 8.已知函数 f(x)= x-1,则函数 y=f[f(x)]+f? ?的定义域是__________. ?x?
解析:∵f(x)= x-1,则函数 f(x)的定义域是{x|x≥1},对于 f[f(x)],应有 x-1≥1, 4 ?4? ∴x≥2;对于 f? ?应有 ≥1,∴0<x≤4,∴x 的取值范围是 2≤x≤4,即所给函数的定义域

?x?

x

是[2,4]. 答案:[2,4]

?x,x<0, ? 1 9 . 已 知 f(x) = (x + |x|) , g(x) = ? 2 2 ? ?x ,x≥0,

函 数 f[g(x)]= __________, 值 域为

__________.

-2-

1 2 1 2 2 2 2 2 2 解析:当 x≥0 时,g(x)=x ,故 f[g(x)]=f(x )= (x +|x |)= (x +x )=x ; 2 2 1 1 当 x<0 时,g(x)=x,故 f[g(x)]=f(x)= (x+|x|)= (x-x)=0. 2 2
? ?0,x<0, ∴f[g(x)]=? 2 ? ?x ,x≥0.

由于当 x≥0 时,x ≥0,故 f[g(x)]的值域为[0,+∞).
?0,x<0, ? 答案: ? 2 ? ?x ,x≥0

2

[0,+∞)

三、解答题 2 10.(2013·潍坊期末)设函数 f(x)=ln(x +ax+1)的定义域为 A. (1)若 1∈A,-3?A,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 y=f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.
?1+a+1>0, ? 解析:(1)由题意,得? ? ?9-3a+1≤0,
2

10 ?10 ? 所以 a≥ .故实数 a 的取值范围为? ,+∞?. 3 ?3 ?

(2)由题意,得 x +ax+1>0 在 R 上恒成立, 2 则 Δ =a -4<0,解得-2<a<2. 故实数 a 的取值范围为(-2,2). 11.设 f(x)= ax +bx,求满足下列条件的实数 a 的值:至少有一个正实数 b,使函数 f(x) 的定义域和值域相同. 解析:(1)若 a=0,则对于每个正数 b,f(x)= bx的定义域和值域都是[0,+∞),故 a=0 满足条件; (2)若 a>0,则对于正数 b,f(x)= ax +bx的定义域为 D={x|ax +bx≥0}=?-∞,- ?∪
2 2 2

? ?

b? a?

[0,+∞),但 f(x)的值域 A? [0,+∞),故 D≠A,即 a>0 不符合条件. (3)若 a<0,则对正数 b,f(x)= ax +bx的定义域 D=?0,- ?. a
2

? ?

b?

?

由于此时 f(x)max=f?- ?= ,故 f(x)的值域为?0, ?, ? 2a? 2 -a ? 2 -a?

?

b?

b

?

b

?

则- =

?a<0, b b ?? a 2 -a ?2 -a=-a

?a=-4,

综上所述:a 的值为 0 或-4.

-3-

12.已知函数 f(x)=x +4ax+2a+6. (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2-a|a+3|的值域. 解析:(1)∵函数的值域为[0,+∞), 3 2 2 ∴Δ =16a -4(2a+6)=0? 2a -a-3=0? a=-1 或 a= . 2 (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负, 3 2 ∴Δ =8(2a -a-3)≤0? -1≤a≤ , 2 ∴a+3>0, ∴g(a)=2-a|a+3| 2 =-a -3a+2, 3?? ? 3?2 17? ? =-?a+ ? + ?a∈?-1, ??. 2?? ? 2? 4 ? ? 3? ? ∵二次函数 g(a)在?-1, ?上单调递减, 2? ? 19 ?3? ∴f? ?≤g(a)≤f(-1),即- ≤g(a)≤4, 4 ?2?

2

? 19 ? ∴g(a)的值域为?- ,4?. ? 4 ?

-4-


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