高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学

高中化学竞赛辅导专题讲座——三维化学 在学习完正四面体、正方体、正八面体以后,我们再来学另两种正多面体——正十二面体与 正二十面体,以及用它们完美组合而成的碳-60 的空间模型。 【讨论】在平面上,我们用单位正方形,可紧密地铺满一个无限平面;用单位正六边形也是 可以紧密地铺满一个平面的; 那么单位正三角形可以吗?由于一个六边形可分割成六个完全 相同的正三角形, 显然, 单位正三角形也是可以的; 再来看正五边形, 它的每个顶点是 108° (不是 360°的约数),如右图 5-1 所示,它在平面不可能铺满而不留任何空隙。在空间正 多面体中,共一顶点的棱至少 3 条,共一顶点的夹角之和应小于 360(如正方体 270?,正八 面体 240?),因此正六边形不能在空间构成一个每个面是正六边形的正多面体,那么五边 形是否可以构成正多面体呢?由于 3×108?<360?,因此就存在可能性。如右图 5-2 所示, 这就由正五边形构成的正多面体——正十二面体。请看例题 1。 【例题 1】如图 5-2 所示是十二面体烷的空间构型,写出它的化学式并计算它的一氯取代物 和二氯取代物的数目。 【分析】在前几节,我们曾探讨了空间多面体中点、线、面的关系。在正十二面体中,每个 面是正五边形,三条棱共一顶点,因此顶点数应为 12×5/3=20,而棱数应为 12×5/2=30。 既然是空间正多面体,它的每个顶点必须是等价的,一氯取代物只可能是一种。我选定一个 顶点,与它最近的顶点是 3 个(共棱),然后是 6 个,然后依次是 6 个,3 个,1 个,故二 氯取代物有 5 种。 【解答】化学式 C20H20,1 种一氯取代物,5 种二氯取代物。 【讨论】继续讨论上文的话题,当用正方形(90?)构成空间正多面体时,共顶点的也只可 以是三条棱,故只有一种正多面体—正方体;当用正三角形(60?)构成空间正多面体时, 共顶点的棱可以是三条、四条、五条,三条时是正四面体,四条时是正八面体,五条时就是 最后一个正多面体——正十二面体。 如图 5-3 所示, 这就是由正三角形构成的空间正二十面 体。请看例题 2。 【例题 2】晶体硼的基本结构单元是由硼原子组成的正二十面体(如图 5-3 所示),每个三 角形均为正三角形,每个顶点为一硼原子。则每一个此基本单元由 个原子组成;该单 10 11 元中有 2 个原子为 B(其余为 B),那么该结构单元有 种不同类型。 【分析】 如同例题 1, 先根据 20 个正三角形计算顶点数为 20×3÷5=12; 当选定 1 个顶点后, 与它最近的顶点数为 5 个,然后就是 5 个和 1 个,即二取代物有 3 种。 【解答】12 个 3 种 【讨论】我们看一下正十二面体与正二十面体的关系,它们都是 30 条棱;其中正十二面体 是 12 个顶点;正十二面体是 20 个顶点,而正二十面体是 20 个面。我们连接正十二面体的 12 个面的面心构成的空间图形就是正二十面体, 再连接正二十面体的 20 个面的面心构成的 空间图形就是正十二面体。 【练习 1】正十二面体与正二十面体是否都存在三次轴和五次轴(n 次轴 表示绕该轴旋转 360?/n 与图形完全重合)。 【讨论】我们连接正十二面体的两个相对面的面心,就是一条五次轴,而连接相对顶点就是 一条三次轴;那么正二十面体是否也存在类似的呢? 【讨论】关于 C60(如图 5-4 所示),大家已很熟悉,在这里我们只讨论它的空间结构。虽 然 C60 不是一种空间正多面体,但它还是一种很完美的、对称性很强的空间多面体。C60 中每 个碳原子与 3 个碳原子相连,共 12 个五元环(正五边形)与 20 个六元环(正六边形)构成 C60 的封闭多面体骨架。这里的 12 与 20 是否与正十二面体和正二十面体中的 12、20 有关系 呢?其实,我们将正二十面体截去 12 个顶点剩下的多面体就是 C60。那么怎么截呢?我们过 二十面体的 30 条棱的三等分点去截 12 个顶点, 由于 1 个顶点连出了 5 条棱, 截面显然是个 正五边形;原来的正三角形面在截取 3 个顶点后就变成正六边形了,原来的 20 个正三角形 面就变成 C60 中的 20 个正六边形面了。 【例题 3】1996 年度诺贝尔化学奖授予三位大学教授,以表彰他们在 1985 年发现碳的球状 结构。碳的球状结构,就是富勒烯家族的由若干个碳原子组成的笼状分子结构。这种笼状分 子的典型代表是 C60。 C60 是具有 60 个碳原子并组成 1 个酷似足球的笼状分子, 如图 5-4 所示。 目前, 化学家们已经找到十余种富勒烯家族的 Cx, 它们分子结构中都由正五边形和正六边形 ① 构成,C80 是其中一种。列式计算 C80 中五边形和六边形的个数。 【分析】我们设正五边形与正六边形数分别为 a 和 b,利用点、线、面的空间关系可列式(5 a+6b)/2=80×3/2=120 ①(120 就是棱的数目),另外利用封闭多面体的不饱和度也可列 式(a+b-1+40)×2=80×2+2 ②(40 可认为是双键数)。由①②,我们可解得 a=12;b =30。 在 C80 中, 五边形数与在 C60 中五边形数是一样的 (97 年高考中的 C70 中五边形数也是 12 个) , 这儿是否有其内在规律呢?我们将①②式中的 80 改为 x,将 40 改为 x/2,这就是任意由五 边形和六边形构成的富勒烯家族的 Cx 应满足的方程式。在解这两个方程时,消去 b 的同时, 也消去了 x,并解出 a=12。因此 Cx 中,五边形数都是 12 个。另外,x 是不可能为奇数的, 每增加 2 个碳原子,就增加 1 个六元环(在一个六边形的相对顶点串连两个点不就构成 2 个六边形了吗?例题 1 中的 C20 骨架是只有五边形构成的,与 C60 相比,正好少了 40 个碳原 子和 20 个六元环。 【解答】12 个五边形 20 个六边形 【练习 2】稠环分子的三

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